2024届安徽省霍邱县二中数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届安徽省霍邱县二中数学高二第二学期期末学业水平测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A． B．C． D．2．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为()A． B． C． D．3．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为A．89 B．25 C．94．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（）A． B． C． D．5．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路,只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多,应A．从东边上山 B．从西边上山 C．从南边上山 D．从北边上山6．若随机变量服从正态分布，则（）附：，．A．1．3413 B．1．2718 C．1．1587 D．1．12287．给出下列命题：①过圆心和圆上的两点有且只有一个平面②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点③若直线上有无数个点不在平面内，则④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行⑤垂直于同一个平面的两条直线平行其中正确的命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．48．若抛物线,过其焦点的直线与抛物线交于两点,则的最小值为()A．6 B． C．9 D．9．已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{y|y＝sin(x＋φ)}，则A∩B中元素的个数为()A．3 B．4C．5 D．610．，则的值为（）A．2B．-2C．8D．-811．已知函数，则()A． B．e C． D．112．在空间中，“直线平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数在区间上的最大值为，则的最小值为______.14．复数在复平面中对应的点位于第__________象限.15．更相减损术是出自九章算术的一种算法如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入，，则输出的值为______．16．已知函数，，则的最小值是__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四面体中，，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，，四面体的体积为2，求二面角的余弦值.18．（12分）已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的普通方程；（2）在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，过直线上一点引曲线的切线，切点为，求的最小值.20．（12分）已知函数的图象与直线相切于点．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求函数的单调区间．21．（12分）已知椭圆，若在，，，四个点中有3个在上．（1）求椭圆的方程；（2）若点与点是椭圆上关于原点对称的两个点，且，求的取值范围．22．（10分）已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的值；（2）已知在定义域上为减函数，若对任意的，不等式为常数）恒成立,求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

先构造函数，再利用导函数研究函数的增减性，结合，的奇偶性判断函数的奇偶性，再结合已知可得，，即可得解.【题目详解】解：设,则，由当时，，则函数在为增函数，又，分别是定义在上的奇函数和偶函数，则在上为奇函数，则函数在为增函数，又，所以，则，则的解集为，即不等式的解集是，故选：D.【题目点拨】本题考查了函数的奇偶性及单调性，重点考查了导数的应用，属中档题.2、C【解题分析】

求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求．【题目详解】双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，由题意有，所以，，故离心率.故选：C．【题目点拨】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．3、A【解题分析】

利用条件概率的计算公式即可得出．【题目详解】设事件A表示某地四月份吹东风，事件B表示四月份下雨．根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P(B|A)=8故选：A【题目点拨】本题主要考查条件概率的计算，正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键，属于基础题.4、C【解题分析】输入执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，由题可知满足，输出故故选C5、D【解题分析】从东边上山共种;从西边上山共种;从南边上山共种;从北边上山共种;所以应从北边上山.故选D.6、C【解题分析】

根据正态曲线的对称性，以及，可得结果.【题目详解】，故选：C【题目点拨】本题考查正态分布，重点把握正态曲线的对称性，属基础题.7、B【解题分析】

依照立体几何相关知识，逐个判断各命题的真假。【题目详解】在①中，当圆心和圆上两点共线时，过圆心和圆上的两点有无数个平面，故①错误；在②中，若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线平行或异面，都没有公共点，故②正确；在③中，若直线上有无数个点不在平面内，则与相交或平行，故③错误；在④中，如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或在这个平面内，故④错误；在⑤中，由线面垂直的性质定理得垂直于同一个平面的两条直线平行，故⑤正确．故选．8、B【解题分析】分析：设直线方程为，联立方程组得出A，B两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出关于A，B两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值.详解：抛物线的焦点，设直线方程为，联立方程组，得，设，则，，由抛物线的性质得，.故选：B.点睛：本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.9、C【解题分析】

利用定义域的的要求可以求出A集合，利用三角函数的性质求出B集合，再计算A与B的交集的元素个数即可.【题目详解】集合A满足－＋x＋6≥0，(x－3)(x＋2)≤0，－2≤x≤3，∴A＝{－2，－1，0，1，2，3}，B＝[－，]，所以A∩B＝{－2，－1，0，1，2}，可知A∩B中元素个数为5.【题目点拨】本题考查集合间的交集关系的求解，本题难点在于无理数与有理数的比大小，属于简单题.10、D【解题分析】试题分析：，所以当时，；当时，，故考点：二项式定理11、C【解题分析】

先求导，再计算出，再求.【题目详解】由题得，所以.故选：C.【题目点拨】本题主要考查导数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力，属基础题.12、A【解题分析】若“直线平面”则“直线与平面内无穷多条直线都垂直”，正确；反之，若“直线与平面内无穷多条直线都垂直”则“直线平面”是错误的，故直线平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直”的充分非必要条件.故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

令，由导函数得最小值为，且端点处函数值.再由时，；时，，可得表达式，问题可得解.【题目详解】则，由得当时，当时所以在上单调递减，在上单调递增.最小值为，又，，且当时，即，解得，；当时，即由，得，.综上，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时取最小值为.故答案为：【题目点拨】本题考查了通过导数分析函数的单调性和最值，考查了绝对值函数，还考查了分类讨论思想，属于难题.14、四【解题分析】分析：根据复数的除法运算和加法运算公式得到结果即可.详解：复数对应的点为（）位于第四象限.故答案为：四.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.15、【解题分析】输入，执行程序框图，第一次；第二次；第三次；第四次，满足输出条件，输出的的值为，故答案为.16、【解题分析】

计算导数，然后构造函数，利用导数研究该函数的单调性进而判断原函数的单调性，可得结果.【题目详解】由题可知：令，则由，所以所以，则在递减所以，又则所以函数在递增所以所以故答案为：【题目点拨】本题考查函数在区间的最值，难点在于构造函数二次求导，注意细节，需要通过判断函数在区间的单调情况才能代值计算，考查对问题的分析能力，属中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析.(2).【解题分析】分析：（1）作Rt△斜边上的高，连结，易证平面，从而得证；（2）由四面体的体积为2，，得，所以平面，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.详解：解法一：（1）如图，作Rt△斜边上的高，连结．因为，，所以Rt△≌Rt△．可得．所以平面，于是．（2）在Rt△中，因为，，所以，，，△的面积．因为平面，四面体的体积，所以，，，所以平面．以，，为，，轴建立空间直角坐标系．则，，，，，，．设是平面的法向量，则，即，可取．设是平面的法向量，则，即，可取．因为，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为解法二：（1）因为，，所以Rt△≌Rt△．可得．设中点为，连结，，则，，所以平面，，于是．（2）在Rt△中，因为，，所以△面积为．设到平面距离为，因为四面体的体积，所以．在平面内过作，垂足为，因为，，所以．由点到平面距离定义知平面．因为，所以．因为，，所以，，所以，即二面角的余弦值为．点睛：本题主要考查空间位置关系的证明和空间角的计算，意在考查学生立体几何和空间向量的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.证明位置关系和求空间的角都有两种方法，一是几何的方法，一是向量的方法，各有特色，要根据具体情况灵活选择，提高解析效率.18、(1)；(2).【解题分析】试题分析：(1)由函数的解析式可得在上单调递增，则的取值范围是；(2)原问题等价于存在，使不等式成立.构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围为.试题解析：（1）由得，在上单调递增，，的取值范围是.（2）存在，使不等式成立，存在，使不等式成立.令，从而，，，在上单调递增，.实数的取值范围为.19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由得，将两个等式平方后相加可得出曲线的普通方程；（2）将直线的极坐标方程化为普通方程，计算出圆心到直线的距离作为的最小值，然后利用勾股定理可得出的最小值.【题目详解】（1）由得，所以，，将两式相加得，因此，曲线的普通方程为；（2）由，得，即，由，，所以，直线的直角坐标方程为.由（1）知曲线为圆且圆心坐标为，半径为，切线长，当取最小时，取最小，而的最小值即为到直线的距离.到直线的距离为，，因此，的最小值为.【题目点拨】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了切线长的计算，一般在直角三角形利用勾股定理进行计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.20、（Ⅰ）a＝3，b＝﹣1（Ⅱ）单调递减区间是（﹣3，1）．单调增区间为：（∞，﹣3），（1，+∞）【解题分析】

（Ⅰ）求导函数，利用f（x）的图象与直线15x﹣y﹣28＝0相切于点（2，2），建立方程组，即可求a，b的值；（Ⅱ）求导函数，利用导数小于0，即可求函数f（x）的单调递减区间．【题目详解】（I）求导函数可得f′（x）＝3x2+2ax+b，∵f（x）的图象与直线15x﹣y﹣28＝0相切于点（2，2），∴f（2）＝2，f′（2）＝﹣15，∴，∴a＝3，b＝﹣1．（II）由（I）得f′（x）＝3x2+6x﹣1，令f′（x）＜0，可得3x2+6x﹣1＜0，∴﹣3＜x＜1，函数f（x）的单调递减区间是（﹣3，1）．令f′（x）＞0，可得3x2+6x﹣1＞0，单调增区间为：（∞，﹣3），（1，+∞）．综上：函数f（x）的单调递减区间是（﹣3，1）．单调增区间为：（∞，﹣3），（1，+∞）．【题目点拨】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性及计算能力，属于中档题．21、(1)．(2)【解题分析】

（1）由于椭圆是对称图形，得点，必在椭圆上，故，再分别讨论在上时和在上时椭圆的方程，根据题意进行排除，最后求解出结果．（2）设，，利用向量的坐标运算表达出的值，根据对称性分类讨论设出直线的方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，将转化为求函数的值域问题，从而求解出的范围．【题目详解】解：（