吉林省四平市2024届高二数学第二学期期末统考试题含解析

吉林省四平市2024届高二数学第二学期期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若随机变量服从正态分布，则（）参考数据：若，则,，A．0.84 B．0.9759 C．0.8185 D．0.68262．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a7+a9＝21，则S13＝（）A．36 B．72 C．91 D．1823．已知i是虚数单位，若z=1+i1-2i，则z的共轭复数A．-13-i B．-14．已知直线是圆的对称轴，则实数()A． B． C．1 D．25．双曲线的渐近线的斜率是()A． B． C． D．6．既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（）A． B． C． D．7．命题，则（）A．是真命题，，B．是假命题，，C．是真命题，，D．是假命题，，8．已知函数在处取得极值，对任意恒成立，则A． B． C． D．9．已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则A．2 B．4 C．6 D．810．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是()A． B．C． D．11．等比数列的前n项和为，已知，则A． B． C． D．12．已知实数成等差数列,且曲线取得极大值的点坐标为,则等于（）A．-1 B．0 C．1 D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．(x-114．已知a，b∈{0,1，2，3}，则不同的复数z=a+bi的个数是______．15．已知集合则_______.16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a＝________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数fx（1）当a=2，求函数fx（2）若函数fx18．（12分）已知集合，.（1）若，，求实数的取值范围；（2）若，且，求实数的取值范围.19．（12分）某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）①根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率.②根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务？并说明理由.（2）该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率.20．（12分）已知函数f（x）＝xex（1）求函数f（x）的极值．（2）若f（x）﹣lnx﹣mx≥1恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）在平面直角坐标系中,设向量,.(1)当时,求的值；(2)若，且.求的值.22．（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．求证：为等腰直角三角形

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据题意可知，，所以，由公式即可求出．【题目详解】根据题意可知，，所以，故选A．【题目点拨】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，意在考查数形结合思想，化归与转化思想的应用．2、C【解题分析】

根据等差数列的性质求出,根据等差数列的前项和公式可得.【题目详解】因为{an}为等差数列,所以,所以,所以.故选C.【题目点拨】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前项和.属于基础题.3、C【解题分析】

通过分子分母乘以分母共轭复数即可化简，从而得到答案.【题目详解】根据题意z=1+i1+2i【题目点拨】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的概念，难度较小.4、B【解题分析】

由于直线是圆的对称轴，可知此直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程中可求出的值【题目详解】解：圆的圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以直线过圆心，所以，解得，故选：B【题目点拨】此题考查直线与圆的位置关系，利用了圆的对称性求解，属于基础题5、C【解题分析】

直接利用渐近线公式得到答案.【题目详解】双曲线渐近线方程为：答案为C【题目点拨】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题.6、D【解题分析】

试题分析：根据函数和都是奇函数，故排除A，C；由于函数是偶函数，周期为，在上是减函数，在上是增函数，故不满足题意条件，即B不正确；由于函数是偶函数，周期为，且在上是减函数，故满足题意，故选D.考点：余弦函数的奇偶性；余弦函数的单调性.7、C【解题分析】分析：根据命题真假的判断和含有量词的命题的否定，即可得到结论.详解：，恒成立是真命题，，故选C.点睛：本题考查命题真假的判断，含有量词的命题的否定关系的应用.8、C【解题分析】分析：根据函数在处取得极值解得，由于，对任意恒成立，则，确定的值。再由三次函数的二阶导数的几何意义，确定的对称中心，最后求解。详解：已知函数在处取得极值，故，解得。对任意恒成立，则，对任意恒成立，则所以.所以函数表达式为，，，令，解得，由此，由三次函数的性质，为三次函数的拐点，即为三次函数的对称中心,，所以，.故选C。点睛：在某点处的极值等价于在某点处的一阶导函数的根，二阶导函数的零点的几何意义为函数的拐点，三次函数的拐点的几何意义为三次函数的对称中心。二阶导函数的零点为拐点，但不是所有的拐点都为对称中心。9、B【解题分析】本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故选B．10、C【解题分析】

根据导函数图象，确定出函数的单调区间和极值，从而可得结论.【题目详解】根据的图象可知，当或时，，所以函数在区间和上单调递增；当时，，所以函数在区间上单调递减，由此可知函数在和处取得极值，并且在处取得极大值，在处取得极小值，所以的图象最有可能的是C.故选：C.【题目点拨】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，考查数形结合思想和分析能力.解决此类问题，要根据导函数的图象确定原函数的单调区间和极值，一定要注意极值点两侧导数的符号相反.11、A【解题分析】设公比为q,则，选A.12、B【解题分析】由题意得，，解得由于是等差数列，所以，选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-5【解题分析】试题分析：∵(x-12x)6的通项为，令，∴，故展开式中常数项为-考点：二项式定理．14、1【解题分析】

分a=b和a≠b两种情况讨论，结合排列数公式求解．【题目详解】当a=b时，复数z=a+bi的个数是4个；当a≠b时，由排列数公式可知，组成不同的复数z=a+bi的个数是A42∴不同的复数z=a+bi的个数是1个．故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查了排列及排列数公式，涉及分类讨论思想，属于中档题．15、【解题分析】

先求出集合A，再求得解.【题目详解】由题得所以.故答案为【题目点拨】本题主要考查集合的补集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16、1【解题分析】由双曲线可知a>0，且焦点在x轴上，根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．故实数a＝1.点睛：如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；(2)0,2【解题分析】

（1）代入a的值，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可．【题目详解】（1）当a=2时，f'x=2x-列表：x011f—0+f↘极小值f↗所以，当x=1时，fx有极小值f1=（2）①因为fx=x2-a当a≤0时，f'所以fx在0，+∞当a>0时，由f'x>0得x>a2，由所以fx在0，a2上单调递减，所以fx在x1°当a=2时，fx在0，1上单调递减，fx2°当0<a<2时，a2<1，故fa注意到fx=x取x0=e-1设gx=xlnx,g列表x011g—0+g↘极小值g↗所以，当x=1e，gx所以xlnx>-1e>-1因此，根据零点存在性定理知，在e-1a又x=1也是fx的一个零点，则f3°当a>2时，a2>1，故fa注意到lnx<x，取x则f>a+1因此，根据零点存在性定理知，在a2,a+1上又x=1也是fx的一个零点，则f综上所述，实数a的取值范围是0,2∪【题目点拨】本题考查了函数的单调性，最值及零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．18、（1）；（2）【解题分析】

结合指数函数和对数函数性质可分别求得集合和集合；（1）由交集定义得到，分别在和两种情况下构造不等式求得结果；（2）由并集定义得到，根据交集结果可构造不等式求得结果.【题目详解】（1）当时，，解得：，满足当时，，解得：综上所述：实数的取值范围为（2），解得：实数的取值范围为【题目点拨】本题考查根据集合包含关系、交集结果求解参数范围的问题，涉及到指数函数和对数函数性质的应用；易错点是在根据包含关系求参数范围时，忽略子集可能为空集的情况，造成范围求解错误.19、（1）①；②17，理由见解析；（2）.【解题分析】

（1）①利用频率分布直方图能求出月销售额在，内的频率．②若的推销员能完成月销售额目标，则意味着的推销员不能完成该目标．根据频率分布直方图知，，和，两组频率之和为0.18，由此能求出月销售额目标应确定的标准．（2）根据直方图可知，销售额为，和，的频率之和为0.08，由可知待选的推销员一共有4人，设这4人分别为，，，，利用列举法能求出选定的推销员来自同一个小组的概率．【题目详解】解：（1）①月销售额在小组内的频率为.②若要使70%的推销员能完成月销售额目标，则意味着30%的推销员不能完成该目标.根据题图所示的频率分布直方图知，和两组的频率之和为0.18，故估计月销售额目标应定2为（万元）.（2）根据直方图可知，月销售额为和的频率之和为0.08，由可知待选的推销员一共有4人.设这4人分别为，则不同的选择为，一共有6种情况，每一种情况都是等可能的，而2人来自同一组的情况有2种，所以选出的推销员来自同一个小组的概率.【题目点拨】本题考查频率、月销售额目标、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．20、（1）极小值.无极大值；（2）【解题分析】

（1）利用导数可得函数在上单调递减，在上单调递增，即可得到函数的极值；（2）由题意得恒成立，即恒成立，设，求得函数的导数，得到函数在有唯一零点，进而得到函数最小值，得到的取值范围．【题目详解】(1)由题意，函数的定义域为，则因为,所以，函数在上单调递减，在上单调递增；函数在处取得极小值.无极大值(2)由题意知恒成立即（）恒成立设=，则设，易知在单调递增，又=<0,>0,所以在有唯一零点，即=0，且，单调递减；，单调递增，所以=，由=0得=，即，由（1）的单调性知，，，所以==1，即实数的取值范围为【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21、（1）；（2）．【解题分析】分析：(1)直接带入即可(2)利用向量数量积打开后再利用二倍角公式变形化同名详解：(1)当时，，，所以.(2)，若.则，即.因为，所以，所以，所