山东省德州市夏津县双语中学2024届高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

山东省德州市夏津县双语中学2024届高二数学第二学期期末综合测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．定积分（）A．0 B． C． D．2．若函数的导函数的图像关于轴对称，则的解析式可能为A． B． C． D．3．已知，则下列结论正确的是A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是偶函数4．已知随机变量，，则（）A．0.16 B．0.32 C．0.66 D．0.685．已知函数的定义域为，若对于，分别为某三角形的三边长，则称为“三角形函数”.给出下列四个函数：①②③④.其中为“三角形函数”的个数是（）A． B． C． D．6．“读整本的书”是叶圣陶语文教育思想的重要组成部分，整本书阅读能够扩大阅读空间。某小学四年级以上在开学初开展“整本书阅读活动”，其中四年班老师号召本班学生阅读《唐诗三百首》并背诵古诗，活动开展一个月后，老师抽四名同学(四名同学编号为)了解能够背诵古诗多少情况，四名同学分别对老师做了以下回复:说:“比背的少”;说:“比背的多”;说:“我比背的多";说:“比背的多”.经过老师测验发现，四名同学能够背诵古诗数各不相同，四名同学只有一个说的正确，而且是背诵的最少的一个.四名同学的编号按能够背诵数量由多到少组成的四位数是（）A． B． C． D．7．已知曲线和曲线围成一个叶形图；则其面积为（）A．1 B． C． D．8．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种9．a，b为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以为旋转轴选择，有下列结论：①当直线与a成60°角时，与b成30°角；②当直线与a成60°角时，与b成60°角；③直线与a所成角的最小值为45°；④直线与a所成角的最大值为60°；其中正确的是_______.（填写所以正确结论的编号）.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④10．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同．现了解到以下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步；可以判断丙参加的比赛项目是（）A．跑步比赛 B．跳远比赛 C．铅球比赛 D．无法判断11．已知等差数列中，，则（）A．20 B．30 C．40 D．5012．已知是定义在上的偶函数，且当时，都有成立，设，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知复数z＝(m＋1)＋(m﹣2)i是纯虚数（i为虚数单位），则实数m的值为_______．14．周长为的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_______.15．已知a=log0.35, b=2316．若交大附中共有名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）对于集合,,,,定义.集合中的元素个数记为.规定：若集合满足,则称集合具有性质.(1)已知集合,,写出,的值；(2)已知集合,其中,证明：有性质；(3)已知集合,有性质,且求的最小值.18．（12分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数．在以原点为极点，为参数）．在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设，直线与曲线C交于M，N两点，求的值．19．（12分）2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科。某省采用模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某学校从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别分层，采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查.（1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），如下表是根据调查结果得到的列联表.请求出和，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；选择“物理”选择“历史”总计男生10女生25总计（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽取4人，设这4人中选择“历史”的人数为，求的分布列及数学期望.参考公式：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知函数，其中均为实数，为自然对数的底数．（I）求函数的极值；（II）设，若对任意的，恒成立，求实数的最小值．21．（12分）甲将要参加某决赛，赛前，，，四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知，选择甲的概率均为，，选择甲的概率均为，且四人同时选择甲的概率为，四人均末选择甲的概率为．（1）求，的值；（2）设四位同学中选择甲的人数为，求的分布列和数学期望．22．（10分）已知函数(1)若不等式的解集为，求实数的值；(2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

利用微积分基本定理求出即可．【题目详解】.选C.【题目点拨】本题关键是求出被积函数的一个原函数．2、C【解题分析】

依次对选项求导，再判断导数的奇偶性即可得到答案。【题目详解】对于A，由可得，则为奇函数，关于原点对称；故A不满足题意；对于B，由可得，则，所以为非奇非偶函数，不关于轴对称，故B不满足题意；对于C，由可得，则为偶函数，关于轴对称，故C满足题意，正确；对于D，由可得，则，所以为非奇非偶函数，不关于轴对称，故D不满足题意；故答案选C【题目点拨】本题主要考查导数的求法，奇偶函数的判定，属于基础题。3、A【解题分析】因为，所以，又，故，即答案C，D都不正确；又因为，所以应选答案A．4、D【解题分析】

先由对称性求出，再利用即得解.【题目详解】由于随机变量，关于对称，故故选：D【题目点拨】本题考查了正态分布在给定区间的概率，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.5、B【解题分析】

根据构成三角形条件，可知函数需满足，由四个函数解析式，分别求得其值域，即可判断是否满足不等式成立.【题目详解】根据题意，对于，分别为某三角形的三边长，由三角形性质可知需满足：对于①，，如当时不能构成三角形，所以①不是“三角形函数”；对于②，，则，满足，所以②是“三角形函数”；对于③，，则，当时不能构成三角形，所以③不是“三角形函数”；对于④，，由指数函数性质可得，满足，所以④是“三角形函数”；综上可知，为“三角形函数”的有②④，故选：B.【题目点拨】本题考查了函数新定义的综合应用，函数值域的求法，三角形构成的条件应用，属于中档题.6、A【解题分析】

分别假设四位同学是说正确的人，排除矛盾情况，推理得到答案【题目详解】假设1正确，其他都错误，则1最少，比背的少，比背的少，3比4少，3比2少顺序为：4231假设2正确，其他错误，则2最少，根据1知：2比4多，矛盾，排除假设3正确，其他错误，则3最少，根据2知：1比3少，矛盾，排除假设4正确，其他错误，则4最少，根据3知：3比4少，矛盾，排除故答案选A【题目点拨】本题考查了逻辑推理，依次假设正确的人，根据矛盾排除选项是解题的关键.7、D【解题分析】

先作出两个函数的图像，再利用定积分求面积得解.【题目详解】由题得函数的图像如图所示，联立得交点（1,1）所以叶形图面积为.故选：D【题目点拨】本题主要考查定积分的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8、D【解题分析】每个同学都有2种选择，根据乘法原理，不同的报名方法共有种，应选D.9、C【解题分析】

由题意知，、、三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，，，斜边以直线为旋转轴，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆，以坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【题目详解】解：由题意知，、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故，，斜边以直线为旋转轴，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆，以坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，直线的方向单位向量，1，，，直线的方向单位向量，0，，，设点在运动过程中的坐标中的坐标，，，其中为与的夹角，，，在运动过程中的向量，，，，，设与所成夹角为，，则，，，，③正确，④错误．设与所成夹角为，，，当与夹角为时，即，，，，，，，此时与的夹角为，②正确，①错误．故选：．【题目点拨】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．10、A【解题分析】分析：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，即可得出结论.详解：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛.故选：A.点睛：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力.11、A【解题分析】等差数列中，，，．故选A．12、B【解题分析】

通过可判断函数在上为增函数，再利用增函数的性质即可得到，，的大小关系.【题目详解】由于当时，都有成立，故在上为增函数，,,而，所以，故答案为B.【题目点拨】本题主要考查函数的性质，利用函数性质判断函数值大小，意在考查学生的转化能力，分析能力和计算能力，难度中等.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-1.【解题分析】分析：由复数的实部等于0且虚部不等于0列式求解m的值.详解：由复数是纯虚数，得，解得.故答案为-1.点睛：本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件.14、【解题分析】

设矩形的一边长为,则另一边长为,,再利用圆柱的体积公式求得体积的解析式,然后利用基本不等式可求得最大值.【题目详解】设矩形的一边长为,则另一边长为,,则圆柱的体积==,当且仅当,即时等号成立.故答案为:.【题目点拨】本题考查了圆柱的体积公式和基本不等式,属中档题.15、a<c<b【解题分析】

将a,b,c分别判断与0,1的大小关系得到答案.【题目详解】a=b=0<c=故答案为a<c<b【题目点拨】本题考查了数值的大小比较，0，1分界是一个常用的方法.16、1【解题分析】分析：根据每年有天，可判断名教职工，中至少有两人生日在同一天为必然事件,从而可得结果.详解：假设每一天只有一个人生日，则还有人，所以至少两个人同日生为必然事件，所以至少有两人生日在同一天的概率为，故答案为.点睛：本题考查必然事件的定义以及必然事件的概率，属于简单题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)证明过程见解析；(3).【解题分析】

(1)利用定义,通过计算可以求出,的值；(2)可以知道集合中的元素组成首项为,公比为的等比数列,只要证明这个等比数列中的任意两项(包括本身与本身)的和不在这个数列中即可.(3)根据,有性质了,可以知道集合中元素的性质,这样可以求出的最小值.【题目详解】(1)根据定义可得：,.所以(2)数列的通项公式为：.若存在成立，则,因此有,即有.等式的左边是2的倍数,右边是3的倍数,故等式不成立,因此等比数列中的任意两项(包括本身与本身)的和不在这个数列中所以中的元素的个数为：,即,所以有性质；(3)集合具有性质,所以集合中的任意两个元素的和都不在该集合中,也就是集合中的任意两个元素的和都不相等,对于任意的有,也就是任意两个元素的差的绝对值不相等.设,所以集合具有性质,集合,有性质,且(当且仅当时,取等号).所以的最小值为.【题目点拨】本题考查了新定义题,考查了等比数列的性质,考查了反证法的应用.18、（Ⅰ），；（Ⅱ）7.【解题分析】

（Ⅰ）直接把曲线C的参数方程平方相加，可以消除参数，得到普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程；（Ⅱ）先写出直线的标准式参数方程，代入曲线方程，化为关于的一元二次方程，再由根与系数的关系及的几何意义，即可求出。【题目详解】(I)曲线C的普通方程:，直线l的直角坐标方程：；（II）设直线l的参数方程为（t为参数）代入，得，故；设对应的对数分别为，则，故.【题目点拨】本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化。易错点是在应用直线参数方程中参数的几何意义时，参数方程必须是标准式，否则容易导致错误。19、（1），，有的把握认为选择科目与性别有关.详见解析（2）见解析【解题分析】

（1）完善列联表，计算，再与临界值表进行比较得到答案.（2）这4名女生中选择历史的人数可为0，1，2，3，4.分别计算对应概率，得到分布列，再计算数学期望.【题目详解】（1）由题意，男生人数为，女生人数为，所以列联表为：选择“物理”选择“历史”总计男生451055女生252045总计7030100，.假设：选择科目与性别无关，所以的观测值，查表可得：，所以有的把握认为选择科目与性别有关.（2）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择历史，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择历史的人数可为0，1，2，3，4.设事件发生概率为，则，，，，.所以的分布列为：01234所以的数学期望.【题目点拨】本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.20、（1）当时，取得极大值，无极小值；（2）.【解题分析】试题分析：（1）由题对得，研究其单调性，可得当时，取得极大值，无极小值；（2）由题当时，，由单调性可得在区间上为增函数，根据，构造函数，由单调性可得在区间上为增函数，不妨设，则等价于，即，故又构造函数，可知在区间上为减函数，∴在区间上恒成立，即在区间上恒成立，∴，设则，∵，∴，则在区间上为减函数，∴在区间上的最大值，∴，试题解析：（1）由题得，，令，得．，列表如下：1大于00小于0极大值∴当时，取得极大值，无极小值；（2）当时，，∵在区间上恒成立，∴在区间上为增函数，设，∵在区间上恒成立，∴在区间上为增函数，不妨设，则等价于，即，设，则在区间上为减函数，∴在区间上恒成立，∴在区间上恒成立，∴，设，∵，∴，则在区间上为减函数，∴在区间上的