作业06 因式分解-2021年八年级数学暑假作业（北师大版）（解析版）

作业06因式分解

注意事项：

本试卷满分120分，完成时间90分钟，试题共25题.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自

己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

基础过关(70分)

一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.(2020•浙江七年级期末)下列由左到右的变形，属于因式分解的是()

A.(x+y)(x-y)=x2-y2B.xy+3x=x(y+3)

C.x2+2x-l=(x+l)(x-l)+2xD.2x2+x-x2m+-

秒x

【答案】B

【分析】根据因式分解的定义：把整式变形成整式乘积的形式，即可作出判断.

【详解】解：A、结果不是整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；

B、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；

C、结果不是整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；

D、计算错误，故本选项不符合题意；故选：B.

【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，正确理解定义是关键.

2.(2020•山东历城•期中)如图，边长为。，人的矩形的周长为14,面积为10,则/b+a〃的值为().

A.140B.70C.35D.24

【答案】B

【分析】根据题意得出2(a+b)=14,ab=10,再对4。+,力2进行因式分解，即可得出答案.

【解析】根据题意可得：2(a+b)=14,ab=10则a%+“/=ab(a+b)=10x7=70故答案选择：B.

【点睛】本题考查的是因式分解，需要熟练掌握因式分解的方法.

3.(2020•江苏省南菁高级中学实验学校初一其他)己知工2一5》+加有一个因式为％-2,则另一个因式为

（）

A.x+3B.x-6C.x-3D.x+6

【答案】C

【分析】所求的式子5%+机的二次项系数是1,因式（x-2）的一次项系数是1,则另一个因式的一次

项系数一定是1,然后根据炉一5X+“中一次项系数为-5,列方程求出另一个因式.

【解析】设另一个因式为（尤+〃），则炉-5工+m=（x-2）（x+a）,

即--51+加=32+（〃一2）%—2a,/.a~2=-5,解得：々=—3,•二另一■个因式为（x—3）,故选：C.

【点睛】本题主要考查因式分解的实际运用，根据二次项系数假设出另一个因式是解本题的关键.

4.（2020•浙江杭州市•七年级期中）在多项式中，（1）a2-b2+2ah（2）\-a+a2（3）--x+x2（4）

4

-4/+12孙-9y2其中能用完全平方公式分解因式的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】直接利用完全平方公式分别分解因式进而判断即可.

【详解】解：（1）a?一£+2。〃无法运用完全平方公式分解因式；

（2）1-〃+/无法运用完全平方公式分解因式；

（3）5—x+x2=（x_g）,能运用完全平方公式分解因式；

（4）-4x2+12xy-9y2=-（2x-3y）2,能运用完全平方公式分解因式；故选B.

【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.

5.（2020•湖南益阳•期末）下列各式中，哪项可以使用平方差公式分解因式（）

222223

A.-a-hB.-a+9C.pD.a-h

【答案】B

【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，口符号相反，

据此判断即可.

【解析】解：A.一"与—从符号相同，不能使用平方差公式分解因式；

B.-〃+9■以使用平方差公式分解因式;

C.P2-(-q2)=P2+q2，p2与d符号相同，不能使用平方差公式分解因式;

D./是立方的形式，故片一〃不能使用平方差公式分解因式；故选：B.

【点睛】此题主要考查了运用公式法分解因式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：能够运用平方差

公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.

6.(2020•陕西凤翔•初一期中)计算结果为犬―5%-6的是()

A.(x-2)(x+3)B.(x+6)(x-l)C.(x+2)(x-3)D.(x-6)(x+l)

【答案】D

【分析】运用十字相乘的方法来分解即可.

【解析】解：x2-5x-6-(x-6)(x+1)故选D

【点睛】本题考查了运用十字相乘的方法来分解因式，熟练掌握该方法是解决本题的关键.

二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上)

7.(2020•浙江杭州市•七年级期中)单项式4["I与的公因式是.

【答案】4m2n2

【分析】找到系数的公共部分，再找到因式的公共部分即可.

【详解】解：由于4和12的公因数是4,m2n2和m3n2的公共部分为m2n2,

所以4m2n2与12m3n2的公因式是4m2n2.故答案为4m2n2.

【点睛】本题主要考查公因式的确定，找到两式的公共部分是解题的关键.

8.(2020•湖南茶陵•初一期末)分解因式N+3x+2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次

项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；

然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如右图).这样，我们可以得到/+3x+2=(x+1)(x+2).请

利用这种方法，分解因式2/-3x-2=.

一工、2

1X24-1X1=3

【答案】(2x+l)(x-2)

【分析】根据题中的方法将原式分解即可.

【解析】解：原式=(2x+l)(x-2),故答案为(2x+l)(x-2)

【点睛】此题考查了因式分解-卜字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

9.（2020•浙江杭州市•七年级其他模拟）多项式/+尔+6因式分解得（x-2）（x+〃），则机=.

【答案】-5

【分析】根据多项式的乘法法则把（％-2）。+〃）计算后与皿+6比较即可求解.

【详解】解：（x—2）（x+〃）=x2+nx-2x-2n=x2+（n-2）x-2n,

：%2+/加+6因式分解得（x-2）（x+"）,...m=n-2,-2n=6,；.n=-3,m=-5.故答案为：-5.

【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解与整式的乘法是互为逆运算是解答本题的关键.

10.（2020•江西昌江•景德镇一中初一期末）已知W，〃为实数，若x-l,x+4均为多项式1+相1+也+p

的因式，则2加一2〃一〃+86=.

【答案】100

【分析】根据三次项系数为I,可设另一个因式为x+Z，然后建立等式，分别用k表示m,n,p的值，再

代入求解即可.

【解析】解法一（直接展开法）：「x-Lx+d均为多项式丁+〃1+研+〃的因式，且三次项系数为1

设另-■■个因式为x+Z则x3+mx2+nx+〃=（x-l）（x+4）（x+女）

m-3+k

整理得：/+加/+收+0=/+（3+幻/+（3女一4h一4左由此可得：＜〃=3左一4

p--4k

•1-2m-In—〃+86=2（3+左）-2（3攵-4）—（—4左）+86=6+2左—6k+8+4Z+86=100

解法二（利用方程或等式的性质）：：x—l,x+4均为多项式/+如2+加1+2的因式，且三次项系数为1

设另一个因式为x+左则x3+nvc2+nx+〃=（x-l）（x+4）（x+女）

,m=3——

I6m-4n+p-64、4

取户1和x=-4带入上面的方程中得到：\解得：;

m+n+p=-l"_彳3P

n~-T

2m-2n-p+86=100；故答案为：100.

【点睛】本题考查了多项式的因式分解、以及乘法法则，依据题意正确设立第三个因式是解题关键.

三、解答题（本大题共5小题，共40分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤）

11.(2020•浙江七年级月考)分解因式

(1)ax-hx(2)—3/'+48心'(3)c^-la+i-b2(4)(a-h)3-a+h

【答案】(1)x(。—。)；(2)3A:"(4x2n+1)(2x"+1)(2xn-1)：(3)[a+b-l)(a-b-1)；(4)

【分析】(1)提公因式x即可分解；(2)提公因式-3*2",再逐步利用平方差公式分解；(3)先分组，

再利用完全平方公式分解，最后利用平方差公式分解：(4)先提公因式a-b,再利用平方差公式分解.

【详解】解：(1)or-法=x("。)；

(2)_3/+48/=-3—+48(/)3=_3/l-16(x2")2

2/,22n22n2n

=-3X(4X"+1)(4x-1)=-3x"(4x+1)(2x”y-1=3x"(4JV"+l)(2%+1)(2Z-1):

(3)a2-2a+l-b2=^a-1)2-b2=(^a+b-1)(«-b-1)；

(4)(a-b)3-a+b=(a-b'f-^a-b)=(a-b^a-b)2-I=(a-Z?)(a-/?+l)(a-Z?-l)

【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键，注意因式分解要

彻底.

12.(2021•社旗县新时代国际学校八年级月考)两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了

一次项系数而分解成2(x-l)(x-9),另一位同学因看错了常数项而分解成2(》-2)(%-4),求出原多项式.

【答案】2X2-12%+18

【分析】由于含字母x的二次三项式的般形式为ax?+bx+c(其中a、b、c均为常数，且abc/)),所以可

设原多项式为ax2+bx+c.看错了一次项系数即b值看错而a与c的值正确，根据因式分解与整式的乘法互

为逆运算，可将2(x-l)(x-9)运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值：同样，看错J'常数项即c值

看错而a与b的值正确，可将2(x-2)(x-4)运用多项式的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案.

【详解】解：设原多项式为内2+fex+x(其中。，h,，均为常数，且而c，0).

因为2(x—1)(%—9)=2(f-10》+9)=2*2—20x+18,所以a=2,c=18，

又因为2(x—2)(%—4)=2(x2—6x+8)=2x2—12x+16,所以h=—121所以原多项式为2x2—12%+18-

【点睛】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算.是中考中的常见题型.本题中注意：如果-

个二次三项式，看错了一次项系数，意思是二次项系数与常数项都没有看错.

13.(2020•浙江七年级期末)如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为加

的大正方形，两块是边长都为〃的小正五形，五块是长为加，宽为〃的全等小长方形.且相＞〃.(以上

长度单位：cm)(1)观察图形，可以发现代数式2〃/+5〃?〃+2〃2可以因式分解为.

(2)若每块小长方块的面积为20cm2,四个正方形的面积和为162cm2.

①试求图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和；②求(加-〃了的值.

■im।

【答案】(I)(2m+n)(m+2n)；⑵①66cm；②41

【分析】(1)根据图中的面积关系，两个大正方形、两个小正方形和5个长方形的面积之和等于大长方形

的面积，据此可解；(2)①根据题意可得mn,2m2+2n2,从而可得从而m2+n2,进而可求得m+n,结合图

形可得答案.②根据m2+n2以及mn的值，结合完全平方公式计算即可.

【详解】解：(1)观察图形，发现代数式：2m?+5mn+2n2表示大长方形的面积，

贝(]2m2+5mn+2n2=(2m+n)(m+2n)；故答案为：(2m+n)(m+2n)：

(2)①若每块小矩形的面积为20cm2,四个正方形的面积和为162cm2,则mn=20cm2,2m2+2n2=162cm2,

.*.m2+n2=81,(m+n)2=81+20x2=121,m+n=11,

.♦.图中所有裁剪线(虚线部分)长之和为6m+6n=6(m+n)=66(cm)；

②(m-n)2=m2+n2-2mn=81-2x20=41.

【点睛】本题考查了因式分解在几何图形问题中的应用，数形结合，并熟练掌握相关计算法则，是解题的

关键.

14.(2021•江西宜春市•八年级期末)小明、小花和老师一起探究一个问题：将团4+4因式分解.

小花根据大家的提示，整理出解答过程：

nr+4=。叫-+2?=(/叫:+4m2+22-4m2=(加+2『-(2m)2+2+2时(利?+2-2w)

请你依照上述做法，将下列各式因式分解:

（1）4/+1;⑵a4+c4-7a2c2

【答案】(1)(2x~+1+2x)(2x~+1-2x)：(2)(矿+c~+3ac)(i?-+-3ac)

【分析】(I)(2)根据题干所给方法进行添项，构成乘法公式进行因式分解即可.

【详解】解：(1)4x4+1=(2x2)2+12=(2x2)2+4x2+12-4x2=(2x2+1)2-(2x)2

=(2x?+l+2x)-(2f+1-2x)；

(2)J®=o4+c4+2a2c2-2a2c2-7a2c2-(«2+c2)-9a1c1

—(a~+c2+3ac)(a~+c~-3ac).

【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用乘法公式进行因式分解是解题的关键.

15.(2020•山西阳泉•初二期末)请阅读下列材料,并完成相应的任务.

杨辉,南农杰出的肾学家和教学枚育家,花耳一生留下了大量的著作.他《口

著名的望学著作共5种21&.即《徉解九米舁法：>12卷.《日川算法》26,

《束除通变本末》3卷,《同窗比奥乘除找法》2卷,《埃古描专耳法》2卷.在《外Jpg

解九丰舁法》一书中，画了一张a示二项式展■开后的系数构成的三角田彬.根

据这个三角出招,杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两敏的立方/*

和、立方是、三教的立方和子公式，两数的立方基公式是:"-/，’=(“-/,)(/+而+〃)，这个公•式的拉

导过程如下H-心)+4()+/>(//+//)(«-//)=("-%)(/+而S).

任务：(1)利用上述方法推导立方和公式/+。3=(4+0)(/一"+/)(从左往右推导)；

(2)已知。+。=1,。匕=-1,。>匕,求/+62,/一63的值.

【答案】(1)推导见解析；(2)/+尸=3,a3-b3=2卮

【分析】(1)应用添项办法进行因式分解可得:4+〃3=。3+/)一。2/?+庆；(2)根据配方法和立方差公

式可得.

(IStFr](l)^：a3+/?3=a3+cPb-a2b+b3=a2(a+b)-b^-b2)=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)

=(4+/?)(/—ab+/>2)

⑵解：a2+b'-(a+b)2-lab=12-2x(-1)=3

("bp^cr-lab+b1=3-2x(T)=5

a>b:.a-b=\/5

673-/?3=(a-h)^a2+ah+b'^=>/5x(3-l)=26

【点睛】考核知识点：因式分解应用.灵活运用因式分解方法转化问题是关键.

能力培优(50分)

一、选择题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.(2020•浙江杭州市•七年级其他模拟)对于算式20183-2018,下列说法错误的是

()

A.能被2016整除B.能被2017整除C.能被2018整除D.能被2019整除

【答案】A

【分析】根据因式分解的方法对原式进行变形后可以得解.

【详解】解：•••20183—2018=2018(20182—1)=2018(2018+1)(2018-1)

=2018x2019x2017,AB.C、D正确,A错误,故选A.

【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键.

【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法并正确对原式变形是解题的关键.

2.(2021•山东沂源•初二期中)设a,b,c是AABC的三条边，且a?—b，=a?b—ab?+ac?—be?，则这个

三角形是()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为整理成多项式的乘积等于0的形式，求出三

角形三边的关系，进而判断三角形的形状.

【解析】解：Va~b3=a2b_ab2+ac2-bc2,a-b3-a2b+ab-ac2+bc2=0,

(a3-a2b)+(ab2-b3)-(ac2-bc2)=0,a2(a-b)+b2(a-b)-c~(a-b)=0>(a-b)(a~+b2-c")=0,

所以a-b=0或一+1)2-(?=0.所以a二b或a'b'c.故选：D.

【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的

关键.

甲图中阴影部分面积

3.(2020•浙江省初二月考)如图，设％(a〉6〉0),则k的值可以为()

乙■图中阴黑影部，分?面黑积''

甲乙

3

A.B.1C.D.2

22

【答案】C

【分析】先用。、b的代数式表示出甲图和乙图的面积，然后利用分式的约分可得々的值，由。>。>0即可

确定k的取值范围，进而可得答案.

【解析】解：甲图中阴影部分的面积=〃一乙图中阴影部分的面积=a(a—b),

cr-b-_(a-b)(a+b)_a+b_b

..a(a-b)a(a-b)aa

b3

'：a>b>Q,.-.O<-<1,：.\<k<2,观察4个选项，k的值可以为一.故选：C.

a2

【点睛】本题考查了多项式的因式分解、分式的约分化简以及用代数式表示图形的面积，属于常考题型，

正确理解题意、熟练掌握上述相关知识是解题的关键.

4.(2021•山东东平县江河国际实验学校月考)对于任何整数m,多项式(4m+5)2-9都能被()整除.

A.8B.mC.m—\D.2777—1

【答案】A

【分析】直接套用平方差公式，整理即可判断.

【解析】因为(4m+5)2-9==(4m+5-3)(4m+5+3)=(4m+2)(4m+8)=2(2m+l)x4(m+2)=8(2m+l)(m+2)

所以原式能被8整除.

【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，掌握运算法则是解题关键

二、填空题(本大题共3小题，每小题4分，共12分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上)

5.(2020•山东单县•初一期末)已知R>=2,3Z?-a—5=0,则代数式a2b—3。〃十。》的值为

【答案】-8

【分析】直接提取公因式将原式变形进而整体代入已知得出答案.

【解析】a2b—3ab2+ab=+1),V3b—a—5—0>a—3b——5>

又就=2,...原式=2X(-4)=-8.故答案为：-8.

【点睛】本题主要考查了代数式求值以及提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键.

6.(2020•四川内江•中考真题)分解因式：b4-b2-12=

【答案】(〃+3乂"2)。-2)

【分析】先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解.

【解析】/一。2一12=(/+3)(/—4)=(/+3)9+2)(人一2)

故答案为：(〃+3)他+2)0—2).

【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法.

7.(2020•浙江杭州市•七年级其他模拟)在当今“互联网+”的时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法,

其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：/+2%2_x—2因式分解的结果是(x-l)(x+l)(x+2),

当取x=19时，各个因式的值是：x—l=18,x+l=20,x+2=21,于是就可以把“182021”作为一个六

位数的密码.类似地，对于多项式1+(加一3")/一心一21,当取％=66时，得到密码596769,则

m=,n=.

【答案】加=72n=25

【分析】根据题意可得出因式分解的结果，再展开与原式相等即可得到所求的值.

【详解】・・•当x=66时，密码为596769,且/的系数是1

:,%34-(m-3n)x2-nr-21=(x-7)(x+l)(x+3)=x3-3x2—25x—21

:.m-3rl=-3,力=25即加=72,n=25

【点睛】此题考查因式分解，找到因式分解的结果是关键，主要是在于对题意的理解，难度一般.

三、解答题(本大题共3小题，共26分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤)

8.(2021•江西赣州市•八年级期末)仔细阅读下面的例题：

例题：已知二次三项式/+5%+加有一个因式是x+2,求另一个因式及加的值.

解：设另一个因式为x+及，得犬+5x+/n=(x+2)(x+〃)，

则Y+5工+m=/+(〃+2)工+2〃，.=〃+2=5,m=2n,解得〃=3,m=6.

・••另一个因式为x+3,m的值为&

依照以上方法解答下列问题：

(1)若二次三项式f—5x+4可分解为"T)(x+a)，则。=;

(2)若二次三项式+公一6可分解为(2x+3)(x—2),则匕=；

(3)已知二次三项式2%2+9%_女有一个因式是2x-l,求另一个因式以及人的值.

【答案】(1)T；(2)-1；(3)另一个因式为x+5,k的值为5.

【分析】(1)将(％—1)(%+。)展开，根据所给出的二次三项式即可求出。的值；(2)(2x+3)(x-2)

展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；(3)设另一个因式为(x+〃)，得2x2+9x-k=(2x-1)

(x+n),可知2”-1=9,-k=-n,继而求出"和％的值及另一个因式.

【详解】解：(1)V(X-1)(X+4Z)=x2+(a-1)x-a=x2-5%+4-

-1=-5,解得：a=-4；故答案是：-4

(2)(2x+3)(x-2)—lx1-x-6=2x2+bx-6,.,.b--1.故答案是：-1.

(3)设另一个因式为(x+〃)，得2x2+9x-&=(2x-1)(x+〃)，

则2r2+9x-幺=2%2+(2”-I)x-",.,.2n-1=9,-k=-n,解得"=5,k=5,

...另一个因式为x+5,左的值为5.

【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式

乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式.

9.(2020•江苏沐阳•期中)阅读理解以下文字：

我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式.通过因式分解，我们常常将一

个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的.这个思想可以引领我们

解决很多相对复杂的代数问题.

例如：方程2f+3x=0就可以这样来解：

解：原方程可化为x(2x+3)=0

所以x=0或者2x+3=0.

3

解方程2x+3=0,得元=一一

2

八3

所以解为王=0,x2.

根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题:

(1)解方程：X2-5X=0;(2)解方程：(x+3)2—4/=0；

(3)已知AABC的三边长为4，%，丁，请你判断代数式V—8y+16—V的值的符号.

【答案】(1)xi=0或X2=5；(2)xi=-1,X2=3；(3)见解析

【分析】(1)提取公因式分解因式，可得两个一元一次方程，可得方程的解；

(2)利用平方差公式分解因式，可得两个一