2024届福建师大附中数学高二下期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届福建师大附中数学高二下期末学业质量监测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．的展开式中，各项系数的和为32，则该展开式中x的系数为（）A．10 B． C．5 D．2．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A． B． C． D．3．运行下列程序，若输入的的值分别为，则输出的的值为A． B．C． D．4．函数的一个零点所在的区间是()A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)5．一个几何体的三视图如图所示，若主视图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，左视图是底边为2的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A． B． C．2 D．46．若直线经过点，且原点到直线的距离为，则直线的方程为A． B．C．或 D．或7．已知A(2，－5,1)，B(2，－4，2)，C(1，－4,1)，则与的夹角为（）A．30° B．60° C．45° D．90°8．函数f(x)＝的图象大致为()A． B．C． D．9．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为A．5 B．2 C．3 D．211．设集合，则（）A．[－4，－2] B．(－∞，1] C．[1，＋∞) D．(－2，1]12．“”是“函数为奇函数”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域中种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的总数为____．14．已知函数，若，则m的取值范围是___________.15．已知正项数列{an}满足，若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________．16．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造.算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，用算筹表示数1～9的方法如图:例如：163可表示为“”，27可表示为“”.现有6根算筹，用来表示不能被10整除的两位数，算筹必须用完，则这样的两位数的个数为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点A是椭圆的上顶点，斜率为的直线交椭圆E于A、M两点，点N在椭圆E上，且；（1）当时，求的面积；（2）当时，求证：.18．（12分）已知函数．（1）求的单调区间和极值；（2）求曲线在点处的切线方程．19．（12分）若存在常数（），使得对定义域内的任意，（），都有成立，则称函数在其定义域上是“利普希兹条件函数”.（1）判断函数是否是“利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（2）若函数（）是“利普希兹条件函数”，求常数的最小值；（3）若（）是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数，，都有.20．（12分）已知函数，.（1）解关于的不等式；（2）若函数在区间上的最大值与最小值之差为5，求实数的值；（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知函数（1）求的最小值（2）若不等式的解集为M，且，证明：.22．（10分）（1）解不等式：.（2）己知均为正数.求证：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

令得各项系数和，求得，再由二项式定理求得展开式中x的系数．【题目详解】令得，，二项式为，展开式通项为，令，，所以的系数为．故选：A.【题目点拨】本题考查二项式定理，考查二项展开式中各项系数的和．掌握二项式定理是解题关键．赋值法是求二项展开式中各项系数和的常用方法．2、D【解题分析】

分析：先求出A集合，然后由图中阴影可知在集合A中出去A,B的交集部分即可.详解：由题得：所以故有题中阴影部分可知：阴影部分表示的集合为故选D.点睛：考查集合的交集和补集，对定义的理解是解题关键，属于基础题.3、B【解题分析】分析：按照程序框图的流程逐一写出即可详解：第一步：第二步：第三步：第四步：最后：输出．，故选B．点睛：程序框图的题学生只需按照程序框图的意思列举前面有限步出来，观察规律，得出所求量与步数之间的关系式．4、C【解题分析】

根据函数零点的判定定理进行判断即可【题目详解】是连续的减函数，又可得f（2）f（3）＜0，∴函数f（x）的其中一个零点所在的区间是(2,3)故选C【题目点拨】本题考查了函数零点的判定定理，若函数单调，只需端点的函数值异号即可判断零点所在区间，是一道基础题．5、A【解题分析】

由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截掉两个三棱锥，利用所给数据，求出三棱柱与三棱锥的体积，从而可得结果.【题目详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截掉两个三棱锥，画出几何体的直观图，如图，把几何体补形为一个直三棱柱，由三视图的性质可知三棱柱的底面面积，高，所以，,所以，几何体的体积为.故选A.【题目点拨】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6、D【解题分析】

当直线斜率不存在时，满足题意；当直线斜率存在时，假设直线方程，利用点到直线距离公式构造方程解得结果.【题目详解】当直线斜率不存在时，方程为：，满足题意；当直线斜率存在时，设直线方程为：，即：原点到直线距离：，解得：直线为：，即：综上所述：直线的方程为：或本题正确选项：【题目点拨】本题考查点到直线距离公式的应用，易错点是忽略直线斜率不存在的情况，导致求解错误.7、B【解题分析】分析：由题意可得，，进而得到与，再由，可得结论.详解：，，，并且，，与的夹角为，故选B.点睛：本题主要考查空间向量夹角余弦公式，属于中档题.解决此类问题的关键是熟练掌握由空间点的坐标写出向量的坐标与向量求模.8、D【解题分析】

根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值可区分剩余两个选项.【题目详解】因为f(－x)＝≠f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称，排除选项B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故选D.【题目点拨】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.9、B【解题分析】

首先判断充分性可代特殊值，然后再判断必要性.【题目详解】当时，令，此时，所以不是充分条件；反过来，当时，可得，且，即，所以是必要条件，是的必要不充分条件，故选B.【题目点拨】本题考查必要不充分条件，根据必要不充分条件的判断方法判断即可.10、D【解题分析】

利用点到直线的距离公式求出|PF2|cos∠POF2=ac，由诱导公式得出cos∠POF1=-ac，在【题目详解】如下图所示，双曲线C的右焦点F2(c,0)，渐近线l1由点到直线的距离公式可得|PF由勾股定理得|OP|=|O在RtΔPOF2中，∠OPF在ΔPOF2中，|OP|=a，|PFcos∠PO由余弦定理得cos∠POF1即c=2a，因此，双曲线C的离心率为e=c【题目点拨】本题考查双曲线离心率的求解，属于中等题。求离心率是圆锥曲线一类常考题，也是一个重点、难点问题，求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：①直接求出a、c，可计算出离心率；②构造a、c的齐次方程，求出离心率；③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解。11、B【解题分析】分析：先解不等式得出集合B，再由集合的运算法则计算．详解：由题意，，∴．故选B．点睛：本题考查集合的运算，解题关键是确定集合的元素，要注意集合的代表元是什么，由代表元确定如何求集合中的元素．12、B【解题分析】时，，当时，，函数为奇函数；当时，，函数不是奇函数时，不一定奇函数，当是奇函数时，由可得，所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件，故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先种B、E两块，再种A、D,而种C、F与种A、D情况一样，根据分类与分步计数原理可求．【题目详解】先种B、E两块，共种方法，再种A、D,分A、E相同与不同，共种方法，同理种C、F共有7种方法，总共方法数为【题目点拨】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.本题先种B、E两块，让问题变得更简单．14、【解题分析】

求导得到，利用均值不等式判断，得到函数单调递增，故，解得答案.【题目详解】，函数在R上单调递增，又，，可得，解得或.故答案为：.【题目点拨】本题考查了利用函数的单调性解不等式，均值不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.15、.【解题分析】

先化简得到数列{an}是一个等比数列和其公比，再求数列{an}的前n项和.【题目详解】因为，所以，因为数列各项是正项，所以，所以数列是等比数列，且其公比为3，所以数列{an}的前n项和为.故答案为：【题目点拨】（1）本题主要考查等比数列性质的判定，考查等比数列的前n项和，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)解答本题的关键是得到.16、16【解题分析】

根据算筹计数法，需要对不能被10整除的两位数进行分类讨论。可采用列举法写出具体个数【题目详解】根据算筹计数法中的技术特点，可分为：“1”作十位数：另外五根算筹有两种组合方式，分别为15、19“2”作十位数：另外四根算筹有两种组合方式，分别为24、28“3”作十位数：另外三根算筹有两种组合方式，分别为33、37“4”作十位数：另外两根算筹有两种组合方式，分别为42、46“5”作十位数：另外一根算筹有两种组合方式，分别为51“6”作十位数：另外四根算筹有两种组合方式，分别为64、68“7”作十位数：另外三根算筹有两种组合方式，分别为73、77“8”作十位数：另外两根算筹有两种组合方式，分别为82、86“9”作十位数：另外一根算筹有两种组合方式，分别为91所以这样的两位数的个数共有16个【题目点拨】本题结合中国古代十进制的算筹计数法，体现了数学与生活的联系，数学服务于生活的思想，对于这种数学文化题型，合理的推理演绎，学会寻找规律规律是解题关键。本题还可采用分析算筹组合特点，先考虑十位数特点，再考虑个位数特点，采用排列组合方式进行求解三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解题分析】

（1）由椭圆对称性确定直线斜率为1，斜率为-1，求出点坐标后可得三角形面积；（2）由直线方程为求得点坐标（横坐标即可），得，同理得（直线斜率为），利用得的方程，利用函数的知识（导数）证明此方程的解在区间上．【题目详解】（1）由椭圆对称性知点M、N的纵坐标相等，横坐标互为相反数，且，由题意，，方程为，于是可以设点其中，于是，解得，所以.（2）据题意，直线，联立椭圆E，得：，即：，则，那么，同理，知：，由，得：，即：.令，则，所以单调增，又，，故存在唯一零点，即.【题目点拨】本题考查直线与椭圆相交中的三角形面积，考查求直线方程．解题方法是求出直线与椭圆的交点坐标，得出弦长，由弦长关系得关系式．本题考查了运算求解能力．18、（1）极大值为，极小值为（2）【解题分析】

试题分析：（Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根据二次函数的图象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由导数与函数单调性关系求出f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）由导数的几何意义求出f′（0）：切线的斜率，由解析式求出f（0）的值，根据点斜式求出曲线在点（0，f（0））处的切线方程，再化为一般式方程试题解析：（1），，．①当时，；②当时，．当变化时，，的变化情况如下表：当时，有极大值，并且极大值为当时，有极小值，并且极小值为（2），．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值19、（1）不是；详见解析（2）；（3）证明见解析.【解题分析】

（1）利用特殊值,即可验证是不是“利普希兹条件函数”.（2）分离参数,将不等式变为关于,的不等式,结合定义域即可求得常数的最小值;（3）设出的最大值和最小值,根据一个周期内必有最大值与最小值,结合与1的大小关系,及“利普希兹条件函数”的性质即可证明式子成立.【题目详解】（1）函数不是“利普希兹条件函数”证明:函数的定义域为令则所以不满足所以函数不是“利普希兹条件函数”（2）若函数（）是“利普希兹条件函数”则对定义域内任意,（）,均有即设则,即因为所以所以满足的的最小值为（3）证明:设的最大值为,最小值为在一个周期内,函数值必能取到最大值与最小值设因为函数（）是周期为2的“利普希兹条件函数”则若,则成立若,可设,则所以成立综上可知,对任意实数,都成立原式得证.【题目点拨】本题考查了函数新定义及抽象函数性质的应用,对题意正确理解并分析解决问题的方法是关键,属于难题.20、（1）；（2）；（3），【解题分析】

（1）令由得进而求解；（2）由（1）知在上单调递增，进而求解；（3）根据指数