山东省潍坊市中考数学模拟测试卷【含解析】

2021年山东省潍坊市中考数学模拟测试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项

正确的，请把正确的选项选出来，每题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均

记0分）

1.（3分）2021的倒数的相反数是（）

A.-2021B.-二一C.-1—D.2021

20192019

2.13分）以下运算正确的选项是（）

A.3〃X2〃=6。B.a8-r«4=a2

D.(L')2=，9

C.-3=3-3〃

39

3.13分）“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水平安稳固提升工程.截止去年9月底

各地已累计完成投资1.002X10”元.数据1.002XI0”可以表示为（）

A.10.02亿B.100.2亿C.1002亿D.10020亿

4.（3分）如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体.将小正方体①移走后，那么

关于新几何体的三视图描述正确的选项是（）

A.俯视图不变，左视图不变

B.主视图改变，左视图改变

C.俯视图不变，主视图不变

D.主视图改变，俯视图改变

5.13分）利用教材中时计算器依次按键下:

那么计算器显示的结果与以下各数中最接近的一个是（）

A.2.5B.2.6C.2.8D.2.9

6.（3分）以下因式分解正确的选项是（）

A.3at2-6“x=3(ax1-2ax)B./+y2=(-x+y)(-x-y)

C.(^+2ab-4fe2=(a+2/2D.-ax^+2ax-a=-a(x-1)2

7.（3分）小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下:

成绩（分）94959798100

周数（个）12241

这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（

A.97.52.8B.97.53

C.972.8D.973

8.（3分）如图，ZAOB.按照以下步骤作图：

①以点0为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交NAOB的两边于C,D两点，连接

CD.

②分别以点C,。为圆心，以大于线段。C的长为半径作弧，两弧在/AOB内交于点E,

连接CE,DE.

③连接OE交CD于点M.

以下结论中错误的选项是（）

A.NCEO=NDEOB.CM=MD

C.ZOCD=ZECDD.SWHLKOCED=—CD,OE

2

9.（3分）如图，在矩形ABC。中，AB=2,BC=3,动点P沿折线8c。从点B开始运动

到点D设运动的路程为x,△AOP的面积为》那么y与x之间的函数关系的图象大致

是（）

B

10.（3分）关于x的一元二次方程7+2以叶团2+机=0的两个实数根的平方和为12,那么m

的值为（）

A.m=-2B.m=3C.机=3或机=-2D.m=-3或机=2

11.13分）如图，四边形A8CQ内接于。。，AB为直径，AD=CD,过点。作。ELAB于

点E,连接AC交CE于点F.假设sinNC4B=旦，DF=5,那么BC的长为（）

A.8B.10C.12D.16

12.13分）抛物线y=W+6x+3的对称轴为直线x=l.假设关于x的一元二次方程，+fct+3

7=0（，为实数）在-l<x<4的范围内有实数根，那么/的取值范围是（）

A.2WfVllB.后2C.6</<11D.2W/V6

二、填空题（此题共6小题，总分值18分。只要求填写最后结果，每题填对得3分。）

13.（3分）假设2'=3,2>,=5,那么29'=.

14.（3分）当直线y=（2-2k）x+k-3经过第二、三、四象限时，那么k的取值范围是.

15.〔3分）如图，Rt^AOB中，乙408=90°,顶点A,B分别在反比例函数>=工（x>0）

X

与>=二2（x<0）的图象上，那么tan/8Ao的值为.

X

16.（3分）如图，在矩形ABC。中，40=2.将/A向内翻折，点A落在BC上，记为4',

折痕为。£假设将NB沿E4'向内翻折，点B恰好落在。E上，记为8',那么48

17.（3分）如图，直线y=x+l与抛物线y=7-4x+5交于A,B两点,点尸是y轴上的一

18.（3分）如下图，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点0,它们的

半径分别为1,2,3,…，按照“加1”依次递增；一组平行线，lo,1\,12,/3,…都与

x轴垂直，相邻两直线的间距为1,其中/o与y轴重合.假设半径为2的圆与/|在第一象

限内交于点P1,半径为3的圆与/2在第一象限内交于点尸2,…，半径为”+1的圆与/“

在第一象限内交于点分，那么点办的坐标为.5为正整数）

>'A

三、解答题（此题共7小题，共66分。解容许写出文字说明、证明过程或推演步骤。）

19.15分）关于X,y的二元一次方程组［2x-3y=5的解满足、＞y,求4的取值范围.

Ix-2y=k

20.（6分）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众

步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜

坡AB=200米，坡度为1：y；将斜坡A8的高度4E降低AC=20米后，斜坡A8改造

为斜坡8,其坡度为1：4.求斜坡CZ）的长.（结果保存根号）

图1

21.（9分）如下图，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标

有对应的数字2,3,4,5.小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一次停

（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均

数不小于3.3,且不大于3.5"的结果？假设有可能，计算发生此结果的概率，并写出计

算过程；假设不可能，说明理由.（指针指向盘面等分线时为无效转次.）

2

LpA

22.(10分)如图，正方形A8C£>的边CD在正方形ECG尸的边CE上，连接。G,过点A

作A//〃。G,交BG于点H.连接HF,AF,其中A尸交EC于点M.

(1)求证：△AHF为等腰直角三角形.

(2)假设AB=3,EC=5,求EM的长.

23.(10分)扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市

场.与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降

低了1元，批发销售总额比去年增加了20%.

(1)去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多

少元？

(2)某水果店从果农处直接批发，专营这种水果.调查发现，假设每千克的平均销售价

为41元，那么每天可售出300千克；假设每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖

出180千克，设水果店一天的利润为卬元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果

店一天的利润最大，最大利润是多少？(利润计算时，其它费用忽略不计.)

24.113分)如图1,菱形A8CZ)的顶点A,。在直线上，ZBAD=60°,以点A为旋转中

心将菱形4BCO顺时针旋转a(0°<a<30°),得到菱形48,CD',B'C交对角

线AC于点M,CD'交直线/于点N,连接MN.

(1)当MN//B'D'时，求a的大小.

(2)如图2,对角线8'D'交AC于点H,交直线/与点G,延长C'B'交A8于点E,

连接EH.当的周长为2时，求菱形ABCD的周长.

25.(13分)如图，在平面直角坐标系wy中，。为坐标原点，点A[4,0),点B(0,4),

△AB。的中线AC与y轴交于点C,且。M经过O,A,C三点.

(1)求圆心M的坐标；

(2)假设直线4。与OM相切于点A,交y轴于点。，求直线4。的函数表达式；

(3)在过点8且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P,过点尸作PE〃y轴，交直线

AO于点E.假设以PE为半径的OP与直线4。相交于另一点E当EF=4泥时，求点

2021年山东省潍坊市中考数学模拟测试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共12小题，共36分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项

正确的，请把正确的选项选出来，每题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均

记0分)

1.(3分)2021的倒数的相反数是()

11

A.-2021B.-C.D.2021

20192019

【分析】先求2021的倒数，再求倒数的相反数即可；

【解答】解：2021的倒数是」―，再求二^的相反数为-二_；

201920192019

应选:B.

【点评】此题考查倒数和相反数；熟练掌握倒数和相反数的求法是解题的关键.

2.(3分)以下运算正确的选项是()

A.3a乂2a=6aB.«8-=-a4=a2

C.-3(a-1)=3-3〃D.(Xa3)2=Xa9

39

【分析】根据单项式乘法法那么，同底数幕的除法的性质，去括号法那么，积的乘方的

性质，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：A、3ax2a=6/,故本选项错误;

B、a8^a4=a4,故本选项错误；

C>-3-1)=3-3a,正确；

D、(L?)2=[6,故本选项错误.

39

应选：C.

【点评】此题考查了单项式乘法法那么，同底数幕的除法的性质，去括号法那么，积的

乘方的性质.熟练掌握法那么是解题的关键.

3.〔3分)“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水平安稳固提升工程.截止去年9月底,

各地已累计完成投资1002X1011元.数据1.002X10”可以表示为()

A.10.02亿B.100.2亿C.1002亿D.10020亿

【分析】利用科学记数法的表示形式展开即可

【解答】解：

1.002X10"=l00200000000=1002E

应选：C.

【点评】此题主要考查科学记数法的展开，科学记数法是指把一个数表示成“X10的〃

次暴的形式（1^«<10,n为正整数.）

4.（3分）如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体.将小正方体①移走后，那么

关于新几何体的三视图描述正确的选项是（）

A.俯视图不变，左视图不变

B.主视图改变，左视图改变

C.俯视图不变，主视图不变

D.主视图改变，俯视图改变

【分析】利用结合体的形状，结合三视图可得出俯视图和左视图没有发生变化；

【解答】解：将正方体①移走后，

新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，俯视图和左视图没有发生改变；

应选:A.

【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是

解题关键.

5.13分）利用教材中时计算器依次按键下：

直QH

那么计算器显示的结果与以下各数中最接近的一个是（）

A.2.5B.2.6C.2.8D.2.9

【分析】利用计算器得到店的近似值即可作出判断.

【解答】解：V77^2.646,

与听最接近的是2.6,

应选：B.

【点评】此题主要考查计算器-根底知识，解题的关键是掌握计算器上常用按键的功能

和使用顺序.

6.（3分）以下因式分解正确的选项是（）

A.Sox2-60r=3(ax2-2ax)B./+)2=(-x+y)(-x-y)

22

C.J+2帅-4属=(a+2b)D.-axi+2ax-a=-a(x-1)

【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可.

【解答】解：A、3/-6以=3@（x-2）,故此选项错误；

B、/+）2,无法分解因式，故此选项错误；

C、J+2出,-4序，无法分解因式，故此选项错误；

D、-cv?+2ax-a--a（x-1）2,正确.

应选：D.

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.

7.（3分）小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下:

成绩（分）94959798100

周数（个）I2241

这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（

A.97.52.8B.97.53

C.972.8D.973

【分析】根据中位数和方差的定义计算可得.

【解答】解：这10个周的综合素质评价成绩的中位数是空阻=97.51分），

2

平均成绩为工X（94+95X2+97X2+98X4+100）=97（分），

10

这组数据的方差为」一X[（94-97）2+（95-97）2x2+（97-97）2X2+（98-97）2

10

X4+（100-97）2]=3（分2）,

应选:B.

【点评】此题主要考查中位数和方差，解题的关键是掌握中位数和方差的定义.

8.（3分）如图，ZAOB.按照以下步骤作图：

①以点。为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交NAO8的两边于C,D两点，连接

CD.

②分别以点C,。为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在N408内交于点E,

连接CE,DE.

③连接0E交于点M.

A.NCEO=NDEOB.CM=MD

C.NOCD=NECDD.S四边形OCED=LC7>OE

2

【分析】利用根本作图得出角平分线的作图，进而解答即可.

【解答】解：由作图步骤可得：0E是NA08的角平分线，

：.ZCEO=ZDEO,CM=MD,SKnKiocED=^-CD'OE,

2

但不能得出NOCE>=ZECD,

应选：C.

【点评】此题考查了作图-根本作图：熟练掌握5种根本作图（作一条线段等于线段；

作一个角等于角；作线段的垂直平分线；作角的角平分线；过一点作直线的垂线）.

9.13分）如图，在矩形A8CZ）中，AB=2,BC=3,动点P沿折线BCO从点B开始运动

到点。.设运动的路程为x,△AOP的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致

是（）

yt

C.卜D.r

【分析】由题意当0<xW3时，y=3,当3Vx<5时，y=—X3X(5-x)=-由

222

此即可判断.

【解答】解：由题意当0WxW3时，y=3,

当3cx<5时，y=lx3X(5-x)=-工+里

222

应选：D.

【点评】此题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论是扇

形思考问题，属于中考常考题型.

10.(3分)关于x的一元二次方程/+2尔+"2+机=。的两个实数根的平方和为12,那么〃?

的值为()

A.m=一2B.m=3C.m=3或6=-2D.〃？=-3或m=2

【分析】设XI，X2是7+2加汁加2+加=0的两个实数根，由根与系数的关系得用+五2=-2m,

X\*X2=ir^+m,再由X12+X22=(为+X2)2-2xi，X2代入即可；

【解答】解：设XI，X2是/+23+〃?2+m=0的两个实数根，

・•・△=-4/心0,

x\+X2—~2m,xi*X2="f+m，

.\x\2+x?2=(X\+X2)2-2XI，X2=4m2-2m2-2m=2nr-2m=12,

/.m=3或tn=-2；

・\〃2=-2；

应选：A.

【点评】此题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公

式是解题的关键.

11.13分)如图，四边形ABCD内接于。0,A5为直径，AD=CDf过点。作。ELA3于

点、E,连接AC交OE于点F.假设sinNC4B=W,DF=5,那么BC的长为()

D

AEOQ

A.8B.10C.12D.16

【分析】连接3。，如图，先利用圆周角定理证明NAOE=ND4C得到FO=E1=5,再

根据正弦的定义计算出口=3,那么AE=4,DE=8,接着证明利用相

似比得至ljBE=16,所以A8=20,然后在中利用正弦定义计算出BC的长.

【解答】解：连接80,如图，

VAB为直径,

AZADB=Z4CB=90°,

■:AD=CD,

工NDAC=NDCA,

而/。。1=乙钻。，

・・・ZDAC=ZABD,

DEI.AB,

・・・NA8O+NBOE=90°,

而NAZ)E+N3OE=90°,

・•・ZABD=/ADE,

I.ZADE=ZDACf

：.FD=FA=5,

在RtZ\AEF中，VsinZCAB=^L=2,

AF5

:.EF=3,

；・AE={$2s2=4,DE—5+3=8,

,?ZADE=/DBE,ZAED=/BED,

：.AADESADBE,

:,DE：BE=AE：DE,即8：BE=4：8,

：.BE=16f

・・・AB=4+16=20,

在RtZ\ABC中，•.飞山/。48=里=旦,

AB5

.*.BC=20X2=12.

5

应选：C.

【点评】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆［或直径）所对的圆周角是直角，90°的

圆周角所对的弦是直径.也考查了解直角三角形.

12.（3分）抛物线y=/+fev+3的对称轴为直线x=l.假设关于x的一元二次方程/+次+3

-r=0（，为实数）在-l<x<4的范围内有实数根，那么r的取值范围是（）

A.20C11B.后2C.6<?<11D.20V6

【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为-2x+3,将一元二次方程/+灰+3-t

=0的实数根可以看做y=f-2x+3与函数y=f的有交点，再由-1Vx<4的范围确定y

的取值范围即可求解；

【解答】解：•.5=7+公+3的对称轴为直线x=l,

:.b=-2,

-2x+3,

一元二次方程W+bx+37=0的实数根可以看做y=/-2x+3与函数y=r的有交点，

•方程在-l<x<4的范围内有实数根，

当x=-1时，y=6；

当x=4时，y=ll；

函数y=，-2x+3在x=l时有最小值2；

，2Wy11；

应选：A.

【点评】此题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与

直线的交点问题，借助数形结合解题是关键.

二、填空题（此题共6小题，总分值18分。只要求填写最后结果，每题填对得3分。）

13.(3分)假设2*=3,2>'=5,那么2+=15.

【分析】由2、=3,2>'=5,根据同底数幕的乘法可得2计、'=2八2>，继而可求得答案.

【解答】解：•••2工=3,2y=5,

...2x+y=2"=3X5=15.

故答案为：15.

【点评】此题考查了同底数帮的乘法.此题比拟简单，注意掌握公式的逆运算.

14.(3分)当直线y=(2-2%)x+A-3经过第二、三、四象限时，那么左的取值范围是」

VY3.

【分析】根据一次函数y=h+6,&<0,6<0时图象经过第二、三、四象限，可得2-2«

<0,k-3<0,即可求解；

【解答】解：y=(2-2k)x+A-3经过第二、三、四象限，

：.2-2k<0,k-3<0,

：.k>\,k<3,

：.l<k<3i

故答案为

【点评】此题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数y=fcv+6,上与6对函数图

象的影响是解题的关键.

15.(3分)如图，Rt/XAOB中，ZAOB=90°,顶点A,B分别在反比例函数y=L(x>0)

X

与>=二^(x<0)的图象上，那么tan/8Ao的值为_近一

【分析】过A作ACLx轴，过B作BZJLx轴于。，于是得到/8OO=/ACO=90°,根

s

据反比例函数的性质得到SABOO=$，SAAOC=L，根据相似三角形的性质得到△BOD=

22SA0AC

5_

(0B)2=^_=5(求得丝=泥，根据三角函数的定义即可得到结论.

OAL0A

2

【解答】解：过A作4cLr轴，过8作轴于。，

那么NBQO=NACO=90°,

•.•顶点A,8分别在反比例函数y=L(x>0)与、=二»(x<0)的图象上,

XX

._5_1

S/\BDO=—，S\AOC=—，

22

VZAOB=90Q,

,ZBOD+ZDBO=ZBOD+ZAOC=9O0,

:・NDBO=NAOC,

:ABDOsAoCA,

5_

S^BOD=理)2=2=5,

2△OAC°AL

2

OA

tanZBAO=^-=-J^,

OA

故答案为：A/5-

【点评】此题考查/相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性

质.解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法.

16.（3分）如图，在矩形48C。中，AO=2.将/A向内翻折，点A落在BC上，记为A',

折痕为DE.假设将乙8沿EA'向内翻折，点8恰好落在。E上，记为"，那么AB=

V3_.

【分析】利用矩形的性质，证明/4。£'=乙4，。£=乙47）。=30°,ZC=ZA'B'D=90°,

推出△OB'A'丝△OCA,CD=B'D,设AB=QC=x,在RtzXAQE中，通过勾股定理可求

出AB的长度.

【解答】解：•.•四边形A8CO为矩形，

AZADC=ZC=ZB=90°,AB=DC,

由翻折知，△AEDgZ\A'E£>,△A'BE咨△A'B'E,ZA'B'E=ZB=ZA'B'D=90°,

：.ZAED^ZA'ED,NA，EB=NA'EB',BE=B'E,

：.ZAED=ZA'ED=ZA'EB=kx180°=60°,

3

ZADE=90°-Z>4ED=30°,/AOE=90°-ZA'EB'=30°,

，ZADE=ZA'DE=ZA'DC=30°,

又,.•NC=NA'B'Q=90°,DA'=DA',

：./\DB'A'^/\DCA'（A4S）,

：.DC=DB',

在RtZVIE。中，

ZA£>E=30°,A£>=2,

."E=3=2立'

M3

设AB=DC=x,那么BE=B'E=x-

3

VAE2+AD2=DE2,

...（2/1）2+22=（x+x-ZS）2,

33

解得，Xl=二区（负值舍去），X2=J5，

3

故答案为：V3.

【点评】此题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明

ZAED=ZA'ED=ZA'£B=60°.

17.（3分）如图，直线y=x+l与抛物线y=f-4x+5交于A,B两点，点尸是y轴上的一

个动点，当的周长最小时，S△出B=丝

-5'

【分析】根据轴对称，可以求得使得△以8的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到

直线AB的距离和AB的长度，即可求得△以B的面积，此题得以解决.

【解答】解：yv=x+1，

y=x2-4x+5

解得，（x=l或（x=4,

1y=2Iy=5

...点A的坐标为（1,2）,点B的坐标为（4,5）,

'AB=yl（5-2）2+（-1）2=3加,

作点A关于y轴的对称点A',连接4'8与y轴的交于P,那么此时△以8的周长最小,

点A'的坐标为（-1,2）,点B的坐标为（4,5）,

设直线A'B的函数解析式为y=kx+b,

(-k+b=2

I4k+b=5

.••直线A'B的函数解析式为产务+股,

55

当x=0时，y=也，

即点P的坐标为（0,"）,

5

将x=0代入直线y=x+l中，得y=l,

:直线y=x+l与y轴的夹角是45°,

；•点P到直线AB的距离是：1）Xsin45°=&x返=2返，

5525

【点评】此题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称-最短路径问题，解答此

题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

18.（3分）如下图，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O,它们的

半径分别为1,2,3,…，按照“加1〃依次递增；一组平行线，10,/1./2,如…都与

x轴垂直，相邻两直线的间距为1,其中/（）与y轴重合.假设半径为2的圆与/1在第一象

限内交于点P1，半径为3的圆与/2在第一象限内交于点P2,…,半径为〃+1的圆与In

在第一象限内交于点P”，那么点P”的坐标为扃4）.5为正整数）

【分析】连op,OP2,。尸3,八、3/3与X轴分别交于4、42、A3,在Rt/\O4P1中，

0A\=\,0P\=2,由勾股定理得出4P=Jop[2_04[2=«,同理：A2P2=遥，A3P3

=J7，...,得出Pl的坐标为（1,巡），P2的坐标为（2,泥），P3的坐标为（3,

6），……，得出规律，即可得出结果.

【解答】解：连接0P1,0P2,0P3,/|、/2、/3与X轴分别交于4、42、A3，如下图:

在RtZiOAiPi中，OAi=l,OPi=2,

=40F/_UR产正_12=«,

同理：A2P2=q§2―於二爬,A3P3={42_32=J7,...,

；.P1的坐标为（1,、/5）,P2的坐标为（2,遥），P3的坐标为（3,V7）>

…按照此规律可得点尸”的坐标是（〃，V（n+1）2-n2J,即亚而）

【点评】此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了勾股定理；

由题意得出规律是解题的关键.

三、解答题（此题共7小题，共66分。解容许写出文字说明、证明过程或推演步骤。）

19.（5分）关于x,y的二元一次方程组［2x-3y=5的解满足x>y,求4的取值范围.

Ix-2y=k

【分析】先用加减法求得x-y的值（用含&的式子表示），然后再列不等式求解即可.

【解答】解：（2x-3尸p

1x-2y=k②

①-②得：x-y=5-k,

Vx>y,

-y>0.

：.5-k>Q.

解得：Y5.

【点评】此题主要考查的是二元一次方程组的解，求得x-y的值（用含2的式子表示）

是解题的关键.

20.（6分）自开展“全民健身运动〃以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众

步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜

【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得4E的长，进而得到CE的长，再根据锐角三

角函数可以得到ED的长，最后用勾股定理即可求得CD的长.

【解答】解：•••/AEB=90°,A8=200,坡度为1：

；.tan/ABE=1=炎,

M3

：.ZABE=30°,

:.AE=1AB=\OO,

2

；AC=20,

.•.CE=80,

VZCED=90°,斜坡CO的坡度为1：4,

•CEA,

,,布若，

即挺I』，

ED-4

解得，ED=320,

:©)=个8。2+32。2=米，

答：斜坡CD的长是8ovr?米.

【点评】此题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答此题的关键是明确题意，

利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.

21.(9分)如下图，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标

有对应的数字2,3,4,5.小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一次停

止后，小明将指针所指数字记录如下：

(1)求前8次的指针所指数字的平均数.

(2)小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均

数不小于3.3,且不大于3.5"的结果？假设有可能，计算发生此结果的概率，并写出计

算过程；假设不可能，说明理由指针指向盘面等分线时为无效转次.)

【分析】(1)根据平均数的定义求解可得；

(2)由这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3,且不大于3.5知后两次指正所指数

字和要满足不小于5且不大于7,再画树状图求解可得.

【解答】解：［1)前8次的指针所指数字的平均数为Lx口+5+2+3+3+4+3+5)=3.5；

8

(2)：这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3,且不大于3.5,

二后两次指正所指数字和要满足不小于5且不大于7,

画树状图如下：

2345

挑小AA

2345245323542345

由树状图知共有16种等可能结果，其中符合条件的有9种结果，

所以此结果的概率为"一

16

【点评】此题考查的是利用树状图求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

22.110分)如图，正方形ABC。的边C£)在正方形ECG尸的边CE上，连接OG,过点A

作4;〃。G,交BG于点H.连接HF,AF,其中A尸交EC于点

(1)求证：△AHF为等腰直角三角形.

(2)假设A8=3,EC=5,求EM的长.

E

【分析】(1)通过证明四边形是平行四边形，可得4〃=£>G,AD=HG=CDf由

“SAS〃可证△OCGZ/XHGR可得OG="/，ZHFG=4HGD,可证A”l_"/，AH=

HF,即可得结论；

(2)由题意可得OE=2,由平行线分线段成比例可得理=旦匕金，即可求EM的长.

DMAD3

【解答】证明：(1)•••四功形ABC。，四边形ECGF都是正方形

：.DA//BC,AD=CD,FG=CG,NB=NCGF=90°

,JAD//BC,AH//DG

四边形4”GO是平行四边形

：.AH=DG,AD=HG=CD

,:CD=HG,NECG=NCGF=90°,FG=CG

:.△DCGmAHGF(SAS)

：.DG=HF,NHFG=NHGD

：.AH=HF,

'：NHGD+NDGF=90°

：.ZHFG+ZDGF^90a

：.DGLHF,且AH〃OG

：.AH±HF,S.AH=HF

••.△?!///为等腰直角三角形.

(2),：AB=3,EC=5,

：.AD=CD=3,DE=2,EF=5

"：AD//EF

AEM=EF__5_f且。E=2

DMAD~3

4

【点评】此题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性

质，平行线分线段成比例等知识点，灵活运用这些知识进行推理是此题的关键.

23.(10分)扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市

场.与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降

低了1元，批发销售总额比去年增加了20%.

(1)去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多

少元？

(2)某水果店从果农处直接批发，专营这种水果.调查发现，假设每千克的平均销售价

为41元，那么每天可售出300千克；假设每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖

出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果

店一天的利润最大，最大利润是多少？(利润计算时，其它费用忽略不计.)

【分析】(1)由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为10

(1+20%)=12万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，那么去年的批发价

为5+1)元，可列出方程：120000」00000=]000,求得X即可

xx+1

(2)根据总利润=(售价-本钱)X数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大

值.

【解答】解：

(1)由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，那么去年的批发价为5+1)

元

今年的批发销售总额为10(1+20%)=12万元

•120000100000

---------------n-=iooo

xx+l

整理得x2-19%-120=0

解得x=24或x=-5(不合题意，舍去)

故这种水果今年每千克的平均批发价是24元.

(2)设每千克的平均售价为加元，依题意

由(1)知平均批发价为24元，那么有

卬=加-24)(乳力X180+300)=-60川+4200,”-66240

3

整理得w=-60(m-35)2+7260

-60<0

，抛物线开口向下

当"7=35元时，w取最大值

即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元

【点评】此题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函

数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润

=一件的利润X销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实

际问题.

24.(13分)如图1,菱形A8CZ)的顶点A,。在直线上，ZBAD=60Q,以点A为旋转中

心将菱形488顺时针旋转a(0°<a<30°),得到菱形AB'CD',B'C交对角

线AC于点M,CD'交直线/于点M连接仞V.

(1)当MN〃B'D'时，求a的大小.

(2)如图2,对角线B'D'交AC于点H,交直线/与点G,延长C'B'交AB于点E,

【分析】(1〕证明△AB'M^/XAD'N(SAS),推出NB'AM=ZD'AN,即可解决问

题.

(2)证明△AEB'丝△AGO'(A4S),推出EB'=GD',AE=AG,再证明△