山东省青岛大学附属中学2022年中考一模数学试题（含答案与解析）

山东省青岛大学附属中学2022年中考一模试题

数学

（本试题卷共4页，满分120分，考试时间100分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴

在答题卡上指定位置。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。

3.非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答

在试题卷上无效。作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

I.®的算术平方根是（）

A.3B.C.±3D.-3

2.2021年5月15H,我国“天问一号”探测器在火星成功着陆.火星具有和地球相近环境，与地球最近

时候的距离约55000000km.用科学记数法表示为（）

A.0.55x107mB.5.5xl07mC.5.5xl0'°mD.5.5xl0"m

4.如图，AB是。。的直径，点E、C在。。上，点A是弧EC的中点，过点A画。。的切线，交BC的延长

线于点。，连接EC.若NA£）B=58.5。，则NACE的度数为（）

E

A

D

A.29.5°B.31.5°C.58.5°D.63°

5.如图，若AA5C与是位似图形，则位似中心的坐标是（）

C.(0,-1)D.(0,1)

6.已知二次函数丁=依2+陵+。（。工0）,图像上部分点的坐标（羽y）的对应值如下表所示，则方程

g?+法+1.37=0的根是（）

X04

y0.37-10.37

A.0或4B.逐或4-逐C.1或5D.无实根

〃+b+0

7.二次函数y="2+8x+c的图象如图所示，则一次函数y=法+。2-4。。与反比例函数y=---------在

x

同一坐标系内的图象大致为（）

Y.

—1\\O1

8.如图，已知E是正方形ABC。中AB边延长线上一点，且4B=BE,连接CE、DE,DE与BC交于苴N,

尸是CE的中点，连接AF交BC于点M,连接BF.有如下结论：①DN=EN；②XABF〜/\ECD,,③tan/C£>E=

A.①②③④B.①②③C.①③④D.①②④

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9.计算：748-tan60°^sin30°-（-1）2022=.

10.一个不透明的盒子中装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出

一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验500次，其中有301次摸到白球，由此估

计盒子中的白球大约有一个.

11.2021年6月170,中国第7艘载人航天飞船“神州12号”圆满发射成功，激励更多的年轻人投身航天

事业.现有甲、乙两名学员要进行招飞前的考核，按照4：3：2：1的比例确定成绩，甲、乙两人成绩（百

分制）如表:

候选人心理素质身体素质科学头脑应变能力

甲86858890

乙90828190

选择1名学员，最后应选.

12.接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径.针对疫苗应急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生

产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工厂不能按时到厂.为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由

原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂.设该

厂当前参加生产的工人有x人，根据题意可列方程为：.

13.如图，以边长为66cm的正六边形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的12条线段，过

截得的12端点作所在边的垂线，形成6个有两个直角的四边形.把它们沿图中虚线减掉，用剩下的纸板折

成一个底为正六边的无盖柱形盒子，则它的容积为cn?.

14.实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所

剩的质量与时间成某种函数关系.上调为表示镭的放射规律的函数图像，据此可计算32mg镭缩减为Img

所有的时间大约是年.

三、作图题（本题满分4分）

15已知：Za＞线段a.

求作：矩形ABCD,使对角线的长为a,夹角为Na.

四、解答题

16.计算

—1。+1ci

(1)化简:-2------------；----------1--------

Q~-2。+1a—1a—1

|(x+l)<2

(2)解不等式组《并求出不等式组的整数解之和.

x+2x+3

------>------

I23

18.甲乙两人用下面两个可以自由转动转盘做游戏,4转盘被分成如图所示的三份，并分别标有数字1,2,

-3；8转盘被等分成三份，分别标有数字-1,-2,3.甲乙两人同时转动转盘，当转盘停止转动时，指针

所指的数字之差的绝对值大于2,则甲胜；指针所指的数字之差的绝对值小于2.则乙胜.请问，这个游戏

对甲乙两人公平吗？说明理由.

19.为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动.志愿者随机

抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分

数据和不完整的统计图表：

方便筷使用数量在5Kx<15范围内的数据:

5,7,12,9,10,12,8,8,10,11,6,9,13,6,12,8,7.

不完整的统计图表：

方便筷使用数量统计表

组别使用数量(双)频数

A04<514

B5<x<10

C10<x<15

D15<x<20a

ExZ2010

合50

方便筷使用数量占比统计图

请结合以上信息回答下列问题：

(1)统计表中的a=；

(2)统计图中E组对应扇形的圆心角为度；

(3)。组数据的众数是；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是；

(4)根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数.

20.如图，小王站在河岸上的G点，看见河里有一小船垂直于岸边的方向划过来.此时，测得小船C的俯

角是N/7)C=30。，若小王的眼睛与地面的距离是1.6米，BG=1米，BG平行于4c所在的直线，迎水坡*4：

3,坡长AB=10米，点A、B、C、。、F、G在同一平面内，求小船C到岸边的距离CA的长.(结果保留根

号)

21.如图，直线y=fcx+3与x轴、)，轴分别交于点8、C,与反比例函数y=—交于点A、D,过。做。E_Lx

X

轴于E,连接OD,若A(-2,〃)，SAOAB：SAOOE=1：2.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)求点C的坐标.

22.已知：如图，在平行四边形ABC。中，E、尸分别为A&C。的中点，G、”分别为。E、B尸的中点.

（1）试判断四边形EHFG的形状，并证明；

（2）若/A8C=90°,试判断四边形E/7FG的形状并加以并证明.

23.新冠疫情期间，某网店销售的消毒用紫外线灯很畅销，该网店店主结合店铺数据发现，日销量了（件）

是售价x（元/件）的一次函数，其售价、日销售量、日销售纯利润卬（元）的四组对应值如表：

售价X（元/件）150160170180

日销售量y（件）200180160140

日销售纯利润W（元）8000880092009200

另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元.

（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）该商品每件的进价是多少元？当每件的售价为多少元时，日销售纯利润最大？

（3）由于疫情期间，每件紫外线灯的进价提高了〃，元（相＞0）,且每日固定成本增加了100元，但该店

主为响应政府号召，落实防疫用品限价规定，按售价不高于170元/件销售，若此时的日销售纯利润最高为

7500元，求小的值.

25.阅读理解】

排列：从〃个元素中选取，”（相9）个元素，这，〃个元素称一个排列，不同顺序视作不同排列，排列数

量记作A：.

组合：从〃个元素中选取，*（，花〃）个元素，这，〃个元素称为一个排列，不同顺序视作同一排列，组合数量

记作G".

例如：（甲、乙），（乙、甲）是两种不同的排列，确实同--种组合.

【问题提出1］在5个点中选取其中3个，有多少种排列？有多少种组合?

(1A3XIA4KIA5)

国②

5"4X3=。附排列

图①

【问题解决11

将5个点分别编号为“1”“2”“3”“4”“5”.

（一）排列：

（1）选取第1个点：

如图①，从全部5个点中选取1个，有5种情况；

（2）选取第2个点：

如图①，从剩余4个点中选取1个，有4种情况；

（3）选取第3个点：

如图①，从剩余3个点中选取1个，有3种情况；

综上所述，从5个点中任选3个点，共有5x4x3=60种排列，即用=60.

（二）组合：

因为每个组合都包含了3个点，所有每3个点共有A；=3x2xl=6（种）排列.例如：包含“1”“2”“3”

这3个点的组合，就有（1,2,3）（1,3,2）（2,1,3）（2,3,1）（3,1,2）（3,2,I）共6种不同排

,1

列……像这样，每个组合都重复了6次（即用次），即组合数=排列数的中，故“在5个点中选取其中3

个”对应组合数

（种）.

柒程TO

(1)填空

①&=;②寓=(«>3)；③C：=(»>2).

（2）【问题提出2】在五边形中，每次取其中的3个顶点连接成三角形，可以构造多少个三角形?

【问题解决2】

解：问题可以抽象成在5个点中取其中3个，有多少种组合.

：仁=与=答==1。（种），,在5个点中取其中3个，有10种组合•

即在五边形中，每次取其中的3个顶点连接成三角形，可以构造10个三角形.

【问题延伸】在六边形中，每次取其中的4个顶点连接成四边形，可以构造多少个四边形？

（请仿照【问题解决2】利用排列、组合的计算方法解决问题）

解：

【建立模型】在〃（n>3）边形中，每次取其中的“（m<n）个顶点连接成〃?角形，可以构造个，〃边

形.

（3）【模型应用】在如图②所示的正方形网格图中，以格点为顶点的三角形共有个.

27.如图，在四边形A8CZ）中，AB//CD,ZABC=90°,AB=8cm,BC=6cm,4O=10cm,点P、。分别是线

段CO和AO上的动点.点P以2cm/s的速度从点。向点C运动，同时点。以lcm/s的速度从点4向点。

运动，当其中一点到达终点时，两点停止运动.将PQ沿翻折得到QP',连接PP'交直线4。于点E,

连接AC、BQ.设运动时间为f（s）回答下列问题：

（1）当f为何值时，PQ〃AC?

（2）是否存在某一时刻f,使P、P、。三点共线？若存在，求出r的值；若不存在，请说明理由；

（3）求四边形8CPQ的面积S（cm?）关于时间，小）的函数关系式；

（4）是否存在某时刻/,使点Q在NPp。平分线上？若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

1.%的算术平方根是（）

A.3B.GC.±3D.-3

【1题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】先计算囱=3,根据算术平方根的定义计算即可.

【详解】解：•••、月=3，

二3的算术平方根为6，

故选：B.

【点睛】本题考查了算术平方根的定义，求一个数的平方根，能熟记算术平方根的定义的内容是解此题的

关键.平方根：如果一个数的平方等于。，那么这个数就叫。的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算

术平方根.

2.2021年5月15日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆.火星具有和地球相近的环境，与地球最近

时候的距离约55000000km.用科学记数法表示为()

A.0.55x107mB.5.5xl07mC.5.5xlO,omD.5.5xl0"m

【2题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】先进行单位换算，再用科学记数法，科学记数法的表示形式为“X10"的形式，其中l<|a|<10,n为

整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：V55000000比t=55(XX)(XXXXX)m,

55000000km=55000000000m=5.5xlO,om，

将55000000km用科学记数法表示为5.5xl(y°m.

故选：C.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.熟练掌握科学记数法的表示形式并正确确定a及"的值是解题的

关键.

3.如图所示的几何体的俯视图是()

【3题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案.

【详解】从上面看得到的图形是匚江匚

故选D

【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握从上边看得到的图形是俯视图是关键.

4.如图，AB是。。的直径，点E、C在。。上，点4是弧EC的中点，过点A画。。的切线，交的延长

线于点。，连接EC.若NAO8=58.5。，则NACE的度数为（）

A.29.5°B.31.5°C.58.5°D.63°

【4题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据切线的性质可得根据直角三角形的性质可求根据圆周角定理可得NACB=90。，

继而求得NBAC,根据垂径定理得到B4LEC,继而即可求解.

【详解】解：是。。的切线，

J.BAVAD,

'：ZADB=58.5°,

：.ZB=90°-ZADB=3>].5°,

是。。的直径，

ZACB=90°,

ZBAC=90°-ZB=58.5°,

:点A是弧EC中点，

：.BALEC,

：.ZAC£=90°-NR4c=31.5°,

故选：B

【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理，解题的关键是熟练掌握圆的切线定理，圆周角定

理、垂径定理.

5.如图，若AABC与AA4G是位似图形，则位似中心的坐标是（）

C.(0,-1)D.(0,1)

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据位似中心的定义，连接位似图形的对应点，交点即为位似中心.

【详解】解：连接cc,B|B,AlA并延长，交点P即为所求，由图可知：位似中心的坐标是：（0,-1）,

故选：C.

【点睛】此题考查的是位似图形及位似中心的定义，掌握位似中心的确定方法：位似图形的各个对应点连

线的交点即为位似中心是解决此题的关键.

6.已知二次函数,=依2+必+或。/0）,图像上部分点的坐标（x,y）的对应值如下表所示，则方程

*+区+1.37=0的根是（）

X0V54

y0.37-10.37

A.0或4B.6或4-逐C.1或5D.无实根

【6题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】利用抛物线经过点（0,0.37）得到c=0.37,根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线户2,

抛物线经过点（6,-1）,由于方程以2+瓜+1.37=0变形为数2+法+037=1,则方程以2+以+].37=0的根理

解为函数值为-1所对应的自变量的值，所以方程以2+法+1.37=0的根为==4-右.

【详解】解：由抛物线经过点（0,0.37）得到c=0.37,

•抛物线经过点（0,0.37）、（4,0.37）,

...抛物线的对称轴为直线m2,

•••抛物线经过点（逐，-1）,关于抛物线的对称轴对称的点的横坐标为2-（75-2）=4-6

抛物线经过点（4->/5,-1）,

•.•二次函数解析式为y=ax1+bx+Q31,

/,方程加+法+1.37=0变形为以2+法+O.37=-1,

...方程加+法+0.37=-1的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，

方程ar2+/?x+1.37=0的根为xi=6，X2=4-下,

故选:B.

【点睛】本题考查了抛物线与无轴的交点问题，二次函数的性质，解题的关键是把求二次函数产以2+6尤+C

（a,h,c是常数，存0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.

4+/?+C

7.二次函数丁=以2+〃工+。的图象如图所示，则一次函数y=法+/-4。。与反比例函数y=~-------在

x

同一坐标系内的图象大致为（）

Y.

-1\\o11~

司。'B.C.

—

【7题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据抛物线的图像，判断出。，b2-4ac,a+8+C的符号，从而确定一次函数、反比例函数的图

像的位置即可.

【详解】解：由抛物线的图像可知：横坐标为1的点,即(1,a+h+c)在第四象限，因此a+/?+c<0；

〃+/?+C

双曲线y=------的图像分布在二、四象限；

X

由于抛物线开口向上，二。〉。，

h

•••对称轴为直线％=——

2a

•..抛物线与x轴有两个交点，，62一4讹、>0；

...直线,=/^+82—4。。经过一、二、四象限；

故选：D.

【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数以及反比例函数的图象与解析式的系数关系，熟练掌握函数解

析式的系数对图像的影响，是解题的关键.

8.如图，已知E是正方形ABC。中AB边延长线上一点，且AB=BE,连接CE、DE,DE与BC交于点、N,

F是CE的中点，连接AF交BC于点M,连接BF.有如下结论：①DN=EN；@AABF-△£€£＞；③tan/C£»E=

A.①②③④B.①②③C.①③④D.①②④

【8题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】证明根据相似三角形的性质列出比例式，得到。N=EN,判断①；根据两边对应

成比例、夹角相等的两个三角形相似判断②；FG_LAE于G,根据等腰直角三角形的性质、正切的定义求出

tanZMG,根据相似三角形的性质判断③；根据三角形的面积公式计算，判断④.

【详解】解：•••四边形ABC。为正方形，AB=BE,

:.AB=CD=BE,AB//CD,

:.△NCDs^NBE,

NDCD,

..——=—=1,

NEBE

:.DN=EN,故①结论正确；

VZCBE=90a,BC=BE,尸是CE的中点，

i5

AZBCE=45°,BF=—CE=—BE,FB=FE,BFA.EC,

22

；・NDCE=90°+45°=135。,ZFBE=45°,

/.ZABF=135°,

・・・NABF=NECD,

..DC_金BFy/2

•----，-------------，

CE2AB2

•D^=BF_

••而一茄’

：.4ABFs^ECD,故②结论正确；

作FG_LAE于G,则FG=BG=GE,

FG_1

AG-3'

FG1

・・tanNFAG------二—,

AG3

/\ABF^/\ECD9

1・NCED=NFAG,

tanZCED=g,故③结论正确；

1

VtanZMG=-,

3

.BM1

••-------=-f

AB3

.BM1

••----=一,

MC2

・0_1c

2

・・,尸是CE的中点，

••S^FBC-SAFBE，

二・S四边形BEFM=2S&CMF,故④结论正确，

故选：A.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，正方形的性质，解直角三角形，三

角形的面积计算，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理、三角形的面积公式.

二、填空题(本题满分18分，共有6道小题，每小题3分)

9.计算：^/48-tan60°-?sin300-(-1)2022=.

【9题答案】

【答案】2百-1##-1+2百

【解析】

【分析】直接利用二次根式化简、特殊角的三角函数值、整数指数慕分别化简各项进而即可求解.

【详解】解：原式=屈一柩〃60°+5%30°—（—1广必

=4道-

2

=473-273-1

=2A/3-1

故答案为：2月一1.

【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是熟练实数的运算法则、二次根式化简、特殊角的三角函

数值、整数指数累.

10.一个不透明的盒子中装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出

一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验500次，其中有301次摸到白球，由此估

计盒子中的白球大约有一个.

【10题答案】

【答案】9

【解析】

【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为0.602,然后根据概率公式计算这个口袋中白球的

数量.

【详解】解：设盒子中的白球大约有x个，

x301

根据题意，得:7+6-500

解得户9,

经检验：x=9是分式方程的解，

所以盒子中白球的个数约为9个，

故答案为：9.

【点睛】此题主要考查概率公式的应用，解题的关键是根据题意列出分式方程求解.

11.2021年6月17日，中国第7艘载人航天飞船“神州12号”圆满发射成功，激励更多的年轻人投身航天

事业.现有甲、乙两名学员要进行招飞前的考核，按照4：3：2：1的比例确定成绩，甲、乙两人成绩（百

分制）如表：

候选人心理素质身体素质科学头脑应变能力

甲86858890

乙90828190

选择1名学员，最后应选

[11题答案】

【答案】甲

【解析】

【分析】根据加权平均数的计算公式先求出甲和乙的得分，再进行比较即可得出答案.

86x4+83x3+88x2+90x1

【详解】解：甲的成绩是:=86.5(分),

4+3+2+1

90x4+82x3+81x2+90x1

乙的成绩是:=85.8（分）,

4+3+2+1

V86.5>85.8,

最后应选甲，

故答案为：甲.

【点睛】本题主要考查平均数，解题的关键是熟练掌握算加权平均数的计算公式.

12.接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径.针对疫苗应急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生

产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工厂不能按时到厂.为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由

原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂.设该

厂当前参加生产的工人有x人，根据题意可列方程为：.

【12题答案】

1615

【答案】一/------=----

8(x+10)10x

【解析】

【分析】设当前参加生产的工人有x人，然后根据计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10

名工人不能按时到厂.为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人

每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂，列出方程即可.

【详解】解：设当前参加生产的工人有x人，

1615

依题意得：----777=771•

8(^+10)10x

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意，列出方程.

13.如图，以边长为6方cm的正六边形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的12条线段，过

截得的12端点作所在边的垂线，形成6个有两个直角的四边形.把它们沿图中虚线减掉，用剩下的纸板折

成一个底为正六边的无盖柱形盒子，则它的容积为cnP.

【分析】连接AC,可得OE,由“HL”求证Rtz^ABC三R2ADC,继而解直角三角形可得BC,根据六边形

的面积计算公式求得无盖柱形盒子的底面积，继而即可求解.

【详解】如图，连接AC,

由题意知:ZBAD=12OQ,

AB=AD=EF=4cm，AF=66cm>

Z)E=66-4-4=仅6-8'加，

VZABC=ZADC=90o,AC=AC,

：.Rt^ABC^Rt^ADC(HL),

:.BC=DC,ZBAC=ZDAC=—ZBAD=60°,

2

BC=DC=AB-tan60°=4x>5=(4>/3)cw,

由题意知：无盖柱形盒子的底面为以6G-8为边长的正六边形，

盖柱形盒子的容积为：(2586—432)x46=(3096—17286)cm\

故答案为：(3096—17286)

【点睛】本题考查正多边形，全等三角形的判定及其性质，正六边形的性质及其面积计算公式，解题的关

键是作辅助线求各关键边的长，灵活运用所需学知识.

14.实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所

剩的质量与时间成某种函数关系.上调为表示镭的放射规律的函数图像，据此可计算32mg镭缩减为1mg

所有的时间大约是年.

【14题答案】

【答案】8100

【解析】

【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，即可求解.

【详解】解：由图象可知,

1620年时，镭质量缩减为原来的工，

2

经过1620年，即3240年时，镭质量缩减为原来的(=以,

经过1620x2=3240年，即4860年时，镭质量缩减为原来的，=*,

经过1620x3=486()年，即6480年时，镭质量缩减为原来的,,

1624

经过1620x4=648()年，即8100年时，镭质量缩减为原来的,

3225

此时，*x32»ig=l，"g,

故答案为：8100.

【点睛】本题考查函数图象，规律探索问题，解题的关键是找出物质所剩的质量与时间的规律.

三、作图题(本题满分4分)

15.已知：Zee,线段〃.

求作：矩形A8C。，使对角线的长为m夹角为

【15题答案】

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据矩形的性质及线段、角及线段中点的作图方法作图即可.

【详解】作法：

①作直线MN与PQ交于点。，使ZQON=Z«

②分别以线段。的两端G、”为圆心，以大于工。长度为半径画弧，两弧交于点E、F,连接EF,交线段a

2

于点KG=-a

2

③以点。为圆心，以工。长为半径画弧，分别交0"、OP、0N、0。与点A、B、C、D

2

④连接A、B、C、D

则四边形A3CZ）即为所求作的矩形.

【点睛】本题考查了线段的作图、角的尺规作图以及矩形的性质，熟练掌握作图的步骤以及矩形的性质是

解题的关键.

四、解答题

16.计算

ci~-1a+1ci

(1)化简:---------------------:--------------1------------

Q.-2。+1CI—1CI—1

—(x+1)W2

(2)解不等式组,2_,并求出不等式组的整数解之和.

x+2x+3

---->----

I23

【16题答案】

2a-1

【答案】(1)丝」

a-\

(2)原不等式组的解集为0<xK3,不等式组的整数解之和为6.

【解析】

【分析】(1)先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再约分，然后通分后进行同分母的加法运

算；

(2)分别解两个不等式得到后3和x>0,利用大小小大中间找确定不等式组的解集为0V区3,则可确定不

等式的整数解，然后求它们的和即可.

【小问1详解】

一(a+1)(。-1)a—1ci

原式।

(a-l)-a+\a-\

ci—1

2a-]

~a-\

小问2详解】

-(x+l)<20

,2

士q②

l23

解①得x<3

解②得x>0

所以，原不等式组的解集为0<xK3

所以，其整数解有1,2,3

它们的和为1+2+3=6

【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特

点，运用乘法的运算律进行灵活运算；也考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤是解题

的关键.

18.甲乙两人用下面两个可以自由转动的转盘做游戏,4转盘被分成如图所示的三份，并分别标有数字1,2,

-3；B转盘被等分成三份，分别标有数字-1,-2,3.甲乙两人同时转动转盘，当转盘停止转动时，指针

所指的数字之差的绝对值大于2,则甲胜；指针所指的数字之差的绝对值小于2.则乙胜.请问，这个游戏

【18题答案】

【答案】不公平，理由见解析

【解析】

【分析】用列举法表示出所有可能的结果，利用数字之差的绝对值大于2,和数字之差的绝对值小于2的情

况各有多少种，进而计算该事件发生的概率，从而得出是否公平；

【详解】解：每次游戏可能出现的所有结果列表如下：

B

-1-23

A

1232

2341

-3216

-3216

从表中看出：共有12种等可能的结果，其中数字之差绝对值大于2的有5利数字之差的绝对值小于2的

有3种,

，甲获胜的概率p=a

12

31

乙获胜的概率P=3=-

124

•••二人获胜的概率不相等，

因此游戏不公平

【点睛】此题考查了概率的应用.求某件事件发生的概率，必须先把所有可能的结果列举出来，然后再求

概率；游戏是否公平，就是判断事件发生的概率是否相等.

19.为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动.志愿者随机

抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分

数据和不完整的统计图表：

方便筷使用数量在515范围内的数据：

5,7,12,9,10,12,8,8,10,11,6,9,13,6,12,8,7.

不完整的统计图表：

方便筷使用数量统计表

组别使用数量（双）频数

A04<514

B5<x<10

C10<%<15

D15<x<20a

Ex>2010

50

方便筷使用数量占比统计图

请结合以上信息回答下列问题：

(1)统计表中的a=；

(2)统计图中E组对应扇形的圆心角为度；

(3)C组数据的众数是；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是；

(4)根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数.

【19题答案】

【答案】(1)9；(2)72；(3)12,10；(4)该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数

为760名.

【解析】

【分析】(1)根据扇形统计图可知。组所占百分比，然后问题可求解；

(2)由统计表可得E组人数为10人，然后可得E组所占的百分比，然后问题可求解；

(3)由题意可把在5«x<15范围内的数据从小到大排列，进而可得C组数据的众数及中位数；

(4)根据题意可得50名被调查人中不少于15双的人数所占的百分比，然后问题可求解.

【详解】解：(1)由统计图可得：a=50xl8%=9；

故答案为9；

(2)由统计图可得E组对应扇形的圆心角为360°xW=72°；

50

故答案为72；

(3)由题意可把在5Wx<15范围内的数据从小到大排列为：5、6、6、7、7、8、8、8、9、9、10、10、

11、12、12、12、13；

...在。组(10Wx<15)数据的众数是12;

调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是第25和第26名的平均数，即为=10；

2

故答案为12,1()；

(4)由题意得：

2000x^^=760（名）；

50

答：该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760名.

【点睛】本题主要考查中位数、众数及扇形统计图，熟练掌握中位数、众数及扇形统计图是解题的关键.

20.如图，小王站在河岸上的G点，看见河里有一小船垂直于岸边的方向划过来.此时，测得小船C的俯

角是NFQC=30。，若小王的眼睛与地面的距离是1.6米，8G=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i=4：

3,坡长AB=10米，点A、B、C、D、F、G在同一平面内，求小船C到岸边的距离CA的长.（结果保留根

号）

【20题答案】

【答案】CA长是9.66-7

【解析】

【分析】过点B作BELAC于点E,延长QG交C4于点H,,则AB和CQ都为直角三角形的斜边，利用坡

度和勾股定理易得点B和点。到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度，即为AC

长度.

【详解】解：过点8作8ELAC于点E,延长OG交CA于点”，得RfZXABE和矩形BE4G,

；.tanNBAE=i=BE：AE=4：3,

：.sinZBAE=BE：AB=4：5,

VAB=10,

：.BE=8,AE=6,

；・GH=BE=8,

VDG=1.6,BG=EH=1,

JDH=DG+GH=1.6+8=9.6,AH=AE+EH=6^-1=7.

在对△CDH中，

VZC=ZFDC=30°,DH=9.6,tan300=D//：C/7=—,

3

:.CH=96B

y.'：CH=CA+AH=CA+7,

即9.68=CA+1,

.••。=9.6斤7（米）.

【点睛】本题考查了俯角与坡度的知识，解直角三角形，解题的关键是构造所给坡度和所给锐角所在的直

角三角形，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度.

m

21.如图，直线y=fcr+3与x轴、y轴分别交于点8、C,与反比例函数y=一交于点A、D,过。做OELx

X

轴于E,连接。4,OD,若A（-2,〃），S^OAB-SAOOE=1：2.

（1）求反比例函数的表达式；

【答案】（1）y=-一，（2）点C（2,0）.

x

【解析】

【分析X1）根据题意求出点B,继而求得SAODE=6,再设。（邪,加）可列得SAODE=；・%・（—%）=~xDyn,

整理即可求解;

(2)根据题意求得A(-2,6),将点A代入直线y="+3易得直线解析式，令y=。，即可求解点。坐标.

【详解】(1)•直线y=fcr+3与x轴、y轴分别交于点3、C,

当x=0,y=3,

即B(0,3),

VA(-2,办

S/\OAB二—x3x2=3,

2

VSAOAB：S^ODE=1：2.

:・SM)DE=6,

m

・・,点。在反比例函数丁二一图象上，

x

则设。(XD,加)，

1ZX1

..SAOD£=--XD*(-yD)=_],/%，

m/

----6

2

m=­12，

12

••y=-----,

x

12

(2)•.•点A(-2,”)在反比例函数y=——图象上,

X

12工

・・〃=------=6,

-2

即A(-2,6),

将点A代入直线>=丘+3,得：6=—2Z+3,

3

解得：k=——,

2

3

y=—x+3,

-2

3

当y=0时，0=——无+3,

2

x=2

即点C(2,0)

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的特点，利用数形

结合的思想.

22.已知：如图，在平行四边形A8C。中，E、F分别为A8、8的中点，G、〃分别为DE、BF的中点.

(1)试判断四边形EHFG的形状，并证明；

(2)若NABC=90°,试判断四边形EHFG的形状并加以并证明.

【22题答案】

【答案】(1)见解析；(2)见解析.

【解析】

【分析】(1)根据平行四边形的性质可得A8//OC,AB=DC,由E、F分别为A3、8的中点，可得BE//DF,

BE=DF,根据平行四边形的判定可得四边形BEDF是平行四边形，继而可得BF//EQ,BF=ED,又因为G、

“分别为OE、B尸的中点，继而可得EG〃HF,EG=HF,根据平行四边形的性质可得四边形EHGF是平行四

边形.

(2)连接EF,由N48C=90。，可得平行四边形4BC。是矩形，由E、尸分别为A3、C。的中点，可证BE〃/C,

EF=FC,继而可证四边形BEFC是平行四边形，可证E/7/BC,可得N8EF=90。，由点”是B尸的中点，可

得E"是直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EH=HF,继而可证

平行四边形E//GF是菱形.

【详解】(1)解：因为平行四边形ABCZ),

所以A8//DC,AB=DC,

因为E、F分别为43、C。的中点，

BE//DF,BE=DF,

所以四边形8E£＞尸平行四边形，

所以BF//ED,BF=ED,

又因为G