2024届江西省赣州市于都二中高二数学第二学期期末联考模拟试题含解析

2024届江西省赣州市于都二中高二数学第二学期期末联考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是公比为的等比数列，则“对任意成立”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．若均为单位向量，且，则的最小值为（）A． B．1 C． D．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．4．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D．系统抽样5．已知为虚数单位，复数，则（）A． B． C． D．6．函数的单调递增区间为（）A． B．C． D．7．如果，则的解析式为（）A． B．C． D．8．若曲线在点处的切线方程为，则()A．-1 B． C． D．19．曲线在点处的切线的倾斜角为（）A．30° B．60° C．45° D．120°10．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”,某高中学校为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐,规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为且；选手最后得分为各场得分之和，在六场比赛后，已知甲最后得分为分，乙和丙最后得分都是分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，下列说法正确的是()A．乙有四场比赛获得第三名B．每场比赛第一名得分为C．甲可能有一场比赛获得第二名D．丙可能有一场比赛获得第一名11．一个盒子里有7只好的晶体管、5只坏的晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回，在第一次取到好的条件下，第二次也取到好的概率（）A． B． C． D．12．已知椭圆E:x2a2+y24=1，设直线l:y=kx+1k∈R交椭圆A．mx+y+m=0 B．mx+y-m=0C．mx-y-1=0 D．mx-y-2=0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，则____14．若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆截得的弦长为4，则为坐标原点的最小值为______．15．设椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，且，，则该椭圆的离心率为．16．椭圆的焦点为、，为椭圆上的一点，，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）求直线与平面所成角的正弦值.（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.18．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）如果，求的取值范围.19．（12分）请先阅读：在等式的两边求导，得：，由求导法则，得：，化简得等式：．利用上述的想法，结合等式（,正整数）（1）求的值；（2）求的值．20．（12分）的展开式中第六项与第七项的系数相等，求和展开式中二项式系数最大的项.21．（12分）已知函数.（1）当时，证明：；（2）若在的最大值为2，求a的值.22．（10分）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.（1）求抛物线的方程;（2）直线与抛物线交于两点，若（为坐标原点），则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据等比数列的通项公式，由充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果.【题目详解】因为是公比为的等比数列，若对任意成立，则对任意成立，若，则；若，则；所以由“对任意成立”不能推出“”；若，，则，即；所以由“”不能推出“对任意成立”；因此，“对任意成立”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.【题目点拨】本题主要考查既不充分也不必要条件的判断，熟记概念即可，属于基础题型.2、A【解题分析】

∴则当与同向时最大，最小，此时=，所以=-1，所以的最小值为，故选A点睛：本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查向量模的求解，考查学生分析问题解决问题的能力，求出，表示出，由表达式可判断当与同向时，最小.3、A【解题分析】

该空间几何体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，分别求出体积即可.【题目详解】该空间几何体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，底面三角形的面积为，三棱柱和三棱锥的高为1，则三棱柱的体积，三棱锥的体积为，故该几何体的体积为.故选A.【题目点拨】本题考查了空间组合体的三视图，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.4、C【解题分析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.考点：分层抽样．5、C【解题分析】

对进行化简，得到标准形式，在根据复数模长的公式，得到【题目详解】对复数进行化简所以【题目点拨】考查复数的基本运算和求复数的模长，属于简单题.6、B【解题分析】

先求出的定义域,再利用同增异减以及二次函数的图像判断单调区间即可.【题目详解】令,得f(x)的定义域为,根据复合函数的单调性规律,即求函数在上的减区间,根据二次函数的图象可知为函数的减区间.故选：B【题目点拨】本题主要考查对数函数的定义域以及复合函数的单调区间等,属于基础题型.7、C【解题分析】

根据配凑法，即可求得的解析式，注意定义域的范围即可．【题目详解】因为，即令，则，即所以选C【题目点拨】本题考查了配凑法在求函数解析式中的应用，注意定义域的范围，属于基础题．8、B【解题分析】分析：求出导数，求得切线的斜率，由切线方程可得，即可得到答案.详解：的导数为，曲线在点处的切线方程为，有，解得.故选：B.点睛：本题考查导数的运用，求切线的斜率，注意运用导数的几何意义，正确求导是解题的关键.9、C【解题分析】

求导得：在点处的切线斜率即为导数值1.所以倾斜角为45°.故选C.10、A【解题分析】

先计算总分，推断出，再根据正整数把计算出来，最后推断出每个人的得分情况，得到答案.【题目详解】由题可知,且都是正整数当时，甲最多可以得到24分，不符合题意当时，，不满足推断出，最后得出结论:甲5个项目得第一,1个项目得第三乙1个项目得第一,1个项目得第二，4个项目得第三丙5个项目得第二,1个项目得第三,所以A选项是正确的.【题目点拨】本题考查了逻辑推理,通过大小关系首先确定的值是解题的关键,意在考查学生的逻辑推断能力.11、C【解题分析】

第一次取到好的条件下，第二次即：6只好的晶体管、5只坏的晶体管中取到好的概率，计算得到答案.【题目详解】第一次取到好的条件下，第二次即：6只好的晶体管、5只坏的晶体管中取到好的概率故答案选C【题目点拨】本题考查了条件概率，将模型简化是解题的关键，也可以用条件概率公式计算.12、D【解题分析】

在直线l中取k值，对应地找到选项A、B、C中的m值，使得直线与给出的直线关于坐标轴或原点具有对称性得出答案。【题目详解】当直线l过点-1,0，取m=-1，直线l和选项A中的直线重合，故排除A；当直线l过点1,0，取m=-1，直线l和选项B中的直线关于y轴对称，被椭圆E截得的弦长相同，故排除B；当k=0时，取m=0，直线l和选项C中的直线关于x轴对称，被椭圆E截得的弦长相同，故排除C；直线l的斜率为k，且过点0,1，选项D中的直线的斜率为m，且过点0,-2，这两条直线不关于x轴、y轴和原点对称，故被椭圆E所截得的弦长不可能相等。故选：D。【题目点拨】本题考查直线与椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中等题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解题分析】

去括号化简，令虚部为0，可得答案.【题目详解】，故答案为4.【题目点拨】本题主要考查了复数的乘法运算以及复数为实数的等价条件.14、【解题分析】

先求得圆的圆心与半径，可知直线一定过圆心得．又，，由均值不等式可求得最值．【题目详解】由题意可得的圆心为（-1，2），半径为2,而截得弦长为4，所以直线过圆心得，又，所以当且仅当时等号成立．【题目点拨】本题综合考查直线与圆，均值不等式求最值问题，本题的关键是由弦长为4，判断出直线过圆心．15、【解题分析】试题分析：在中，，，设，则.考点：椭圆的定义.【易错点晴】本题的考点是椭圆定义的考查，即的等式关系和几何意义.由给定的条件可知三角形不仅是直角三角形，也可以得到其中一个锐角，由此可用来表示直角三角形的三个边，再根据椭圆的定义便可建立等式关系，求得椭圆的离心率.椭圆中研究的关系不仅选择填空会考有时解答题也会出，它是研究椭圆基础.16、8【解题分析】分析：根据椭圆的方程，得到，由知为直角三角形，在中利用勾股定理得|．再根据椭圆的定义得到，两式联解可得，由此即可得到Rt△F1PF2的面积为S=1．详解：∵椭圆方程为，且，可得

∵，∴…①

根据椭圆的定义，得|，

∴…②

②减去①，得，可得

即答案为：8点睛：本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求焦点三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解题分析】分析：（Ⅰ）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量的坐标，再求出平面PCD的法向量，设PB与平面PCD的夹角为θ，由求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅱ）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由可得M（0，1﹣λ，λ），，由BM∥平面PCD，可得，由此列式求得当时，M点即为所求．详解：(1)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC＝CD，所以CO⊥AD.以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则，，设为平面PCD的法向量，则由，得，则．设PB与平面PCD的夹角为θ，则=；(2)假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，则有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得．综上，存在点M，即当时，M点即为所求．点睛：点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18、（1）答案见解析；上是增函数；（2）.【解题分析】分析：（1）求导得：,分类讨论可知当时，在上是增函数，当时，在上是减函数；在上是增函数.（2）由（1）可知，时，函数有最小值，据此可得关于实数a的不等式，且满足题意，据此可知.详解：（1）求导得：,当时，恒成立，所以在上是增函数，当时，令，则.①当时，，所以在上是减函数；②时，，所以在上是增函数.（2）由（1）可知，时，，，，解得，又由于，综上所述：.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最值问题．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．19、(1)；(2).【解题分析】

（1）根据题意对两边求导，再令得到结果；（2）对已知式子两边同时乘以得：再令，求得答案.【题目详解】（1）依题意得对两边同时求导得：令得：（2）由（1）得：两边同时乘以得：对上式两边同时求导得即令，【题目点拨】本题以新定义为背景的创新题，考查二项式定和导数知识的交会，要求读懂题意并会把知识迁移到新情境中进行问题解决，对综合能力要求较高.20、,二项式系数最大的项为．【解题分析】

利用二项式定理的通项公式及其性质、排列与组合数的计算公式即可得出．【题目详解】，，依题意有，，化为：，解得．所以的展开式中