《极限的运算法则》课件

《极限的运算法则》ppt课件极限的定义与性质极限的四则运算法则复合函数的极限法则函数极限的求解方法无穷小量与无穷大量contents目录01极限的定义与性质极限的定义极限是描述函数在某一点处的变化趋势的数学概念。对于函数$f(x)$，若在$xtoa$的过程中，$f(x)$无限接近于某个常数$L$，则称$L$为$f(x)$在$xtoa$时的极限。极限的数学表示$lim_{xtoa}f(x)=L$，其中$a$是常数，$L$是极限值。定义对于任意给定的函数和常数$a$，极限值是唯一的。唯一性有界性局部有界性函数在某点的极限存在时，该点的函数值必定是有界的。若函数在某点的极限存在，则该点附近的函数值也是有限的。030201性质

极限的存在性极限存在定理如果函数在某点的左右极限都存在且相等，则该点的极限存在。单侧极限存在定理如果函数在某点的左（或右）极限存在，则该点的极限存在。闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数在其定义域内的任意点都存在极限。02极限的四则运算法则加法法则减法法则乘法法则除法法则极限的四则运算法则01020304若lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B，则lim(x→x0)[f(x)+g(x)]=A+B。若lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B，则lim(x→x0)[f(x)-g(x)]=A-B。若lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B，则lim(x→x0)[f(x)g(x)]=A×B。若lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B，且B≠0，则lim(x→x0)[f(x)/g(x)]=A/B。举例说明可以加深对极限四则运算法则的理解，例如通过计算一些函数的极限，如sin(x)/x、e^x-1/x等，来验证极限的四则运算法则。举例说明0102注意事项另外，在计算极限时，需要注意一些特殊情况，如无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量等。注意事项包括：在运用极限的四则运算法则时，需要注意函数的定义域和值域，以及函数的可导性和连续性等性质。03复合函数的极限法则极限的四则运算法则极限的四则运算法则是极限运算的基本法则，包括加法、减法、乘法和除法的极限法则。这些法则允许我们将复杂的极限表达式分解为更简单的极限表达式，从而更容易计算。复合函数的极限法则复合函数的极限法则是将复合函数分解为基本函数，并分别求极限。在求复合函数的极限时，我们需要确定内外函数的极限关系，并利用基本函数的极限法则进行计算。幂函数、指数函数和三角函数的极限法则幂函数、指数函数和三角函数是常见的函数类型，它们具有特定的极限性质。了解这些函数的极限性质可以帮助我们更好地理解和计算复合函数的极限。复合函数的极限法则通过具体例子演示复合函数的极限计算过程，例如计算(x^2+sinx)/x的极限，可以通过将复合函数分解为x和sinx/x两个部分，分别求极限后再相加得到结果。举例说明复合函数在不同点处的极限情况，例如在x=0处，函数f(x)=x^2*sin(1/x)的极限为0，而在x=π处，函数的极限不存在。举例说明需要注意复合函数中内外函数的极限关系，以及基本函数的极限法则的适用范围。在计算复合函数的极限时，需要注意函数的定义域和值域的限制，以及函数在不同点处的极限情况。对于一些复杂的复合函数，可能需要利用泰勒级数等方法进行展开，以便更好地理解和计算其极限。注意事项04函数极限的求解方法函数极限的求解方法根据极限的定义，通过任取的ε和N，求解出满足条件的x。利用极限的四则运算法则，将复杂的极限转化为简单的极限，从而求解。在求复杂函数的极限时，利用等价无穷小替换简化函数形式，从而求解。对于0/0型或∞/∞型的极限，通过分子分母分别求导再求极限的方法。定义法四则运算法则等价无穷小替换洛必达法则求lim(x→0)(sinx/x)例1求lim(x→∞)(x^2+1/x)例2求lim(x→0)((1+x)^(1/x))例3举例说明无穷小量与有界量乘积无穷小量与有界量乘积仍为无穷小量。洛必达法则的条件使用洛必达法则时，需要注意其前提条件，即分子分母的导数存在且可导。分母不为0在应用极限的四则运算法则时，需要注意分母不能为0。注意事项05无穷小量与无穷大量在某个变化过程中，一个变量如果趋于零，则称这个变量为无穷小量。无穷小量在某个变化过程中，一个变量如果趋于无穷大，则称这个变量为无穷大量。无穷大量无穷小量与无穷大量的定义123在一定条件下，无穷小量和无穷大量可以相互转化。无穷小量与无穷大量的极限性质在有限个无穷小量的运算中，它们仍然保持无穷小的性质。无穷小量的运算性质在有限个无穷大量的运算中，它们仍然保持无穷大的性质。无穷大量的运算性质无穷小量与无穷大量的性质03无穷小量与无穷大量的阶数关系在一定条件下，可以比较两个无穷小量或两个无穷大量的大小