南通市2023-2024学年高三第一次调研测试数学(解析版)

数学试卷数学试卷第页(共15页)南通市2024届高三第一次调研测试数学2024.01.24注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝A．{－2，－1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}2．已知z＋eq\o\ac(\S\UP7(―),z)＝8，z－eq\o\ac(\S\UP7(―),z)＝6i，则zeq\o\ac(\S\UP7(―),z)＝A．25B．16C．9D．53．若向量a＝(λ，4)，b＝(2，μ)，则“λμ＝8”是“a∥b”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设{an}为等比数列，a2＝2a4＋3a6，则eq\f(a\s\do(4)－a\s\do(7),a\s\do(2)－a\s\do(5))＝A．eq\f(1,9)B．eq\f(1,3)C．3D．95．从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能A．每个面都是等边三角形B．每个面都是直角三角形C．有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D．有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形6．已知直线y＝x－1与抛物线C：x2＝2py(p＞0)相切于M点，则M到C的焦点距离为A．1B．2C．3D．4直线与抛物线相切，则4p2－8p＝0，7．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为(0，＋∞)，若xf′(x)＜2f(x)，则A．4e2f(2)＜16f(e)＜e2f(4)B．e2f(4)＜4e2f(2)＜16f(e)C．e2f(4)＜16f(e)＜4e2f(2)D．16f(e)＜e2f(4)＜4e2f(2)8．某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最小值为A．20eq\r(,2)cmB．30eq\r(,5)cmC．40eq\r(,5)cmD．60eq\r(,2)cm二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩(单位：环)，得到如下数据：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则A．甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差B．甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值C．甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数D．甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差10．设函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)，f(3)＝1，则A．f(－1)＝1B．f(x)＝f(4＋x)C．f(x)＝f(4－x)D．eq\o(∑,\s\up6(18),\s\do6(k＝1))f(k)＝－111．已知点M在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，点P(0，1)，Q(1，2)，则A．存在点M，使得|MP|＝1B．∠MQP≤eq\f(π,4)C．存在点M，使得|MI|＝|MQ|D．|MQ|＝eq\r(,2)|MP|12．我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等．现有一个半径为R的球，被一个距离球心为d(d＞0)的平面截成两部分，记两部分的体积分别为V1，V2(V1＜V2)，则A．V1＝eq\f(π,3)(R－d)2(2R＋d)B．V2＝eq\f(π,9)(R＋2d)(2R－d)(3R＋d)C．当d＝eq\f(R,2)时，eq\f(V\s\do(1),V\s\do(2))＝eq\f(5,27)D．当d≤eq\f(R,3)时，eq\f(V\s\do(1),V\s\do(2))≥eq\f(7,20)0＜x≤eq\f(1,3)，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数f(x)＝EQ\B\lc\{(\a\al(log\S\DO(2)(x＋2)，x≥－1，,2\S(x)－1，x＜－1，))则f(log2eq\f(1,3))＝．14．已知(x－1)(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝．(注：第一空2分，第二空3分)15．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋eq\f(π,4))(ω＞0)，若f(x1)＝f(x2)＝－eq\r(,3)，|x1－x2|的最小值为eq\f(π,2)，则f(eq\f(π,8))＝．16．已知椭圆E：EQ\F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，设P，Q是E上位于x轴上方的两点，且直线PF1与QF2平行．若4|PF1|＝|QF1|，2|PF2|＝5|QF2|，则E的离心率为．【解析】四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(10分)已知AB是圆锥PO的底面直径，C是底面圆周上的一点，PC＝AB＝2，AC＝eq\r(,2)，平面PAC和平面PBC将圆锥截去部分后的几何体如图所示．(1)证明：OC⊥平面PAB；(2)求二面角A－PB－C的余弦值．【解析】18．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知tanB＝eq\f(3,5)，tanC＝eq\f(1,4)，b＝6．(1)求A和c；(2)若点D在AC边上，且BD2＝AD2＋CD2，求AD．【解析】19．(12分)记正项数列{an}的前n项和为Sn，满足1，EQ\R(,S\S\DO(n))，an成等差数列．(1)求{an}的通项公式；(2)设集合A＝{k|ak＝eq\f(a\s\do(n＋1)a\s\do(n＋3),a\s\do(n))，k∈N*，n∈N*}，求集合A．【解析】20．(12分)已知双曲线C：EQ\F(x\S(2),a\S(2))－\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，离心率为eq\f(\r(,5),2)．过点(4，0)的直线l与C的右支交于M，N两点，设直线AM，BM，BN的斜率分别为k1，k2，k3．(1)若k2＝eq\f(\r(,3),2)，求k3；(2)证明：k2(k1＋k3)为定值．【解析】21．(12分)某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖．(1)若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率；(2)现有编号为1~n的n位顾客按编号顺序依