2008-5-21数模(北京师范大学珠海校区)

数学建模的技术和方法郝志峰华南理工大学理学院2008年5月21日什么是建模？纸飞机共产主义-列宁数学建模

模型入门数学建模是可以学习的；初学者需要观察，然后尽可能快地成为实际过程而受益；计算机与数学。一、建模指标的设定

二、基本概念的理解

三、建立模型的联想

四、数学建模的过程围棋是东亚人民喜爱的智力活动,长久以来,人们一直认为19×19＝361个点所构成的网状存在着许多奥妙和争论。其中之一是关于贴目问题：中国贴子，日本贴5目半，应氏规则贴7目，都共存于各项比赛中。当然还有一个更令人瞠目的问题：为什么围棋盘是十九行、十九列呢?你会说对称，否则一长一宽没有趣味了。那么为什么是十九呢?有老人解释说：十二星宿加上北斗七星。但这哄孩子可以，哄你大概不行，你可能会刨根向底问个不休。1、设计围棋的指标围棋的两个竞赛对策是成活、围空。我们先来讨论成活，若比较在各线上成活速度

(即用最少的子来得到必活的棋形)，我们有：1、设计围棋的指标这说明从成活的角度讲，三线的价值很大，再比较围空，我们定义围空的效率(即所围的目数/所用的棋子),则有，，，。因此从围空的角度而言，四线是唯一可以和三线竞争的下法。当然围棋界有“金角、银边”等说法。当然，从体育竞争和游戏的角度而言，要使双方比赛精彩激烈，走三线和四线的价值要尽量接近

(细微的部分可采用贴目方式进行)。1、设计围棋的指标假设围棋有n行、n列。由于走四线、围中空要有价值，所以n不能太小；另外由于围棋子也不能太多，所以n不能太大，不妨设11≤n≤30(40?)。我们要使得走三线的价值和走四线的价值的值尽量接近，记：，这里注意是关于n的减函数.1、设计围棋的指标得y=5.2(目),这又解释了中国规则和日本规则

可导，且已知n≥11，故导数为正，这时为增函数，于是E(n)为增函数。由介值定理关于E(n)=0只有一个解，考虑

E(18)=－0.1888，E(19)=0.092，这样在(18,19)之间必有一根，最接近这个根的是E(19),这样问题1意外地解决了。问题1的解决极大地鼓舞我们继续考虑贴几目地问题，当n＝19时，。这说明四线围空效率稍高，需贴目。假设贴y目,则有1、设计围棋的指标那么应氏规则又从何说起呢?

在我们所建立的模型里四个“三三”和四个“四四”的点对

围空未起到本质的作用，只能算作实子或防止对方切断的一手，于是所用棋子可减四目，于是有：所贴目数为：得到：z≈7，这与应氏规则是相近的。1、设计围棋的指标一个股份公司通常由若干个股东组成，如果某一个股东想占据该股份公司的领导地位，那么一个熟悉的想法是该股东控制超过50%的股权。但事实却是有许多股份公司的领导者并没有控制那么多。例如在2005年盛大互动娱乐有限公司收购新浪股份时，所收购的股本数只占总股本数的19.5%,却实现了成功收购。

2、设计“实力”的指标

另一个例子是美国通用汽车公司的第一大股本福特家族也只占有该公司15%的股本。但也控制了整个公司。这样，一个自然而然的问题是：如何估计某种势力在股东大会中所在的“权重”？

2、设计“实力”的指标在原来我们所认为需50%的想法中。隐含着这样一个前提，即其他的股东都是您的反对者，这是一个极端的情形，也是我们一种自我孤立的意识在作怪。这样我们开始转换思维，考虑联盟的情形，这也符合实际，一部分股东因某种共同利益而实行联合。2、设计“实力”的指标—问题的分析首先我们介绍加权多数对策：

设[g,w1,w2,…,wn]，这里有n个股东，用wi是表示股东i所持有股本，假定是非负的。设N={1,2,…,n}是所有股东集合，N的一个子集S称为股东联盟。一个股东联盟赢得一次表决，是指

wi1+wi2+…+wik

≥g

这里S={i1,i2,…,ik}2、设计“实力”的指标—数学的分析之一

这一部分我们将会认同这样一个现实：占有更多的股本并不一定增加其势力（当然不会减少），也不一定是以一种正比例方式增加其势力。2、设计“实力”的指标—若干实例

“哑元”现象

在对策[50；51,14,13,12,10]中第一个股东无需他人合作即可取胜，因而股东2,3,4,5尽管持有股本，但势力为0，这时称股东2,3,4,5为“哑元”。这时观察对策[51；26,26,26,22]，最后一个股东也是毫无势力的，因为任何一个取胜联盟若含有他，那么去掉他时联盟依旧能取胜。因此最后一个股东也是“哑元”。2、设计“实力”的指标—实例一

同等势力在对策[2；1,1,1]，

[50；49,48,3]

中的势力是相同的，因为他们给出相同的取胜联盟。其中第三个对策说明了位居第三的小股东也有潜在的价值。2、设计“实力”的指标—实例二之一

如果将这一想法应用于政治，也可以解释为什么大富翁佩罗会两次参加美国总统的选举。尤其是他第一次参加的布什、克林顿、佩罗的三人选举中（假设为[50；49,48,3]）。通过此获取的势力，嬴得了数倍投资于竞选的资本。2、设计“实力”的指标—实例二之二建模分析在对策[g,w1,w2,…,wn]中定义gi为第i个股东的势力指标，它需满足以下五点：①gi

≥0；②gi=0当且仅当i是哑元；③若i与j在取胜联盟中地位相同，则gi=gj

；④若wi>

wj

，则gi

≥gj

；⑤g1+g2+…+gn=1。2、设计“实力”的指标—数学的分析之二Shapley_Shubik指标：

2、设计“实力”的指标—数学的分析之三对策[51;40,30,20,10]的四个股东1,2,3,4共有下面24种排列“*”表示该股东在取胜联盟中是关键人。

12*3421*3431*24412*312*4321*4331*42413*213*24231*4321*4421*313*42234*1324*1423*1142*3241*3341*2431*2143*2243*1342*1432*12、设计“实力”的指标—数学的分析之四于是我们得到

g1=g2=g3=g4=2、设计“实力”的指标—数学的分析之四股份公司中的大股东设一公司有一大股东A，他控制着40%的股票，假设其余的股票平均分配在另外60个股东手中，每人占1%。通过一项决议需50%的赞成票。这时通过计算这个对策中的Shapley-Shubik势力指标，该大股东的势力为40/61。现仍假设A控制着40%的股票，但其余的股票平均分配在另外600个股东手中，每人占0.1%，此时A的势力为400/601。而且随着小股东人数的不断增大，A的势力份额将趋于2/3。这个例子解释了为什么收购一个股份公司，并不一定占据50%的股票。以盛大互动娱乐有限公司收购新浪股份为例，盛大只控制了19.5%的股票，而其余股东，最大的不过占据了4.96%的股票。这就是一个有趣的例子。2、设计“实力”的指标—案例的分析之一

“团结并不永远意味着力量”

在实际生活中，人们经常以搓草绳为例来告诫人们，一根稻草微不足道，一拉就断。但搓成草绳后却力量大增，从而得出结论：团结就是力量。这样在二次大战后，在欧洲大陆，形成了北大西洋公约组织和华沙条约组织这两个集团势力。但1955年，周恩来总理在万隆会议上提出的著名的“和平共处”五项原则中有一条“独立自主”的口号，这从表面上看似乎与“联盟”存在着差异。但在这里我们将通过一个实例，试图给出“独立自主”的诠释。2、设计“实力”的指标—案例的分析之二

假设一个对策为[5;3,3,1,1,1]，另一个对策将3个1形成联盟成为对策[5;3,3,3]。注意到前一个对策的Shapley_Shubik势力指标为{3/10,3/10,4/30,4/30,4/30}。而后一个对策的Shapley_Shubik势力指标为{1/3,1/3,1/9,1/9,1/9}。后一个对策分配到每个1所占的势力为1/9。哦！“独立自主”使您的势力增大。请您记住，“独立自主”也是一种很好的外交手段，尤其是没有占据主导地位的时候。2、设计“实力”的指标—案例的分析之二联合国安理会的例子现在的联合国安理事会由五个常任理事国（中国、美国、英国、法国、俄罗斯）和十个非常任理事国组成。每个理事国成员都具有否决权，而十个非常任理事国每两年轮流变动一次。在安理会中通过一项决议需有九票以上，其中五个常任理事国需全部投赞成票，再加上至少四个非常任理事国投赞成票。2、设计“实力”的指标—案例的分析之三

对于这一对策系统，记为：

[g;a,a,a,a,a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b]

根据已知条件：

5a+4b=g,4a+10b<5a+4b.

由第二个不等式可得

a>6b.

于是可令

b=1,a=7.

这样求得

g=39.

对于

[39;7,7,7,7,7,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]

2、设计“实力”的指标—案例的分析之三

这一对策可求得对每个常任理事国其势力指标为

0.1963；而每个非常任理事国的势力指标为

0.001863。2、设计“实力”的指标—案例的分析之三现在的联合国安理会的组成模式形成于1963年。在1963年之前，安理会是由五个常任理事国和六个非常任理事国组成，通过一项决议需七票以上，其中五个常任理事国全部投赞成票。再加上至少两个非常任理事国投赞成票。2、设计“实力”的指标—案例的分析之三提示：对于这一对策，用上面类似的方法可以求得对策系统是

[27;5,5,5,5,5,1,1,1,1,1,1]，同样可求得1963年之前每个常任理事国的势力指标为0.1974。每个非常任理事国的势力指标为0.002165。这表明对于1963年的改革。使得安理会理事国成员的势力指标下降了。2、设计“实力”的指标—案例的分析之三现在有一个设想，即将来的安理会组成中，增加德国、日本、印度和巴西这四个国家作为常任理事国，具有否决权，这些国家有的现在对联合国的经济资助已超过法国和英国，有的人口众多。请您设计将来的安理会所组成的这一对策，并求得常任理事国和非常任理事国的势力指标。2、设计“实力”的指标—案例的分析之三一、建模指标的设定

二、基本概念的理解

三、建立模型的联想

四、数学建模的过程二、基本概念的理解

2.1、二阶导数1998年４月底，印度的《人民报》头版头条报道了印度国防部长提出的：中国威胁论，并抱怨议会削减了国防预算。但是，正如印度在野党的议员在1998年5月27日所反驳的：议会仅仅只是削减了国防预算增长的变化率。用数学的话来说，预算的一阶导数仍然是正的（即预算仍旧是增长的），只是二阶导数为负了（即预算的增长率变缓了）。同样，在2003年非典时期，4月20日前用的词语是“控制”，4月20日后用的词语是“遏制”，请问您理解这两个词语的差别吗？2.1、二阶导数另外，萨缪尔逊在《经济学》中的一段话（设“总效用”指的是对消费某些商品的总的满意程度）：当消费同类商品时，总效用（心理上）就会增加，但是，……，随着新的商品的不断涌现，你的总效用会按照越来越慢的速度增长，这是一个根本倾向促成的，即你鉴赏更多的商品的心理能力变的更迟钝。2.1、二阶导数2.1、二阶导数进一步的例子：已知可微函数的图像如右图，问：(1)的图像；(2)

(

)的图像。2.2、基础解系在城市中，不时听到人们抱怨塞车，这也成为不少城市的“一景”。下面的例子一方面给出了交通堵塞的部分数学解释，另一方面也给基础解系一个生动的刻划。例：设一个“井”字形环路，均为单向行驶，在八个出入口有一个记录口（或收费站），可记录单位时间进出该路段的车辆数目，已知八个出入口在某一个时间段的数目如右图。500400550650500600450350问路段上的车辆数目？解:根据“入出”的准测，四个“十字”路口节点的方程为:(1)(4)(3)(2)节点2.2、基础解系上述线性方程组的解为2.2、基础解系问题:(1)基础解系在该问题中代表了什么？问题:(2)请您利用该结果对交通管理部门提出若干有用的建议.2.2、基础解系2.2、基础解系思考题：图中是某一地区的公路交通网络图，所有的道路都是单行道，且道上不能停车，通行方向用箭头表示，标示的数字为高峰期每小时进出网络的车辆数。200300200100200300300ABCDE试从交通流量平衡条件建立起线性代数方程组，并对解作出符合实际意义的解释。2.3、参考教材国家“十一五”规划教材国家“十五”规划教材教育部新世纪网络课程建设工程面向21世纪课程教材“九五”国家教委重点教材高等教育百门精品教材大学数学资源库国家“十五”规划教材

高等教育百门精品教材线性代数面向21世纪课程教材

“九五”国家教委重点教材概率论与数理统计高等教育百门精品教材高等数学教育部新世纪网络课程建设工程线性代数、概率论与数理统计、数学模型一、建模指标的设定

二、基本概念的理解

三、建立模型的联想

四、数学建模的过程循环比赛的成绩例：已知比赛无平局，只有胜负(如:排球、乒乓球、羽毛球、网球等)，共有六支队伍，两两之间均比赛过，结果如右图:

123456问：如何排定名次?三、建立模型的联想--排序的例子思考1：“获胜”是关键。于是，寻找一条从起点不断获胜的路径；如：①1→4→6→3→2→5②4→5→6→3→1→2明显有不合理且不可行的地方。第一，解明显不唯一。第二，强队一失手，真成千古之恨。（比如巴西负阿根廷，阿根廷再负…，此种传递会得出极荒谬的结论。但注重“获胜”是体育竞赛精神之所在，也是建模的基本依据。思考2:国际足联积分制

1队:4胜1负8分2队:3胜2负6分

3队:3胜2负6分4队:2胜3负4分

5队:2胜3负4分6队:1胜4负2分这时1，6两队名次立即分出。但2、3两队，4、5两队呢？以体育界常用的做法，3胜2，故3在2之前。4胜5，故4在5之前。于是名次为：

1，3，2，4，5，6。但问题或困惑随之而来，就4、5而言，5胜的是3和6，而4胜的是5和6。看一看对手的实力，

我们又有理由说5会强一点，因为5→3→4。综合思路1、2，我们有以下的分析：

取胜的价值有所不同。由于积分制只关心取胜，不关心失败，所以取胜强队的价值(即分数)应高一些。依照此思想，在区分2、3和4、5时，要给出更精细的分数。

以2、3为例,它们的精细分数为：

2胜4、5、6，得4+4+2＝10分

3胜1、2、4，得8+6+4＝18分

以4、5为例,它们的精细分数为:4胜5、6，得4+2＝6分

5胜3、6，得6+2＝8分需要说明的是这只是精细分数，不是说由于10>8，则2在1之前。这只是为了区分同一名次的。

从解决问题的角度来看，做到这里似乎目的达到了。但作为数学建模，这只是开始。我们只是有了些正确的思路，或解决问题的技巧，还没有建立模型。现在，我们朝着模型的方向前进着。于是,我们转换为矩阵的做法试试看：

令设胜一场得2分,负一场得0分，记初始向量为(为什么?)这就是区分2、3和4、5的过程这就是国际足协注意到这给出了“矩阵相乘”的一个解释——看对手。一般的定理:Perron－Frobenius

定理注意:约束条件不可分矩阵对应的图是连通图一般的定理:

Perron－Frobenius

定理若P是非负、不可约矩阵，则排序模型的联想

Perron－Frobenius

定理的应用请关注约有191,000项符合北京师范大学珠海分校的查询结果，以下是第1-10项（搜索用时0.09秒）那么google是如何在0.09秒的瞬间完成了对191,000个网页的排序呢?网络通讯一个网络是由若干个节点和连线组成-计算机-电视机-卫星-电话线-有线电视-无线网络网络通讯：不同的点有不同的线互联（图论思想）。

HITS

PageRank1998JonKleinbergCornellUniversity

SergeyBrinandLarryPage

StanfordUniversityPage

Rank,

Google的搜索引擎所用的排序系统。

搜索者是独立的；搜索的内容是独立的；搜索仅用到互联网的图结构。Page

Rank,

Google的搜索引擎所用的排序系统。

例：六个页面的有向图排序模型的联想

Perron－Frobenius

定理的应用排序模型的联想

Perron－Frobenius

定理的应用一般的定理:

Perron－Frobenius

定理若是非负、不可约矩阵，则排序模型的联想

Perron－Frobenius

定理的应用Google公司的秘诀:在网球比赛中，观众最兴奋、比赛最精彩之处莫过于Deuce情形。乒乓球比赛也一样，9平、10平、11平、12平、13平、…，观众的心都被提到了嗓子眼了，呐喊的、跺脚的，没有一个观众愿意此时离去(心脏病除外)。这时有一个问题，

如果比赛一直平下去，那岂不是把观众紧张死了，这可能出现吗?当然你会说，这决不可能。为什么?排序模型的旁例—离散的马尔科夫链

假设你赢一分的可能性为P，你的对手赢一分的可能性为1-P，那么比赛一直进行下去的可能性为。这里,且故上面的极限是0，即比赛不会持续下去。⑴:比赛会不会持续下去?⑵:若甲,乙的获胜概率为P,(1-P).若此时甲领先,问甲最终获胜的概率有多大?若甲,乙打平呢?若甲落后呢?排序模型的旁例—离散的马尔科夫链好了，你将会看到比赛的结果的。但结局的各种可能性是多少呢?这又是一个有趣的问题?让我们来分析一下，就你现在的状态而言，你有5种情况:1.赢了这一局，2.只赢一分，3.打平，4.只输一分，5.输了这一局。（样本空间）出现情况：1、5则比赛结束，2、3、4则仍继续，出现2后，出现1的可能性为P、出现3的可能性为1-P。4、5不可能出现，如此类推到3、4，则有如下的概率转移矩阵：排序模型的旁例—离散的马尔科夫链出现2后的一次发球的比赛结果的可能性是由此继续下去的第K次发球可能性则是排序模型的旁例—离散的马尔科夫链A这个矩阵很有特点，每一行的和为1，且每个元素的值在0、1之间，这个矩阵称为Markov矩阵。我们的问题是问的值是多少?这又是一个是否收敛的问题。要证明它，可采用相似标准形等方法解决，注意A的一个自然的特征值1和对应的特征向量。现假设存在，那么它是多少呢?让我们先分析一下，既然存在，那么它一定是稳态的，即只可能处于1或5状态，否则又不同了。排序模型的旁例—离散的马尔科夫链于是由于，所以AB=B，解之，得：

排序模型的旁例—离散的马尔科夫链以为例，若你现在赢一分,则你取胜的可能性是；若你现在与对手打平,则你取胜的可能性是；若你现在输一分则你取胜的可能性是1/4。在这个模型中，你会发现，当A赢一分之后再赢一份的概率保持不变，这与现实情况并不完全相同.因为你一分在手，在比赛中的心情和战术变化也不同，应该取胜的可能性也大一些。这种模型可能会有变换，请你自己动手一下。排序模型的旁例—离散的马尔科夫链思考题：（醉汉问题）一个醉汉在床与三步之远的楼梯之间徘徊。每走一步，朝着床走的机会与朝着楼梯走的机会是3:1，如果到了位置1，就会摔下楼梯，如果到了位置4，就会睡个好觉到天亮。假设该醉汉不会清醒，也不会伏下，且现在离天亮还有很长的一段时间。请问：①试证明：该醉汉最终一定到床和楼梯这两个位置中的一个；②假设醉汉现在(Ⅰ)：离床两步远(位置2)，(Ⅱ)：离床一步远

(位置3)，分别计算他到床上去的概率。位置1位置4位置2位置3排序模型的旁例—离散的马尔科夫链2000年考研题：某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他部门，其缺额由招收的新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工。设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占比例分别为和，记成向量

(1)求与的关系式并写成矩阵形式排序模型的旁例—离散的马尔科夫链

(2)求，是A的两个线性无关的特征向量，并球出相应的特征值；

(3)当时，求。排序模型的旁例—离散的马尔科夫链一、建模指标的设定

二、基本概念的理解

三、建立模型的联想

四、数学建模的过程数学建模是可以学习的；初学者需要观察，然后尽可能快地成为实际过程而受益；计算机与数学。四、数学建模的过程①数学建模实践的每一步中都蕴含着能力上的锻炼，在调查研究阶段，需要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设时，又需要用到想象力和归纳简化能力。

②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间内查到并学会我想应用的知识的本领。③还需要你多少要有点

创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。

数学建模与能力的培养

开展数学建模竞赛的主要目的为了提高学生的