《工程力学》课件 2.1平面汇交力系

第二章平面力系合成与平衡第一节平面汇交力系第二节平面力偶系第三节平面一般力系和平面平行力系第四节物体系统的平衡

在建筑工程中，很多力学问题都属于平面力系问题，或者可以简化为平面力系问题。力系平面力系：各力的作用线在同一平面内的力系空间力系：各力的作用线不在同一平面内的力系平面力系——作用在刚体上各力的作用线分布在同一平面内。平面汇交力系——作用在刚体上各力的作用线分布在同一平面内，且汇交于同一点。平面平行力系——作用在刚体上各力的作用线分布在同一平面上，且互相平行。平面力偶系——作用于刚体上的各个力偶分布在同一平面内。平面任意力系——若作用在刚体上各力的作用线都在同一平面内，且任意分布。第一节平面汇交力系的合成与平衡平面力系中，各力的作用线相交于一点的力系，称为平面汇交力系。研究内容：平面汇交力系的合成（简化）平面汇交力系的平衡条件研究方法：几何法（图解法）解析法（数解法）1、两共点力的合成力三角形法则F2F1AFRF2F1A力三角形力平行四边形F2一、平面汇交力系合成的几何法FR作首尾相接的力多边形；从第一个力的起点到最后一个力的终点作力多边形的封闭边。力系按力多边形法则合成的方法称为力系合成的几何法。2、平面汇交力系合成合力与合成顺序无关。力多边形

平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力的作用点是原力系各力的汇交点，合力的大小和方向由力多边形的封闭边表示，即等于原力系各力的矢量和。a例2

-

1

吊环上作用共面且共点三个拉力，如图所示，F1=100N,F2=150N,

F3=200N。试用几何法求吊环所受的合力。解：FR=295NABCD100N

平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系的合力为零。即F1F2F4F3abcd平面汇交力系平衡的几何条件：力多边形自行封闭。F1F2F3OF4二、平面汇交力系平衡的几何条件（1）选系统为研究对象（2）选吊钩C为研究对象，画分离体的受力图。解:例

2-2

图中，已知W＝10kN，当构件匀速起吊时，求钢丝绳CA、CB的拉力。画力三角形图。故钢丝绳CA、CB

受拉力7.07kN例2-3梁AB，F＝10kN，求支座反力。FBFAyA2m2mFBC45

解：FAx（1）不利用三力平衡汇交定理

不是平面汇交力系。AFBC45

（2）利用三力平衡汇交定理

FBFA可用平面汇交力系平衡的几何法FAFDEFB力三角形FFAFB

几何三角形CED2mFBC45

小结:平面汇交力系平衡的几何法步骤：1、作受力图；2、作力三角形；

（1）先作已知力，（2）再作两未知力的平行线得交点，（3）作头尾相连的其它两个未知力。3、量取或利用几何、三角知识计算未知力。例2-4刚架，F=30kN，求支座A、B反力。4mACBFACBFFBFFA解：FBFA力三角形FFAFB

几何三角形CAB例

已知压路机碾子重W=20kN,r=60cm,欲拉过h=8cm的障碍物。求作用在中心的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。选碾子为研究对象，画分离体的受力图。解:

当碾子刚离地面时FNA=0，拉力F最大，这时拉力F和自重及支反力FNB构成一平衡力系。又由几何关系：作力三角形。F=11.5kN,FNB=23.1kN所以已知W

=20kN此题也可用比例尺去量。故即作用在中心的水平力F的大小为11.5kN，碾子对障碍物的压力为23.1kN1、力在坐标轴上的投影图a平行光线照射下物体的影子xyo图b力在坐标轴上的投影三、平面汇交力系合成的解析法yxoFyFx力在x轴上的投影X＝（

）线段ab的长度图b力在坐标轴上的投影从投影的起点到终点的指向与坐标轴正向相同时投影取＋号，相反时取－号。力在y轴上的投影Y＝（

）线段a'b'的长度力在坐标轴上的投影定义yxoFyFx式中为力与坐标轴x所夹的锐角力在坐标轴上的投影计算式

投影

＝分力的大小投影＝（

）分力的大小投影与分力大小之间的关系分力方向与坐标轴正向相同时投影取＋号，相反时取－号。应注意（1）力的投影是代数量，而分力（力的分量）是矢量，力和分力的大小是正数。

（2）力投影无所谓作用点，而分力必须作用在原力的作用点。yxoFyFxyxoFyFx小结求投影的方法:(2)用投影的计算式：(3)投影＝（

）分力的大小(1)用投影的定义。例2

–

5

各力大小均为100kN，求各力的投影。解：F1的投影:yxOF2的投影:F3的投影:F4的投影:yxOF5的投影:F6的投影:若已知在正交坐标轴上的投影为X

和Y

，则由几何关系可求出力

的大小和方向，即投影

力的大小和方向式中为力与坐标轴x所夹的锐角，指向由X与Y的正负号决定。yxoFyFx定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。即2、合力投影定理

oF2F3F1FRyox这个定理也可很直观地理解，如下图表示因，故同理可得yoxFRF3F1F2oF2F3F1FRyox

3、用解析法求平面汇交力系的合力首先求力系的合力的投影式中α表示合力FR与

x轴间所夹的锐角。合力FR作用线过力系的汇交点，指向由XR与YR的正负号决定。然后求合力的大小和方向

oxyFRyoxyFRFRFRFR例2

–6用解析法计算例2

–

1。吊环上作用共面且共点三个拉力，如图所示，F1=100N,F2=150N,

F3=200N。试求吊环所受的合力。解：oxy（1）

建立坐标系（2）计算合力FR

在x、y轴上的投影（3）求合力的大小和方向即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个坐标轴上的投影之代数和分别等于零。

由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两个未知量。四、平面汇交力系平衡的解析条件

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力为零，即平面汇交力系平衡方程yx解:（1）取铰C

为研究对象，作受力图。（2）取坐标系。（3）列平衡方程求解例2

–

7

求图示三角支架中，杆AC和BC所受的力。已知W=8.66kN。ACBWWW解得故杆BC受拉力10kN，

AC受压力5kN例2

-8图示刚架，F=40kN，求支座A、B的反力。解：FBCA3mDyx（2）取坐标系。（3）列平衡方程求解解得（1）取刚架为研究对象，作受力图。FBFAFBCAD345例2

-9图示起重装置，W=2kN，求杆AB和杆BC所受的力。WBACD解：（2）取坐标系。（3）列平衡方程求解解得（1）取铰B（包括滑轮）为研究对象，作受力图。FT=

W=2kNyxBFABWFTFBC30º30º30º（4）另取坐标系。yxFABFBCBWFT30º30º解得故杆BC不受力，

AB受压力3.464kN应注意：

为避免解联立方程，可把一个轴放在垂直于一个未知力的作用线上，这个未知力在轴上的投影为零，这个投影方程就只有一个未知数，不必解联立方程。如在下例中这样坐标系中FT

和FN

相互藕合o(a)(c)oxyy(b)xo（3）列平衡方程求解。（1）选取研究对象，画受力图，约束反力指向未定时可先假设；（2）合理选取坐标系；求解平面汇交力系平衡问题解析法的一般步骤：（1）选系统为研究对象（2）选吊钩C为研究对象，画分离体的受力图。解:例

匀速起吊重G＝10kN的构件，，求钢丝绳CA、CB的拉力。讨论列平衡方程xy解得故钢丝绳CA、CB

受拉力7.07kN时当时时时讨论：xy时TACTABGxy30o例

物重G=100N，用绳索AB、AC及链杆CE、CD铰拉而成的支架吊挂，求链杆CE、CD受的力。（1）取A点为研究对象解:AxyTCANCENCD30o30o（2）取C点为研究对象所以CE

杆受拉力231N，CD

杆受压力115.5N。C一、平面汇交力系合成和平衡的几何法二、平面汇交力系合成和平衡的解析法合成的几何法：力多边形平衡的几何法：受力图，力三角形，量取或计算。合成的解析法：平衡的解析法：受力图，取坐标系，列平衡方程求解。求投影的方法:(2)用投影的计算式：(3)投影＝（

）分力的大小(