垂直平分线资料

第5页（共26页）垂直平分线一．选择题（共12小题）1．（2014•日照）已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个2．（2014•安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或103．（2014•防城港）在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm4．（2015春•启东市校级月考）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是（）A． B． C．3 D．2.55．（2015秋•丹阳市校级月考）如图，在坐标系中，已知A（1，1）、B（3，5），要在y轴上找一点P，使|PB﹣PA|最大，则点P的坐标为（）A．（0，1） B．（0，2） C． D．（0，﹣1）6．（2015秋•杭州校级月考）已知点A（a，﹣3），B（4，b）关于y轴的对称，则a+b的值为（）A．1 B．7 C．﹣7 D．﹣17．（2015秋•西安校级月考）平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，﹣2），若点Q与点P关于x轴对称，则线段PQ的长度为（）A．2个单位 B．3个单位 C．4个单位 D．6个单位8．（2015春•黄陂区校级月考）在矩形ABCD中，AB=8，BC=7，以CD为边在矩形外部作△CDE，且S△CDE=16，连接BE，则BE+DE的最小值为（）A．15 B．16 C．17 D．189．（2015秋•重庆校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D为AC的中点，E是线段AB边上一动点，连接ED、EC，则△CDE周长的最小值为（）A．3 B．3 C．3+3 D．3+310．（2015秋•哈尔滨校级月考）在下列对称图形中，对称轴的条数最多的图形是（）A．圆 B．等边三角形 C．正方形 D．正六边形11．（2016•天门）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）A．13 B．15 C．17 D．1912．（2016•毕节市）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点二．填空题（共6小题）13．（2016•徐州）若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm，则它的底边长为______cm．14．（2016•龙岩模拟）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是______．15．（2016•阜宁县二模）如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB，若∠A=40°，则∠EBC=______°．29．（2008•广安）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F（1）求证：CF=AD；（2）若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？30．（2012•中山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒．解答下列问题：（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；（2）当t为何值时△APQ是以PQ为底的等腰三角形？（3）当t为何值时PQ∥BC？

参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2014•日照）已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】由已知条件，根据三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合边长是整数进行分析．【解答】解：周长为13，边长为整数的等腰三角形的边长只能为：3，5，5；或4，4，5；或6，6，1，共3个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；所构成的等腰三角形的三边必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．解答本题时要进行多次的尝试验证．2．（2014•安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2=0，∴，解得，当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8．故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．3．（2014•防城港）在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm【分析】设AB=AC=x，则BC=20﹣2x，根据三角形的三边关系即可得出结论．【解答】解：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，∴设AB=AC=xcm，则BC=（20﹣2x）cm，∴，解得5cm＜x＜10cm．故选：B．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、解一元一次不等式组，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．4．（2015春•启东市校级月考）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是（）A． B． C．3 D．2.5【分析】首先确定DC′=DE+EC′=DE+CE的值最小，然后根据勾股定理计算．【解答】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接C′B，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=2，∵D是BC边的中点，∴BD=1，根据勾股定理可得：DC′=，故EC+ED的最小值是．故选：A．【点评】此题考查了轴对称求最短路线的问题，确定动点E何位置时，使EC+ED的值最小是关键．5．（2015秋•丹阳市校级月考）如图，在坐标系中，已知A（1，1）、B（3，5），要在y轴上找一点P，使|PB﹣PA|最大，则点P的坐标为（）A．（0，1） B．（0，2） C． D．（0，﹣1）【分析】连接BA并延长交y轴于P，则点P即为所求，求出直线AB的解析式y=2x﹣1，当x=0时，y=﹣1，于是得到结论．【解答】解：连接BA并延长交y轴于P，则点P即为所求，设：直线AB的解析式为：y=kx+b，∵A（1，1）、B（3，5），∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=2x﹣1，当x=0时，y=﹣1，∴P（0，﹣1）．故选：D．【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：三角形三边关系，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，找出|PB﹣PA|最大值时P的位置是解本题的关键．6．（2015秋•杭州校级月考）已知点A（a，﹣3），B（4，b）关于y轴的对称，则a+b的值为（）A．1 B．7 C．﹣7 D．﹣1【分析】利用关于y轴对称点的性质，关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案．【解答】解：∵点A（a，﹣3），B（4，b）关于y轴的对称，∴a=﹣4，b=﹣3，则a+b的值为：﹣4﹣3=﹣7．故选：C．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．7．（2015秋•西安校级月考）平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，﹣2），若点Q与点P关于x轴对称，则线段PQ的长度为（）A．2个单位 B．3个单位 C．4个单位 D．6个单位【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出Q点位置，进而得出PQ的长．【解答】解：如图所示：线段PQ的长度为：4个单位．故选：C．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出Q点位置是解题关键．8．（2015春•黄陂区校级月考）在矩形ABCD中，AB=8，BC=7，以CD为边在矩形外部作△CDE，且S△CDE=16，连接BE，则BE+DE的最小值为（）A．15 B．16 C．17 D．18【分析】由S△CDE=DC•h=16，得出三角形的高h=4，在直线DC外作直线l∥CD，且两直线间的距离为4，延长AD至P是DP=8，则P、D关于直线l对称，连接PB，交直线l于E，连接DE、CE，则S△CDE=16，此时BE+DE=PB，根据两点之间线段最短可知BE+DE的最小值为PB；然后根据勾股定理即可求得．【解答】解；∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=7，∴DC=8，AD=7，∵S△CDE=DC•h=16，∴h=4，在直线DC外作直线l∥CD，且两直线间的距离为4，延长AD至P是DP=8，则P、D关于直线l对称，连接PB，交直线l于E，连接DE、CE，则S△CDE=16，此时BE+DE=PB，根据两点之间线段最短可知BE+DE的最小值为PB；∵AD=7，PD=8，∴PA=15，∵AB=8，∴PB==17，∴BE+DE的最小值为17；故选C．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题以及勾股定理的应用，根据题意作出点E是解题的关键．9．（2015秋•重庆校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D为AC的中点，E是线段AB边上一动点，连接ED、EC，则△CDE周长的最小值为（）A．3 B．3 C．3+3 D．3+3【分析】过点D作D点关于直线AB的对称点D′，连接D′C，交AB于E，连接AD′，首先确定D′C=D′E+EC=DE+CE的值最小，然后根据勾股定理计算．【解答】解：过点D作D点关于直线AB的对称点D′，连接D′C，交AB于E，连接AD′，此时DE+CE=D′E+EC=D′C的值最小．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D为AC的中点，∴∠BAC=45°，DC=3，由对称性可知∠D′AE=∠DAE=45°，AD′=AD，∴∠DAD′=90°，∵D是AC边的中点，AC=6，∴AD′=3，根据勾股定理可得：D′C===3，∴△CDE周长的最小值：DE+CE+DC=D′C+DC=3+3故选D．【点评】此题考查了轴对称求最短路线的问题，确定动点E何位置时，使EC+ED的值最小是关键．10．（2015秋•哈尔滨校级月考）在下列对称图形中，对称轴的条数最多的图形是（）A．圆 B．等边三角形 C．正方形 D．正六边形【分析】分别确定出各图形的对称轴的条数，然后进行比较即可．【解答】解：圆有无数条对称轴；等边三角形有3条对称轴；正方形有四条对称轴，正六边形有6条对称轴．故选：A．【点评】本题主要考查的是轴对称图形的定义，确定出选项中各图形的对称轴的条数是解题的关键．11．（2016•天门）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）A．13 B．15 C．17 D．19【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，AE=CE=4，求出AC=8，AB+BC=15，求出△ABD的周长为AB+BC，代入求出即可．【解答】解：∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，∴AD=DC，AE=CE=4，即AC=8，∵△ABC的周长为23，∴AB+BC+AC=23，∴AB+BC=23﹣8=15，∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，故选B．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．12．（2016•毕节市）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：D．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．二．填空题（共6小题）13．（2016•徐州）若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm，则它的底边长为2cm．【分析】作AD⊥BC于点D，可得BC=2BD，RT△ABD中，根据BD=ABcos∠B求得BD，即可得答案．【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=30°，又∵AD⊥BC，∴BC=2BD，∵AB=2cm，∴在RT△ABD中，BD=ABcos∠B=2×=（cm），∴BC=2cm，故答案为：2．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等，②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题关键．14．（2016•龙岩模拟）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是4．【分析】由AB=AC，D是BC的中点，易得AD是BC的垂直平分线，则可证得△ACD≌△ABD，△OCD≌△OBD，△AOC≌△AOB，又由EF是AC的垂直平分线，证得△OCE≌△OAE．【解答】解：∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠CAD=∠BAD，AD⊥BC，∴OC=OB，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SAS）；同理：△COD≌△BOD，在△AOC和△AOB中，，∴△OAC≌△OAB（SSS）；∵EF是AC的垂直平分线，∴OA=OC，∠OEA=∠OEC=90°，在Rt△OAE和Rt△OCE中，，∴Rt△OAE≌Rt△OCE（HL）．故答案为：4．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．15．（2016•阜宁县二模）如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB，若∠A=40°，则∠EBC=30°．【分析】由DE垂直平分AB分别交AB、AC于D、E两点，利用线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，即可求得∠ABE的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案．【解答】解：∵DE垂直平分AB分别交AB、AC于D、E两点，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=30°．故答案为：30．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．16．（2015春•宁化县校级月考）如图，∠ABC=70°，∠A=50°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBC=20°．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，则∠ABD=∠A=50°，结合图形易求∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=20°．【解答】解：如图，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A．又∠DBC=∠ABC﹣∠ABD，∠ABC=70°，∠A=50°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣50°=20°，故答案是：20．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；此题设计巧妙，将等腰三角形、垂直平分线等知识有机的融合在一起，考查了同学们的分析能力及逻辑推理能力．17．（2015秋•滨湖区期中）如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，若点M、N分别是线段AB、AC上的两个动点，则CM+MN的最小值为．【分析】首先作C关于AB的对称点D，作DN⊥A于点N，交AB于点M，则此时CM+MN有最小值，且CM+MN=DM，然后利用直角三角形的性质，求得CD的长，继而证得△DCN∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】解：作C关于AB的对称点D，作DN⊥A于点N，交于AB于点M，则此时CM+MN的最小值，且CM+MN=DM，∵在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∴AB==5，∴CE==，∴CDD=2CE=，∵∠D+∠ACE=∠A+∠ACE=90°，∴∠A=∠D，∵∠CND=∠ACB=90°，∴△DCN∽△ABC，∴，即，∴DN=．∴CM+MN的最小值为：．故答案为：．【点评】此题考查了最短路径问题、勾股定理、直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确找到M，N的位置是解此题的关键．18．（2015秋•常熟市月考）如图，在△ABC中，∠ACB=130°，AC、BC的垂直平分线分别交AB于点M、N，则∠MCN=80°．【分析】首先由在△ABC中，∠ACB=130°，可求得∠A+∠B的度数，然后由AC、BC的垂直平分线分别交AB于点M、N，根据线段垂直平分线的性质，可得AM=CM，BN=CN，即可得∠ACM=∠A，∠BCN=∠B，继而求得∠ACM+∠BCN的度数，则可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=130°，∴∠A+∠B=50°，∵AC、BC的垂直平分线分别交AB于点M、N，∴AM=CM，BN=CN，∴∠ACM=∠A，∠BCN=∠B，∴∠ACM+∠BCN=∠A+∠B=50°，∴∠CMN=∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）=80°．故答案为：80°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意求得∠ACM+∠BCN=∠A+∠B是关键．三．解答题（共12小题）19．（2016•常州）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB=OC；（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC，从而得证；（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD、CE是△ABC的两条高线，∴∠DBC=∠ECB，∴OB=OC；（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，∴∠A=180°﹣2×50°=80°，∴∠BOC=180°﹣80°=100°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；关键是掌握等腰三角形等角对等边．20．（2016•宁夏）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．【分析】先证明△DEC是等边三角形，再在RT△DEC中求出EF即可解决问题．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∴△EDC是等边三角形，∴DE=DC=2，在RT△DEC中，∵∠DEC=90°，DE=2，∴DF=2DE=4，∴EF===2．【点评】不同考查等边三角形的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．21．（2016•临夏州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出各对应点位置进而得出答案；（2）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，点A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）．【点评】此题主要考查了轴对称变换和平移变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．22．（2016•怀柔区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：∠CAB=∠AED．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∠ADE=90°，∴∠EAB=∠B．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°．在Rt△ADE中，∵∠ADE=90°，∴∠AED+∠EAB=90°，∴∠CAB=∠AED．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．23．（2015•宿迁）如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．【分析】首先根据AB=AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D．【解答】证明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∴∠ABC=∠CBD+∠D，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D．【点评】（1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．（2）此题还考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．24．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．【分析】分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P1P2交OX于M，交OY于N，则PM+MN+NP最短．【解答】解：如图所示：分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P1P2交OX于M，交OY于N，则PM+MN+NP最短．【点评】本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性质确定三角形的另两点．25．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE．求证：AC﹣AB=2BE．【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3=∠4，AB=AM，∴AC﹣AB=AC﹣AM=CM．再利用∠4是△BCM的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM=BM利用等量代换即可求证．【解答】证明：延长BE交AC于M∵BE⊥AE，∴∠AEB=∠AEM=90°在△ABE中，∵∠1+∠3+∠AEB=180°，∴∠3=90°﹣∠1同理，∠4=90°﹣∠2∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴AB=AM∵BE⊥AE，∴BM=2BE，∴AC﹣AB=AC﹣AM=CM，∵∠4是△BCM的外角∴∠4=∠5+∠C∵∠ABC=3∠C，∴∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C∴∠5=∠C∴CM=BM∴AC﹣AB=BM=2BE【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是作好辅助线，延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，考查的知识点较多，是一道难题．26．（2012•常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．【分析】方法一：连接CE，由与EF是线段AC的垂直平分线，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四边形AFCE是平行四边形，再根据AE=CE可知四边形AFCE是菱形，故可得出结论．方法二：首先证明△AOE≌△COF，可得OE=OF，进而得到AC垂直平分EF，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AF．【解答】证明：连接CE，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，OA=OC，∵AE∥BC，∴∠ACB=∠DAC，在△AOE与△COF中，∵，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AE=CE，∴四边形AFCE是菱形，∴AE=AF．另法：∵AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∵，∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，∴OE=OF，∴AC垂直平分EF，∴AE=AF．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．27．（2011•梅州）如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=a；（直接写结果）（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动面变化？请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）【分析】（1）设AP的长是x，然后利用x表示出两个三角形的面积的和，利用二次函数的性质即可求得x的值；（2）首先证得△APD≌△CPB，然后根据三角形的外角的性质即可求解；（3）旋转的过程中，（2）中得两个三角形的全等关系不变，因而角度不会变化．【解答】解：（1）设AP的长是x，则BP=2a﹣x，∴S△APC+S△PBD=x•x+（2a﹣x）•（2a﹣x）=x2﹣ax+a2，当x=﹣=﹣=a时△APC与△PBD的面积之和取最小值，故答案为：a；（2）α的大小不会随点P的移动而变化，理由：∵△APC是等边三角形，∴PA=PC，∠APC=60°，∵△BDP是等边三角形，∴PB=PD，∠BPD=60°，∴∠APC=∠BPD，∴∠APD=∠CPB，∴△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠AQC=180°﹣120°=60°；（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°．理由：∵△APC是等边三角形，∴PA=PC，∠APC=60°，∵△BDP是等边三角形，∴PB=PD，∠BPD=60°，∴∠APC=∠BPD，∴∠APD=∠CPB，∴△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠AQC=180°﹣120°=60°．【点评】本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明两个三角形全等是解题的关键．28．（2012•凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE周长的最小值：8．【分析】（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可