三角函数2021年高一年级上册数学期末考点（新人教必修）（精炼篇）（解析版）

专题05三角函数

【专题综述与核心素养要求】

三角函数是一类最典型的周期函数.在高中数学课程中，《课程标准（2017年版）把三角函数内容安排在必

修课程”主题二函数”中，把“函数概念与性质”“幕函数、指数函数、对数函数”“三角函数”“函数应用”

视为一个整体，同时提出通过三角函数内容的学习使学生“重点在数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学

运算和数学建模等素养上得到提升”.因此，在教科书的编写中应遵循“注重教科书的整体结构”“体现内容

之间的有机衔接”“凸显内容和数学学科核心素养的融合”等原则，帮助学生从整体上把握三角函数的概念、

性质和应用，理解“三角函数”与“函数概念与性质”以及“幕函数、指数函数、对数函数”等内容的联

系，掌握利用三角函数构建数学模型的方法和技能，通过三角函数的定义、性质和应用等内容的学习，提

升数学学科核心素养.

【重要知识点与题强快速预览】

Y角函数的

法导公式

特殊先的­.

用函数值表正弦函数印

余弦函数的

/图象与性JS

同用二角

曲数的笔

本关系

函数y=二角函放在

.心in+ip）实际何SS

的图象的中的应用

两角和与差

对林何珊

的正弦公式

求Jfiffift

的单调区间典型例题与

解电方法两角和与差

的正切公式

由郃分图

望确定函

二倍角的正

数解析式

利用傍3公弦.余弦.

式化冏三正切公式

角函数式

解牌方法r式的化的

可转化为

/⑺=

asinx+

三角函数的

6cosx+k

蛉侬求伯与

的诂数何通

三角恒等给值求角

式的证明

【知识点精解精析】

Si幽旗前同黄I旦倒髭题画善;

(1)同角三角函数的基本关系

基本关系式语言描述

同一个角a的正弦、余弦的平方和等于

平方关系sin2a+cos2a=1

1

sina,、同一个角a的正弦、余弦的商等于角a的

商数关系---=tana(cosa*0)

cosa

正切

温馨提示

①注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对"任意”一个角”在使函数有意义的前提下“关

系式都成立，如sin?3a+cos23a=1成立，但是siMa+cos26=i就不一定成立.

②sin2a是(sina)?的简写，读作“sina的平方“，不能将sin2a写成sina?,前者是a的正弦的平方，后者是a?的

正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写.

③注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2a+cos2a=1对一切aeH恒成

立，而巴巴=tana对a=三+%71(%eZ)成立.

cosa2

i幽牌彘自机陶碟倒倒且像阚颈倜息

角a0°30°45°60°90°120°150°180°270°

7Tn7T7T27r5n3TT

弧度0TT

6432TTT

1V2V31

正弦01立0-1

2TTT2

V3V21_V3

余弦10-10

TT2-T

V3_V3

正切01V3不存在-V30不存在

T-T

i磁巡慰巨?巨阖国尊雨阕导

sin(a+k•2TT)=sina,cos(a+k-2TT)=cosa,

公式一

tan(a+k-2n)=tana(其中keZ)

公式二sin(7r+a)=~sina,COS(TT+a)=-COSQ,tan(7r+a)=tana

公式三sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=~tana

公式四sin(7T—a)=sina,COS(TT-a)=—COSQ,tan(?r-a)=—tana

公式五sin(7-a)=cosa,cos(7-a)=sina

公式六sin(7+a)=cosa，cos(三+a)=-sina

i船醯簸8理逡国骸西卷遨国图画画氢用制［

函数y=sinxy=cosx

yy

1./1

图象.....................................

0H3,TT/2ir5宣xTTJL0Nir必2ir5ITx

__T.CZz一一…区

-1-1

定义域RR

值域[-tl][-U]

7时，Xmax=l(fceZ);

x=2ZTT时，ymax=l(k6Z)；

最值

X=7T+2/nr时，Ymin=-l(k6Z)

X=-B+2%7T时，ymin=T(%CZ)

在［fr+2km2kn］(k6Z)

在卜+2kn,1+2kn](keZ)上为增函数；

单调性

在［2%兀兀+2kn］(k6Z)

上为增函数；

上为减函数

在住+2碗,警+2对（keZ）

上为减函数

奇偶性奇函数偶函数

最小正周期2n27r

对称轴：x=kn,keZ；

对称轴：％=三+kji,kEZ；

对称性

对称中心：G+kmo）,keZ

对称中心：（女兀0）,keZ

i硼领廖建^（H）：r%。通）倒能微型炉-娥加烹；的•电,:二T3做j哦

先画出函数y=sinx的图象，再把正弦曲线向左（右）平移|0个单位长度，得到y=sin（x+<p）的图象，然

后使曲线上各点的横坐标变为原来的;得到函数>，=4$抗（34+租）的图象，最后把曲线上各点的纵坐标变

为原来的4倍，得到函数y=Asin（3x+租）的图象.

这一过程的步骤如下：

小上舂点，电交

y=sinxty=sin（x+租）

或站平潮切下垂田

各点镇出标伸长或

ty=sin（6）x+<p）

据授奏豪来尚然必标不变

各点纵必格传长或甥这

ty=4sin（3x+伊）.

用粉劲i与痈4年不变

应注意还有一种途径：

各点岁以运伸长或

y=sinxty=sina）x

据短熨爱来尚纵奴常不支

要象上各点匈左或匈左

」丁y=sin（tox+<p）

夫揩1办先

各点纵出宫伸长或坞授

ty=4sin（3x+租）・

奏夏来的A导,逑必标不变

这两个途径的关键差别在“相位变换”这一步骤上，其实质是要看自变量算的变化情况.对于第一种途径，在

相位变换这一步中是由x变到尤+w，故应为“将函数丫=sinx（xwH）图象上所有点向左（当伊＞0时）或向

右（当伊＜0时）平移。|个单位长度得到函数丫=4!1（%+租）（戈6幻的图象”；对于第二种途径，在相位变

换这一步中是由3“到3尤+伊，即3（%+?）,实质是x变化到％故应为“将函数丫=sinaxGeR）的图象

上所有点向左（当9＞0时）或向右（当租＜0）平移情个单位长度得到函数丫=疝（5+9）（X6/?）图象”.两

者平移的方向相同，但平移的单位长度不同，这是很容易出错的地方.

温馨提示

①43决定"形变”，程决定“位变

②第一种途径是先平移后伸缩，第二种途径是先伸缩后平移，且两种途径平移的方向相同，但平移的单位

长度不同.特别注意，不论是相位变换（＜p）还是周期变换（3）都是针对自变量“X”而言的，变换时要注意

顺序.

£履凝版薇^同盒）画用扈画卷遨幺

嫉：悭;:：（邙:丫颂小:禅.：「」欲简记作C（af）.

cos(a-6)=cosaco+sinasin。，简记作C(a+?).

上述两个公式的记忆口诀：”余余正正，符号相反

i碘版盛阑盒）回闰第）回德，

辰或解•；陆》颂幡僻•；侬:幽假心泄简记作%+$）.

sin(a-0)=sinacos^-cosasin。＞简i己作S(a_6).

上述两个公式的记忆口诀：“正余余正，符号相同

Si藤巡励俄同盒）回闰篇画尼仅）0

制碗：叫：片器,简记作T(a+8)・

匕n("5)=意意，简记作％孙

i幽牌激就与僧食)倒尼寇。合寇。寇回

&»欠酸：物力工泡同好M(5G

22

cos2a=cosa-sin2a=2cos2a-1=1-2sina,(C2fl)

tan2a=2tana

1-tan2a.⑦a)

俗倒且倒蹄就崎宛鲍锤闻

(i)角的代换

将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换.

常见的配角技巧：

a=2n•二a;

Q=3+6)-S；

Q=S_(/?_Q)；

Q=5［3+6)+3一夕)］；

6=：［(Q+6)-3-6)］；

2

JT.襄fit\

-+Q=——(——al.

42\4/

(2)公式的逆用和变形

公式的顺用是常见的，但逆用和变形往往容易被忽视.公式的逆用和变形不仅能开拓思路，而且能培养从

正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形，才能熟练掌握公式的应用.

①逆用：cosaco+sinasing=cos(a一夕).

②角变换后使用：

cosa=cos[(a+0)—间=cos(a+6)cos0+sin(a+0)sin0.

③移项使用:

cosacos0=cos(a一尸)-sinasinj?；

sinasing=cos(a-S)-cosacos^.

④公式的变形：

i.tana+ta邸=tan(a+0)・(1-tanatan^).

tana+tanS

ii.l—tanatan^=

tan(a+8)

iii.tana+tan/?+tanatanj?tan(a+£)=tan(a+夕).

tana+tanS

iv.tanatanj?=1-

tanGz+S)

v.升嘉公式：1+cosa=2cos27；1-cosa=2siMg

•向攵育八f7l+cos2a.i-cos2a

vi.降累公式：cosxa=--------；sin52a=---------.

22

⑤力”的变形

1=sin2a+cos2a,1=2cos2a-cos2a,

2

1=cos2a+2sina,1=tan-4.

(3)辅助角公式

对于形如asinx+bcosx的式子，可变形如下：

asinx+bcosx=Va2+b2(sin%•^=5+cosx-7^]

由于上式中的于亮与』5的平方和为1,

va2+b2va2+b2

故可记下连q=cos0，■.?=sing,

va2^b2va2+b2

则原式=va2+&2(sinxcos0+cosxsinS)=\a2+&2sin(%4-0).

由此有如下结论:

asinx+bcosx=Va2+fc2sin(x+6)(*),其中8山下小q=cos8,1?,-=sing来确定.

八\a2^b2

通常称式子(*)为辅助角公式,它可以将含多个三角式的函数问题转化为形如y=AsinGox+<p)+k的函数问

题.

特别地，sina+cosa=V2sin(a+：).

【强知强会题型深度讲解】

周四自题四。垓蒯周阕导儆MS倒且倒豳

利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即

公式一

口诀是“负化正，大化小，化到锐角再查表

•■417万•(164)(4乃、…士

【典型例减11(1)求cos-^-+sin[--pI-tanI---I的值;

33

,,sin(7t-a)cos(-7i+a)tan(a——兀)

(2)化简22

cos(«-7t)sin(a-2兀)

【答案】(1)一JJ；(2)1.

【解析】

17%J54)5Tt73

(1)cos-----=cos2乃+—=cos——=-----,

616)62

.(.16%.(e7ryrr

sin-------=-sin--------=-sin+—\-sin§

13)3

(44)44

tan------=-tan—=-tan—=一,\/3,

13J33

所以原式=一与+与-2)=6

.(3吟

sma-----

..I2)sincrsincrsin

Qinrf.Qinn・-------------4-

(2)原式妇----------------

cos

2J_(-cosdf)-sincif-c<

(一cosa)sina

sina•sina•sina+—

乃、sinor-sinor-cosa

(一cosa)•sina•cosCXH---=--------------------------------

2)(-coser)sina•(-sina)=j

【典型例题2】化简下列各式：

tan(24一a)•sin(—2〃-a)•cos(6万一a)

cos(a—•sin(5乃一a)

⑵J1+2sin2900cos4300

sin250°+cos7900

【答案】(1)-tana；(2)-1.

【解析】

sin(2万一a).,、(、

―；--------v•sm(一。卜cos(-aI

(1)原式=cos(2万一a)

cos(71-a)-sin(7i-a)

sina-sinacosa

=-，，--------------------

cosa-cosasina

=—tana

(2)原式=Jl+2sin(360°-70°)cos(360°+70°)

sin(l80°+70°)+cos(720°+70°)

_Vl-2sin70cos70_Icos70-sin70|

-sin70°+cos70°cos70°-sin70

_sin70-cos70

cos70°-sin70°

=-l.

sin(—+a)+3sin(一%-a)

【典型例题31已知/(a)=——Z-------------------

2COS(y+a)-cos(乃-a)

(l)化简/(a)；

(2)己知tancr=3,求/(a)的值.

cosa+3sin。

【答案】（1）f（a）(2)-2.

-2sina+cosa

【解析】

JI

sin(—+a)+3sin(-7r-a),个・

“、？cosa+3sma

(1)〃a)=^---------------=-r-----------；

2cos(|+«)-cos(^-a)-2sina+cosa

"/、cosa+3sina1+3tana10-

f\ct)=---------------=---------=—=—2

(2)由tana=3,可得-2sina+cosal-2tana-5

go四窗题四昌2的闱分感四磁瞬

确定y=ylsin(a)%+(p)+b(A>0,a)>0)的解析式的步骤:

（1）求A,b.先确定函数的最大值M和最小值m,则4=—,b=*.

22

（2）求3.相邻的最高点与最低点横坐标之差的绝对值为：；相邻的两个最高点（或最低点）之间的距离为

T,再根据7=氾确定3.

3

（3）求<p.利用峰点、谷点或零点列出关于<p的方程，结合伊的范围解得<p的值，所列方程如下:

峰点：a）x+<p=7+2kn；谷点：a>x+<p=-7+2fcn.

利用零点时，要区分该零点是升零点，还是降零点.

升零点（图象上升时与x轴的交点）：a）x+<p=2km

降零点（图象下降时与x轴的交点）：a）x+<p=n+2kn.

(以上kcZ)

【典型例题1］已知函数/(x)=Asin(6yx+e)(A>0,ty>(),le|<、J的部分图象如下图所示，则函数

fM的解析式.

7T

【答案】/(x)=2sin(2x+-)

6

【解析】

由函数图象知/(x)的最大值为2,所以A=2；

,T57c7CTC亡mi.I27c_

又一=-------二一，所以丁=4，则r。=—=2,

41264T

(jr1JTTTTT

将二，2代入得2x-+/=2Z〃+—,解得：0=2%%+—，

koJ626

TTTTTT

乂|°|<一,所以3=一,故/(x)=2sin(2x+-).

266

71

f(x)=2sin(2x+—)

故答案为：6

【典型例题12］如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度丁(单位：m)在某天2

4小时内的变化情况，则水面高度y关于从夜间o时开始的时间x的函数关系式为.

71

【答案】j=-6sin-x(0<x<24)

6

【解析】

由图设y=Asin(o>x+(p)(0<x<24).

2471

由图象可知A=6,T=12»所以&=—二一，

T6

JT

所以y=6sin(—x+°X0«xW24)

6

3%

将(9,6)代入函数的解析式得6=6sin(y+^>),

34

所以sin(—+。)=1,cos(p=-l

所以。=乃.

IT)TT

(—l=-6sin—x(0<x<24).

71

y--6sin—x(0<x<24)

故答案为：6

71

【典型例题3】已知函数丫=Asm((yx+e)+3的一部分图像如图所不，如果A〉0,0〉0,|夕,那么

兀

以下结论：①A=4；②。=1；③9=一；④3=4中，正确的是.

【答案】③

【解析】

由图象可得函数丫=Asin(@r+e)+8的最大值、最小值分别为4,0,

.二一A+8=0,A+8=4,A=2,6=2,所以①④不正确；

设函数的周期为T,由图象上两点（5,4）,（红,2）,

612

得工二且一工=%:1=兀=co=2,所以②不正确;

41264①

TTTCTT

工=一时函数取得最大值，・・・2乂一+夕=一+2k7T（keZ）,

662

'ji

0=—+2〃%(ZeZ),—e=一,所以③正确.

626

故答案为：③

求函数y=Asin（a>x+租）（或y=Acos（（wx+伊））的单调区间时，一般先将x的系数化为正值（通过诱导公

式转化），再把+右视为一个整体，结合函数丫=sinx（或y=cosx）的单调性找至+吠'对应的条

件，通过解不等式可得单调区间.

【典型例题1】已知函数_/（x）=2sin（公r+0）（0>O,O<°<万）最小正周期为万，图象过点

（1）求函数“X）解析式

（2）求函数〃x）的单调递增区间.

【答案】⑴/(x)=2sin(2x+1)；(2)--f+Qr,J+Qr(ZeZ).

【解析】

2K

(1)由已知得冗=—，解得3=2.

co

将点(夕夜)代入解析式，3=2sin(2x?+9),|JJ'^llcos^=^-

由0v9c"可知0=(,于是/a)=2sin(2x+?J.

37r兀

解得一二++Z乃(攵eZ),

8I

37r.7t./.„\

-------卜k冗,—卜kji(ZcZ)

于是函数,(无)的单调递增区间为-88

【典型例题2]已知函数/(x)=sin(0x+o“0>O，M<]j,它的一个对称中心到最近的对称轴之间的

距离为:，且函数/(x)图象的一个对称中心为1一巳,0)

4

(1)求“X)的解析式;

(2)确定人力在0,-|上的单调递增区间.

【答案】⑴/(x)=sin(2x+g)；(2)0*.

【解析】

Tjr

(1)设函数“X)的周期为T，由题设得1=^=>丁=兀=>0=2,

又•；(一看,0)为图像的一个对称中心，

・••《用=。"心用=0,

又•.[同<],.,.夕=(，故/(x)=sin(2x+g)；

717171571

(2)由2kli—W2xH—K2kliH——ku-----Wx<kuH,kRZ,

2321212

57rjr

；・/(x)在“兀一古，E十五(攵cZ)上递增，

.z、，5兀兀5兀7T_7C八兀

当左=0时，/(x)在一二，二递增，由一二，二0,—=0,—

'，11212」[1212jL2jL12

.•./（x）在句上的单调递增区间为1，12-.

【典型例题,3】已知函数/（x）=sin（2x+^J.

（1）求/（x）的最大值及取得最大值时x的值；

（2）求〃x）的单调递减区间.

【答案】（1）1；x=E—"ZeZ）；（2）/E+1，keZ

【解析】

57r7TJT

（1）令2xH---=2kn+—,即l=也——（左wZ）时，

626

/（X）取最大值1.

TT57r37r

(2)由2E+—W2x+—W2E+—(攵EZ)

262

得/（X）的减区间为*亍，AeZ

场领心自题园加^阚跳，™,…一,画画氢画明施闻

（1）函数y=月sin（wc+伊）的图象关于直线％=修（其中/满足侬跖+@=kn+三,keZ）对称，也就是说,

2

过波峰或波谷处且与X轴垂直的直线为其对称轴.

（2）函数y=Asin（®x+<p）的图象关于点（4力0）（其中芍满足3芍+<p=kmk&Z）中心对称，也就是说,

函数图象与x轴的交点（平衡位置点）是其对称中心.

【典型例题1］求函数y=3sin（2x+。）的对称轴和对称中心.

k冗jr（k/TT、

【答案】对称轴为x=---1---,k6Z；对称中心为|——■,0\,k&Z

212<26J

【解析】

k冗7t

由2xH——kjiH—，得x—----1----、keZ,

32212

k冗JT

所以对称轴为x=竺+匕"MeZ.

212

由2x+呆g得、=春吟壮Z，

【典型例题,2】己知函数/(x)=asinmx+bcoseyx(其中a>0,/?>0,o>0),xeR.它的最小正周

期为乃,且的最大值为2.

(1)求/(求的解析式;

(2)写出函数f(x)的单调递减区间、对称轴和对称中心.

(兀、兀2

【答案】(1)/(x)=2sin2x+—；(2)递减区间^4--,^+-^、keZ.、对称轴为直线

k兀TC.—..

x=——+—#EZ；对称中心

【解析】

解：(1)f(尢)=asin5+Z7COS5=Jt?+芳sin(s+e)，其中夕为辅助角，且tane=j

吗)=6."呜+加呜=5即

/(x)的最大值为2,・,."73=2,解得，h=\

/(x)=>/3sin2x+cos2x

所以f(x)=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+—)

JT

(2)由(1)得，/(x)=2sin(2x+—)

jrrr347T27r

令——b2Z磅电xH•———+2%乃，keZ,解得，%万+―领kk兀+——,keZ

26263

jr2

二.函数的单调递减区间k兀+7，k兀+不兀,keZ.、

_63

令2%+工=左万，keZ,解得x=

6212

丁.函数的对称中心为——,0^,A：GZ；

令2x+生=%4+工，keZ,解得，x=--^—,kGZ

6226

k兀兀i)

X-d，4EZ

对称轴方程为26

【典型例题3】已知函数/(x)=2sin(2xq).

(1)求函数/(x)的对称轴；

(2)当xe0,y时，求函数/(x)的最大值与最小值.

k冗TT

【答案】(1)对称轴方程为：X=—+^-(JteZ)；(2)最大值为2,最小值为一1.

23

【解析】

(I)函数/(x)=2sin(2x-看］

7171k兀71

令2x---=kjtH—(ZcZ),解得尤=---1—(ZcwZ),

6223

kJTjr

所以函数/(x)的对称轴方程为：x=-+-(keZ).

（2）由于xe0,—

2

717154

所以—

6~6,~6

“/*1I

AisinI2x——Ie——,1.

则：-1</(%)<2

故当x=0时，函数的最小值为一1.

71

x=­

当3时，函数的最大值为2.

旦篇函腌陞翩酶酶1

将实际问题转化为三角函数有关问题应注意以下几点：

①审题：把问题提供的“条件”逐条“翻译”成“数学语言”;

②可通过描点画图寻找适合的数学模型；

③准确求出函数解析式.

7T

【典型例题1】如图，有一块扇形草地OMN,已知半径为R,NMON=一,现要在其中圈出一块矩形

2

场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN

(1)若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；

(2)当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？

【答案】(1)、"一】小；(2)当A在弧MN的四等分点处时，S.工=(后-出

一\r

【解析】

(I)如图，作O”_LAB于点H,交线段CD于点E,连接OA、OB,

U.闰

RS.(SO•.

2U•,.2MuEAN

(AHE・)AUBA

建「

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ni

2

4

21

7171八7t.

0—=—即。=一时,

424

=(V2-1)/?2,此时A在弧MN的四等分点处

smax

答：当A在弧MN的四等分点处时，，皿'=(8—1)”

【典型例通2】如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池A8C£＞的池底水平铺设污水净化管道

(Rt»HE三条边,”是直角顶点)来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口，是AB

的中点，瓦户分别落在线段8cA。上，已知AB=20米，AD=10ji米，记NBHE=6.

(1)试将污水净化管道的总长度L(即mAFHE的周长)表示为6的函数，并求出定义域;

(2)问。取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.

sin0+cos0+l71兀

【答案】(1)L=10x，(2)。=弓或6=四时，L取得最大值为20(6+1)

sin0-cos06,3

米..

【解析】

(1)由题意可得EH=—9，FH=-

EF=———，由于BE=10tan9<10V3.

cos0sin0sin0cos0

AF--^-<10V3,

tan0

所以—<tan0<A/3，。£y,—

3L63.

10101071

.\TL=---+---+-----。屋

cos0sin0sin0cos03

1八sin0+cosG+1八7171

即unLr=]0x------------------,0G

sin0-cos063

t2_i

（2）设sin9+cos6=t,贝i」sin6cos0=—-—,由丁。£

20（73+1）

•••当2时，即6或3时，1.取得最大值为