2024届湖南省常德市芷兰实验学校高二数学第二学期期末统考试题含解析

2024届湖南省常德市芷兰实验学校高二数学第二学期期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，则与的夹角为（）A． B． C． D．2．某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查110名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表男女总计好402060不好203050总计6050110由得，.根据表0.0500.0100.0013.8416.63510.828得到下列结论，正确的是（）A．有以下的把握认为“睡眠质量与性别有关”B．有以上的把握认为“睡眠质量与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别无关”3．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在内的人数占公司总人数的百分比是（精确到）（）A． B． C． D．4．已知盒中装有大小形状完全相同的3个红球、2个白球、5个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为（）A． B． C． D．5．已知函数，若，，，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{y|y＝sin(x＋φ)}，则A∩B中元素的个数为()A．3 B．4C．5 D．67．已知结论：“在正三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则．”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则（）A． B． C． D．8．某市通过随机询问100名不同年级的学生是否能做到“扶跌倒老人”，得到如下列联表：做不到能做到高年级4510低年级3015则下列结论正确的是（）附参照表：0.100.0250.012.7065.0246.635参考公式：，其中A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”B．在犯错误的概率不超过的前提下，“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关”C．有以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”D．有以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关”9．已知复数满足（为虚数单位），则（）A． B． C． D．10．在等差数列{an}中，若a2=4，A．-1 B．0 C．1 D．611．因为对数函数是增函数，而是对数函数，所以是增函数，上面的推理错误的是A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．以上都是12．定义在上的函数的导函数在的图象如图所示，则函数在的极大值点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一个正方体的个顶点可以组成__________个非等边三角形.14．集合的所有子集个数为_________．15．函数的值域为_______．16．已知抛物线的焦点为，平行轴的直线与圆交于两点（点在点的上方），与交于点，则周长的取值范围是____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，，，，，.（1）证明：平面；（2）求四棱锥的体积.18．（12分）近来国内一些互联网公司为了赢得更大的利润、提升员工的奋斗姿态，要求员工实行“996”工作制，即工作日早9点上班，晚上21点下班，中午和傍晚最多休息1小时，总计工作10小时以上，并且一周工作6天的工作制度，工作期间还不能请假，也没有任何补贴和加班费.消息一出，社交媒体一片哗然，有的人认为这是违反《劳动法》的一种对员工的压榨行为，有的人认为只有付出超越别人的努力和时间，才能够实现想要的成功，这是提升员工价值的一种有效方式.对此，国内某大型企业集团管理者认为应当在公司内部实行“996”工作制，但应该给予一定的加班补贴（单位：百元），对于每月的补贴数额集团人力资源管理部门随机抽取了集团内部的1000名员工进行了补贴数额（单位：百元）期望值的网上问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为员工的加班补贴服从正态分布，若该集团共有员工40000人，试估计有多少员工期待加班补贴在8100元以上；（3）已知样本数据中期望补贴数额在范围内的8名员工中有5名男性，3名女性，现选其中3名员工进行消费调查，记选出的女职员人数为，求的分布列和数学期望.附：若，则，，.19．（12分）已知函数（1）求的最小值（2）若不等式的解集为M，且，证明：.20．（12分）已知.（1）求的最小值；（2）已知为正数，且，求证.21．（12分）设函数.（1）解不等式；（2）设，，使得成立，求实数m的取值范围.22．（10分）为了更好地服务民众，某共享单车公司通过向共享单车用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元奖券、获得2元奖券的概率分别是0.5、0.2，且各次获取骑行券的结果相互独立.（I）求用户骑行一次获得0元奖券的概率；（II）若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据题意，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，据此分析可得答案．【题目详解】设与的夹角为θ，由、的坐标可得||＝5，||＝3，•5×0+5×（﹣3）＝﹣15，故，所以.故选D【题目点拨】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．2、C【解题分析】

根据独立性检验的基本思想判断得解.【题目详解】因为，根据表可知；选C.【题目点拨】本题考查独立性检验的基本思想，属于基础题.3、A【解题分析】

求出样本平均值与方差，可得年龄在内的人数有5人，利用古典概型概率公式可得结果.【题目详解】,,年龄在内，即内的人数有5人，所以年龄在内的人数占公司总人数的百分比是等于，故选A.【题目点拨】样本数据的算术平均数公式．样本方差公式，标准差.4、D【解题分析】

设“第一次拿到的是红球”为事件A,“第二次拿到白球”为事件B，分别计算出，的值，由条件概率公式可得，可得答案.【题目详解】解：设“第一次拿到的是红球”为事件A,“第二次拿到白球”为事件B，可得：，,则所求事件的概率为：,故选：D.【题目点拨】本题主要考查条件概率与独立事件的计算，属于条件概率的计算公式是解题的关键.5、D【解题分析】

根据题意将问题转化为，记，从而在上单调递增，从而在上恒成立，利用分离参数法可得，结合题意可得即可.【题目详解】设，因为，所以.记，则在上单调递增，故在上恒成立，即在上恒成立，整理得在上恒成立.因为，所以函数在上单调递增，故有.因为，所以，即.故选：D【题目点拨】本题考查了导数在不等式恒成立中的应用、函数单调性的应用，属于中档题.6、C【解题分析】

利用定义域的的要求可以求出A集合，利用三角函数的性质求出B集合，再计算A与B的交集的元素个数即可.【题目详解】集合A满足－＋x＋6≥0，(x－3)(x＋2)≤0，－2≤x≤3，∴A＝{－2，－1，0，1，2，3}，B＝[－，]，所以A∩B＝{－2，－1，0，1，2}，可知A∩B中元素个数为5.【题目点拨】本题考查集合间的交集关系的求解，本题难点在于无理数与有理数的比大小，属于简单题.7、C【解题分析】解：由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：点到线，线到面，或是二维变三维；由题目中“在正三角形ABC中，若D是边BC中点，G是三角形ABC的重心，则AG：GD=2：1”，我们可以推断：“在正四面体ABCD中，若M是底面BCD的中心，O是正四面体ABCD的中心，则AO：OM=3：1．”故答案为“在正四面体ABCD中，若M是底面BCD的中心，O是正四面体ABCD的中心，则AO：OM=3：1．”8、C【解题分析】分析：根据列联表中数据，利用公式求得，参照临界值表即可得到正确结论.详解：由公式可得，参照临界值表，，以上的把握认为，“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”，故选C.点睛：本题考查了独立性检验的应用，属于基础题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.9、C【解题分析】

整理得到，根据模长的运算可求得结果.【题目详解】由得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查向量模长的求解，属于基础题.10、B【解题分析】在等差数列an中，若a2=4,a4=2，则11、A【解题分析】

由于三段论的大前提“对数函数是增函数”是错误的，所以选A.【题目详解】由于三段论的大前提“对数函数是增函数”是错误的，只有当a>1时，对数函数才是增函数，故答案为：A【题目点拨】(1)本题主要考查三段论，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)一个三段论，只有大前提正确，小前提正确和推理形式正确，结论才是正确的.12、B【解题分析】

由导数与极大值之间的关系求解．【题目详解】函数在极大值点左增右减，即导数在极大值点左正右负，观察导函数图象，在上有两个有两个零点满足．故选：B.【题目点拨】本题考查导数与极值的关系．属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、48【解题分析】分析：从正方体的个顶点中人取三个点共有种取法，其中等边三角形共有个，作差即可得结果.详解：从正方体的个顶点中人取三个点共有种取法，其中等边三角形共有个，所以非等边三角形共有个，故答案为.点睛：本题主要考查组合数的应用，属于简单题.14、8【解题分析】试题分析：∵集合有3个元素，∴集合的所有子集个数为考点：本题考查了子集的个数点评：解决此类问题常常用到：若集合有n个元素，则该集合的所有子集个数为15、【解题分析】

利用导数求出函数的单调性，由单调性即可得出值域.【题目详解】当，当所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减则即函数的值域为故答案为：【题目点拨】本题主要考查了利用导数求函数的值域，属于基础题.16、【解题分析】

过点作垂直与抛物线的准线，垂足为点，由抛物线的定义得，从而得出的周长为，考查直线与圆相切和过圆心，得出、、不共线时的范围，进而得出周长的取值范围。【题目详解】如下图所示：抛物线的焦点，准线为，过点作，垂足为点，由抛物线的定义得，圆的圆心为点，半径长为，则的周长，当直线与圆相切时，则点、重合，此时，；当直线过点时，则点、、三点共线，则。由于、、不能共线，则，所以，，即，因此，的周长的取值范围是，故答案为：。【题目点拨】本题考查抛物线的定义，考查三角形周长的取值范围，在处理直线与抛物线的综合问题时，若问题中出现焦点，一般要将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离利用定义转化，利用共线求最值，有时也要注意利用临界位置得出取值范围，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）先证明，，再证明平面；（2）连接，求出AC,CB的长，再求四棱锥的体积.【题目详解】（1）证明：因为，，所以，即，同理可得，因为，所以平面.（2）解：连接，，，..【题目点拨】本题主要考查线面垂直关系的证明，考查锥体的体积是计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18、（1）约为百元；（2）估计有920名员工；（3）分布列见解析，【解题分析】

（1）样本的中位数为，根据中位数两侧的频率相等列出方程，可得答案；（2）由近似地认为员工的加班补贴服从正态分布，可得，由正态分布计算对照题中所给数据可得答案.（3）由题意，的可能取值为，分别计算出其概率，列出其分布列，可得数学期望.【题目详解】解：（1）设样本的中位数为，则，解得，所以所得样本的中位数约为百元.（2），由题意：期待加班补贴在8100元以上的概率为，，所以估计有920名员工期待加班补贴在8100元以上.（3）由题意，的可能取值为.又因为，，，，的分布列为.(或者答：服从的超几何分布，则）【题目点拨】本题主要考查正态分布的相关知识及离散型随机变量的期望与方差，属于中档题，注意运算准确.19、（1）（2）证明见解析【解题分析】

根据题意，由函数的解析式分3种情况讨论，分段求出函数的最小值，综合3种情况即可得答案；根据题意，分3种情况讨论，求出不等式的解集，又由a，，可得，，分析可得，变形即可得结论．【题目详解】（1），在上单调递减，在上单调递增，．2若，则，或，或，，，，，，，即．【题目点拨】本题考查分段函数的应用和绝对值不等式的解法，考查了转化思想，属中档题．20、（1）3；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）利用绝对值不等式求得函数的最小值.（2）利用基本不等式，证得不等式成立.【题目详解】（1）依题意，当且仅当时，取得最小值，故的最小值为.（2）由（1）