山东省青岛市胶州市2024届数学高二第二学期期末经典模拟试题含解析

山东省青岛市胶州市2024届数学高二第二学期期末经典模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的图象关于对称，的图象在点处的切线过点，若图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（）A． B． C． D．2．若函数fx=3sinπ-ωx+sin5π2+ωx，且fA．2kπ-2π3C．kπ-5π123．1+x-x210A．10 B．30 C．45 D．2104．已知函数的导函数为，则（）A． B． C． D．5．已知与之间的一组数据，则与的线性回归方程必过点（）A． B． C． D．6．命题；命题.若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是（）A． B．或C．或 D．或7．已定义在上的函数无极值点，且对任意都有，若函数在上与具有相同的单调性，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．8．设，则的值为（）A．29 B．49C．39 D．599．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f（x）=x﹣[x]，则下列命题中正确的是①函数f（x）的最大值为1；②函数f（x）的最小值为0；③方程有无数个根；④函数f（x）是增函数．A．②③ B．①②③ C．② D．③④10．已知，的线性回归直线方程为，且，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的为A．变量，之间呈现正相关关系 B．可以预测，当时，C． D．由表格数据可知，该回归直线必过点11．已知函数是定义在上的函数，且满足，其中为的导数，设，，，则、、的大小关系是A． B． C． D．12．如图，设D是边长为l的正方形区域，E是D内函数与所构成(阴影部分)的区域，在D中任取一点，则该点在E中的概率是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知全集,集合,,则______.14．已知是定义在上的函数,若在定义域上恒成立，而且存在实数满足：且，则实数的取值范围是_______15．不等式＜恒成立，则a的取值范围是________．16．甲、乙两地都位于北纬45°，它们的经度相差90°，设地球半径为，则甲、乙两地的球面距离为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论在上的单调性；（2）若对恒成立，求正整数的最小值.18．（12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：，，，（I）从中任意拿取张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数，在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（II）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望.19．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣ex（a∈R）．其中e是自然对数的底数．（1）讨论函数f（x）的单调性并求极值；（2）令函数g（x）＝f（x）+ex，若x∈[1，+∞）时，g（x）≥0，求实数a的取值范围．20．（12分）函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为空集，求的取值范围．21．（12分）设数列的前项和为．已知，．（1）若，证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和．22．（10分）设（Ⅰ）求的单调区间.（Ⅱ）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

首先根据函数的图象关于点对称得到，，即.利用导数的切线过点得到，再求函数在处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子计算即可.【题目详解】因为函数的图象关于点对称，所以.即：，解得，.所以，，切点为.，.切线为：.因为切线过点，所以，解得.所以，.，所以.所以.故选：B【题目点拨】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.2、A【解题分析】

本题首先要对三角函数进行化简，再通过α-β的最小值是π2推出函数的最小正周期，然后得出ω【题目详解】fx==3sin=2sin再由fα=2，fβ=0，α-β的最小值是fx=2sinx+x∈2kπ-2π3【题目点拨】本题需要对三角函数公式的运用十分熟练并且能够通过函数图像的特征来求出周期以及增区间．3、B【解题分析】1+x-x210=（-1-x+x2）10=[（x2-x）-1]10

的展开式的通项公式为C10rC10-rkx210-r-k-1k4、D【解题分析】

求导数，将代入导函数解得【题目详解】将代入导函数故答案选D【题目点拨】本题考查了导数的计算，把握函数里面是一个常数是解题的关键.5、C【解题分析】

计算出和，即可得出回归直线必过的点的坐标.【题目详解】由题意可得，，因此，回归直线必过点，故选：C.【题目点拨】本题考查回归直线必过的点的坐标，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查结论的应用，属于基础题.6、B【解题分析】

首先解出两个命题的不等式，由为假命题，为真命题得命题和命题一真一假．【题目详解】命题，命题．因为为假命题，为真命题．所以命题和命题一真一假，所以或，选择B【题目点拨】本题主要考查了简易逻辑的问题，其中涉及到了不等式以及命题真假的判断问题，属于基础题．7、A【解题分析】分析：易得函数是单调函数，令，则，（为常数），求出的单调性，从而求出在的单调性，得到在恒成立，求出的范围即可．详解：∵定义在上的函数的导函数无零点，∴函数是单调函数，

令，则，在]恒成立，故在递增，

结合题意在上递增，

故在恒成立，

故在恒成立，故，

故选A．点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题8、B【解题分析】

根据二项式特点知，，，，，为正，，，，，为负，令，得.【题目详解】因为，，，，为正，，，，，为负，令，得，故选：B.【题目点拨】本题主要考查了二项式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9、A【解题分析】

本题考查取整函数问题，在解答时要先充分理解[x]的含义，根据解析式画出函数的图象，结合图象进行分析可得结果．【题目详解】画出函数f(x)=x−[x]的图象，如下图所示．由图象得，函数f(x)的最大值小于1，故①不正确；函数f(x)的最小值为0，故②正确；函数每隔一个单位重复一次，所以函数有无数个零点，故③正确；函数f(x)有增有减，故④不正确．故答案为②③．【题目点拨】本题难度较大，解题的关键是正确理解所给函数的意义，然后借助函数的图象利用数形结合的方法进行求解．10、C【解题分析】

A中，根据线性回归直线方程中回归系数0.82＞0，判断x，y之间呈正相关关系；B中，利用回归方程计算x＝5时的值即可预测结果；C中，计算、，代入回归直线方程求得m的值；D中，由题意知m＝1.8时求出、，可得回归直线方程过点（，）．【题目详解】已知线性回归直线方程为0.82x+1.27，0.82＞0，所以变量x，y之间呈正相关关系，A正确；计算x＝5时，0.82×5+1.27＝5.37，即预测当x＝5时y＝5.37，B正确；（0+1+2+3）＝1.5，（0.8+m+3.1+4.3），代入回归直线方程得0.82×1.5+1.27，解得m＝1.8，∴C错误；由题意知m＝1.8时，1.5，2.5，所以回归直线方程过点（1.5，2.5），D正确．故选C．【题目点拨】本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题．11、A【解题分析】

构造函数，根据的单调性得出结论．【题目详解】解：令，则，在上单调递增，又，，即，即故选：．【题目点拨】本题考查了导数与函数的单调性，考查函数单调性的应用，属于中档题．12、A【解题分析】试题分析：正方形面积为1，阴影部分的面积为，所以由几何概型概率的计算公式得，点在E中的概率是，选A.考点：定积分的应用，几何概型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用集合补集和交集的定义直接求解即可.【题目详解】因为全集,集合,,所以.故答案为：【题目点拨】本题考查了集合的补集、交集的定义,属于基础题.14、【解题分析】

由函数定义域及复合函数的关系可得，解得，设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，由与抛物线联立，解得中点在得，从而在有两不等的实数根，利用二次函数根的分布列不等式组求解即可.【题目详解】因为，，所以时满足；设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，令由设、为直线与抛物线的交点，线段中点为，所以，所以，而在上，所以，从而在有两不等的实数根，令，所以。【题目点拨】本题主要考查了二次型复合函数的性质，考查了转化与化归的能力，属于难题.15、(－2,2)【解题分析】

利用指数函数的单调性可以得到一元二次不等式恒成立问题，再根据判别式即可求得结果.【题目详解】由指数函数的性质知y＝x是减函数，因为＜恒成立，所以x2＋ax＞2x＋a－2恒成立，所以x2＋(a－2)x－a＋2＞0恒成立，所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)＜0，即(a－2)(a－2＋4)＜0，即(a－2)(a＋2)＜0，故有－2＜a＜2，即a的取值范围是(－2,2)．【题目点拨】本题考查不等式恒成立问题，利用指数函数的单调性将指数不等式转化为一元二次不等式是本题的关键，属基础题.16、【解题分析】

根据两地的经度差得两地纬度小圆上的弦长，再在这两地与球心构成的三角形中运用余弦定理求出球心角，利用弧长公式求解.【题目详解】由已知得，所以，所以，所以在中，，所以，所以甲、乙两地的球面距离为.故得解.【题目点拨】本题考查两点的球面距离，关键在于运用余弦定理求出球心角，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)在上单调递增，在上单调递减;(2)5.【解题分析】分析：（1）对函数求导，分类讨论即可；（2）∵对恒成立，∴，解得或，则正整数的最小值为.即只需要证明当时，对恒成立即可.详解：（1），当时，在上单调递增.当或时，，在单调递减.当且时，令，得；令，得.∴在上单调递增，在上单调递减.（2）∵对恒成立.∴，解得或，则正整数的最小值为.下面证明当时，对恒成立，过程如下：当时，令，得；令，得.故，从而对恒成立.故整数的最小值为.点睛：不等式的证明问题，可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想.18、（1）（2）数学期望为.【解题分析】

（Ⅰ）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数，先求出基本事件总数为，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，再求出满足条件的基本事件个数为，由此能求出结果．（Ⅱ）ξ可取1，2，3，1．分别求出对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【题目详解】解：(Ⅰ)为奇函数；为偶函数；为偶函数；为奇函数;为偶函数；为奇函数，所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；基本事件总数为，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，满足条件的基本事件个数为，故所求概率.(Ⅱ)可取；;；故的分布列为.的数学期望为.【题目点拨】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）函数f（x）的定义域为（1，+∞）．求出函数的导函数，然后对a分类讨论可得原函数的单调性并求得极值；（2）对g（x）求导函数，对a分类讨论，当a≥1时，易得g（x）为单调递增，有g（x）≥g（1）＝1，符合题意．当a＜1时，结合零点存在定理可得存在x1∈（1，）使g′（x1）＝1，再结合g（1）＝1，可得当x∈（1，x1）时，g（x）＜1，不符合题意．由此可得实数a的取值范围．【题目详解】（1）函数f（x）的定义域为（1，+∞）．f′（x）．①当a≤1时，f′（x）＜1，可得函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，f（x）无极值；②当a＞1时，由f′（x）＞1得：1＜x，可得函数f（x）在（1，）上单调递增．由f′（x）＜1，得：x，可得函数f（x）在（，+∞）单调递减，∴函数f（x）在x时取极大值为：f（）＝alna﹣2a；（2）由题意有g（x）＝alnx﹣ex+ex，x∈[1，+∞）．g′（x）．①当a≥1时，g′（x）．故当x∈[1，+∞）时，g（x）＝alnx﹣ex+ex为单调递增函数；g（x）≥g（1）＝1，符合题意．②当a＜1时，g′（x），令函数h（x），由h′（x）1，c∈[1，+∞），可知：g′（x）为单调递增函数，又g′（1）＝a＜1，g′（x），当x时，g′（x）＞1．∴存在x1∈（1，）使g′（x1）＝1，因此函数g（x）在（1，x1）上单调递减，在（x1，+∞）上单调递增，又g（1）＝1，∴当x∈（1，x1）时，g（x）＜1，不符合题意．综上，所求实数a的取值范围为[1，+∞）．【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，考查了利用了进行放缩的技巧，是难题．20、（1）（2）【解题分析】

（1）由得，分，，三种情况讨论，即可得出结果；（2）先由的解集为空集，得恒成立，再由绝对值不等式的性质求出的最大值，即可得出结果.【题目详解】解：（1）当时，不等式，即，当时，原不等式可化为，即，显然不成立，此时原不等式无解；当时，