2023-2024学年高中数学人教A版2019课后习题第五章5-5-2　简单的三角恒等变换

5.5.2简单的三角恒等变换A级必备知识基础练1.cos2π8-14A.2-14 B.2+14 C2.已知α为第一象限角,且tanα=43,则sinα2的值为(A.55 B.55 C.±553.(多选题)已知函数f(x)=sinxcosx+sin2x,则下列说法正确的是()A.f(x)的最大值为2B.f(x)的最小正周期为πC.f(x)的图象关于直线x=π8D.f(x)在0,4.函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期为.

5.若tanα=17,则1+cos2αsin2α6.证明:2sinxB级关键能力提升练7.若函数f(x)=(1+3tanx)cosx,则fπ12=()A.6-22C.1 D.28.若3π<x<4π,则1+cosx2+1-A.2cosπ4-x2 B.2cosπC.2sinπ4-x2 D.2sinπ9.设函数f(x)=2cos2x+3sin2x+a(a为实常数)在区间0,π2上的最小值为4,那么a的值等于A.4 B.6C.4 D.310.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725,则它的底角的余弦值为(A.34 B.C.12 D.11.(多选题)有以下四个关于三角函数的命题,其中正确的是()A.∃x∈R,sin2x2+cos2B.∃x,y∈R,sin(xy)=sinxsinyC.∀x∈[0,π],1-cos2xD.sinx=cosy,则x+y=π12.已知sinx+π3=33,则cosx+cosxπ3=.

13.若cosθ=725,θ∈(π,2π),则sinθ2+cosθ2=,sinθ2cosθ14.已知sinα=1213,sin(α+β)=45,α,β均为锐角,求cosβC级学科素养创新练15.已知sinA+sinB+sinC=0,cosA+cosB+cosC=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=325.5.2简单的三角恒等变换1.Bcos2π8-2.C因为α为第一象限角,且tanα=43,所以cosα=35,而α2是第一或第三象限角.当α2是第一象限角时,sinα2=1-cosα2=55;当α2是第三象限角时,sin3.BCD∵f(x)=12sin2x+1-cos2x2=12(sin2xcos∴f(x)max=22+12=2+1当x=π8时,sin2x-π4=1,∴直线x=π8为当x∈0,π4时,2∴f(x)在0,π综上B,C,D正确,A不正确.4.πf(x)=sin2x+sinxcosx+1=1-cos2x2+12sin2x+1=12(sin2xcos2x)+32=22sin2x5.7因为tanα=sin2α1+cos2α=176.证明左边=2sinxcosx所以原等式成立.7.D∵f(x)=1+3·sinxcosxcosx=cosx+3sinx=2sinx+π6,∴8.C因为3π<x<4π,所以3π2<x2<2π,sinx2于是1+cosx2+1-cosx2=cosx2+sinx2=cosx2sinx2=2229.Cf(x)=2cos2x+3sin2x+a=1+cos2x+3sin2x+a=2sin2x+π当x∈0,π2时,2∴f(x)min=2·-12+a+1∴a=4.10.B设等腰三角形的顶角为α,底角为β,则cosα=725.又β=π2-α2,即cosβ=cosπ211.BC因为sin2x2+cos2x2=1≠12,所以A为假命题;当x=y=0时,sin(xy)=sinxsiny,所以B为真命题;因为1-cos2x2=1-(1-2sin2x)2=|sinx|=sinx,x∈[0,π],所以C为真命题;当x=π2,y=12.1因为sinx+π3=33,所以cosx+cosxπ3=cosx+12cosx+32sin=32cosx+32sinx=332cosx+1=3sinx+π3=1.13.1575因为θ∈(π,2π所以sinθ2cosθ2=1+cosθ2所以sinθ2+cosθ2=1514.解∵0<α<π2∴cosα=1-∵0<α<π2,0<β<π∴0<α+β<π,若0<α+β<π2∵sin(α+β)<sinα,∴α+β<α,∴β<0,与已知矛盾,∴π2<α+β<π∴cos(α+β)=35∴cosβ=cos[(α+β)α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=35∵0<β<π2,∴0<β∴cosβ215.证明由已知,得sinA+sinB=sinC,①cosA+cosB=cosC.②和差化积,得2sinA+B2cosA-B2=2cosA+B2cosA-B2=∵当cosA-B2=0时,sinC=cosC=∴cosA-B2③÷④,得t