2024届广东省中山一中、仲元中学等七校高二数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2024届广东省中山一中、仲元中学等七校高二数学第二学期期末教学质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．一定大于0 B．一定小于0C．等于0 D．正负都有可能2．函数图象交点的横坐标所在区间是()A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（1，5）3．设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图像可能为()A． B．C． D．4．用反证法证明“”时，应假设（）A． B．C． D．5．函数是定义在R上的奇函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（）A．2B．1C．0D．不能确定6．甲乙丙丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说:“乙、丁都未获奖.”乙说：“是甲或丙获奖.”丙说：“是甲获奖.”丁说：“是乙获奖.”四人所说话中只有两位是真话，则获奖的人是()A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（）A． B． C． D．8．如图是函数的导函数的图象,则下列说法正确的是()A．是函数的极小值点B．当或时,函数的值为0C．函数关于点对称D．函数在上是增函数9．已知复数满足（为虚数单位），则（）.A．1 B．2 C．3 D．10．若，，，则实数，，的大小关系为（）A． B． C． D．11．展开式的系数是（）A．-5 B．10 C．-5 D．-1012．已知函数，若，均在［1，4］内，且，，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在我校2017年高二某大型考试中，理科数学成绩，统计结果显示.假设我校参加此次考试的理科同学共有2000人，那么估计此次考试中我校成绩高于120分的人数是___________.14．已知集合则_______.15．函数的定义域为_______________．16．已知向量，，若与垂直，则实数__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．18．（12分）已知函数（1）若函数的导函数为偶函数，求的值；（2）若曲线存在两条垂直于轴的切线，求的取值范围19．（12分）某校选择高一年级三个班进行为期二年的教学改革试验，为此需要为这三个班各购买某种设备1台.经市场调研，该种设备有甲乙两型产品，甲型价格是3000元/台，乙型价格是2000元/台，这两型产品使用寿命都至少是一年，甲型产品使用寿命低于2年的概率是，乙型产品使用寿命低于2年的概率是.若某班设备在试验期内使用寿命到期，则需要再购买乙型产品更换.(1)若该校购买甲型2台，乙型1台，求试验期内购买该种设备总费用恰好是10000元的概率；(2)该校有购买该种设备的两种方案，方案：购买甲型3台；方案：购买甲型2台乙型1台.若根据2年试验期内购买该设备总费用的期望值决定选择哪种方案，你认为该校应该选择哪种方案？20．（12分）2017年3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型“小绿车”、“小黄车”采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费元不足30分钟的部分按30分钟计算；“小黄车”每30分钟收费1元不足30分钟的部分按30分钟计算有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行各租一车一次设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，，，三人租车时间都不会超过60分钟甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”．求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；2设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望．21．（12分）一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数的分布列为：123450.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位采用1期付款的概率；(2)求的分布列及期望．22．（10分）（学年上海市杨浦区高三数学一模）如图所示，用总长为定值的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.（1）设场地面积为，垂直于墙的边长为，试用解析式将表示成的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】因为f(x)在R上的单调增,所以由x2＋x1>0，得x2>-x1,所以同理得即f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0,选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行2、C【解题分析】

试题分析：设的零点在区间与图象交点的横坐标所在区间是，故选C．考点：曲线的交点．【方法点晴】本题考曲线的交点，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、综合程度高，属于较难题型．3、D【解题分析】

通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案.【题目详解】由函数的图象可知，当时，单调递减，所以时，，符合条件的只有D选项，故选D.【题目点拨】本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题.4、A【解题分析】

根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即可得出正确选项．【题目详解】根据反证法的步骤，假设是对原命题的否定，P（x0）成立的否定是使得P（x0）不成立，即用反证法证明“∀x∈R，2x＞0”，应假设为∃x0∈R，0故选：A．【题目点拨】本题考查反证法的概念，全称命题的否定，注意“改量词否结论”5、A【解题分析】试题分析：∵函数是定义在上的奇函数，∴，令代入可得，函数关于对称，由函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数关于对称从而有，故选A．考点：奇偶函数图象的对称性．【思路点睛】利用奇函数的定义可把已知转化为，从而可得函数关于对称，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则关于对称，代入即可求出结果．6、C【解题分析】

本题利用假设法进行解答.先假设甲获奖，可以发现甲、乙、丙所说的话是真话，不合题意；然后依次假设乙、丙、丁获奖，结合已知，选出正确答案.【题目详解】解:若是甲获奖，则甲、乙、丙所说的话是真话，不合题意；若是乙获奖，则丁所说的话是真话，不合题意；若是丙获奖，则甲乙所说的话是真话，符合题意；若是丁获奖，则四人所说的话都是假话，不合题意.故选C.【题目点拨】本题考查了的数学推理论证能力，假设法是经常用到的方法.7、C【解题分析】

首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型计算公式求解其概率值即可.【题目详解】由题意可得：，设被污损的数字为x，则：，满足题意时，，即：，即x可能的取值为,结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：.故选C.【题目点拨】本题主要考查茎叶图的识别与阅读，平均数的计算方法，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8、D【解题分析】

由导函数的图象得到原函数的增减区间及极值点，然后逐一分析四个命题即可得到答案．【题目详解】由函数f(x)的导函数图象可知，当x∈(−∞,−a),(−a，b)时,f′(x)<0，原函数为减函数；当x∈(b,+∞)时,f′(x)＞0，原函数为增函数.故不是函数的极值点，故A错误；当或时,导函数的值为0，函数的值未知，故B错误；由图可知，导函数关于点对称，但函数在(−∞,b)递减,在(b,+∞)递增,显然不关于点对称，故C错误；函数在上是增函数，故D正确；故答案为：D.【题目点拨】本题考查函数的单调性与导数的关系，属于导函数的应用，考查数形结合思想和分析能力，属于中等题.9、D【解题分析】

根据复数的基本运算法则进行化简，然后求模即可．【题目详解】解：，，故选：D．【题目点拨】本题主要考查复数模长的计算，属于基础题．10、A【解题分析】

利用幂指对函数的单调性，比较大小即可.【题目详解】解：，，，∴，故选：A【题目点拨】本题考查了指对函数的单调性及特殊点，考查函数思想，属于基础题.11、D【解题分析】

由题意利用二项展开式的通项公式，求出（1﹣x）5展开式x3的系数．【题目详解】解：根据（1﹣x）5展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣x）r，令r＝3，可得x3的系数是﹣＝﹣10，故选：A．【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12、D【解题分析】

先求导，利用函数的单调性，结合，确定;再利用，即，可得，，设，，确定在上递增，在有零点，即可求实数的取值范围．【题目详解】解：，当时，恒成立，则f（x）在（0，+∞）上递增，则f（x）不可能有两个相等的函数值．故；由题设，则＝考虑到，即，设，，则在上恒成立，在上递增，在有零点，则，，故实数的取值范围是．【题目点拨】本题考查了通过构造函数，转化为函数存在零点，求参数取值范围的问题，本题的难点是根据已知条件，以及，变形为，，然后构造函数转化为函数零点问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、200【解题分析】∵月考中理科数学成绩，统计结果显示，∴估计此次考试中，我校成绩高于120分的有人．点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.14、【解题分析】

先求出集合A，再求得解.【题目详解】由题得所以.故答案为【题目点拨】本题主要考查集合的补集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15、{x|x∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z}【解题分析】分析：这里的cosx以它的值充当角，要使sin（cosx）＞0转化成2kπ＜cosx＜2kπ+π，注意cosx自身的范围．详解：由sin（cosx）＞0⇒2kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）．又∵﹣1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1；故所求定义域为{x|x∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z}．故答案为：{x|x∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z}.点睛：本题主要考查了函数的定义域及其求法及复合函数单调性的判断，求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线．16、-1【解题分析】

由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k的方程，解方程即可求得实数k的值.【题目详解】由平面向量的坐标运算可得：，与垂直，则，即：，解得：.【题目点拨】本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）根据已知变形为为常数，利用等比数列求的通项公式；（2）利用累加法求数列的通项公式，然后代入求数列的通项公式，最后求和.【题目详解】解：（1）依题意，，故，故是以3为首项，3为公比的等比数列，故（2）依题意，，累加可得，，故，（时也适合）；，故，当n为偶数时，；当n为奇数时，为偶数，；综上所述，【题目点拨】本题考查了等比数列的证明以及累加法求通项公式，最后得到，当通项公式里出现时，需分是奇数和偶数讨论求和.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）求出函数的导数，由于二次函数为偶函数，所以一次项系数为，进而求得a的值；（2）由题意得存在两个不同的根，转化成二次函数的判别式大于.【题目详解】（1）∵，由题因为为偶函数，∴，即（2）∵曲线存在两条垂直于轴的切线，∴关于的方程有两个不相等的实数根，∴，即，∴.∴a的取值范围为.【题目点拨】本题考查三次函数的导数、二次函数的奇偶性、二次函数根的分布问题，考查逻辑推理和运算求解能力，求解时要懂得把曲线存在两条垂直于轴的切线转化成方程有两根.19、（1）（2）选择B方案【解题分析】【试题分析】（1）由于总费用为10000元，说明试验期内恰好有1台设备使用寿命到期，因此可运用独立事件的概率公式可求得；（2）可将问题转化为两类进行求解：（1）若选择方案，记试验期内更换该种设备台数为，总费用为元，则，所以，又，所以；（2）若选择B方案，记试验期内更换该种设备台数为，总费用元，则，，，，所以，又，所以因为，所以选择B方案．解：（1）总费用为10000元，说明试验期内恰好有1台设备使用寿命到期，概率为：；（2）若选择方案，记试验期内更换该种设备台数为，总费用为元，则，所以，又，所以；若选择B方案，记试验期内更换该种设备台数为，总费用元，则，，，，所以，又，所以因为，所以选择B方案．20、(1);(2)见解析.【解题分析】

（1）利用相互独立事件的概率公式，分两种情况计算概率即可；（2）根据相互独立事件的概率公式求出各种情况下的概率，得出分布列，利用公式求解数学期望．【题目详解】（I）由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为．记甲、乙两人所