中考数学模拟测试卷带答案

中考数学模拟测试卷带答案

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分.在下列每个小题给出的四个答案中有且只有一

个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分）

1.（3分）下列实数中是无理数的是（）

l1

A.3.14B.V9C.遍D.-

2.（3分）如图所示的几何体的左视图是（）

3.（3分）''大国点名、没你不行”，第七次全国人口普查口号深入人心，统计数据真实可信，全国大约

1411780000人，数“1411780000”用科学记数法表示为（）

A.14.1178X108B.1.41178X109

C.1.41178X1O10D.1.41178X10"

4.（3分）如图，在△48C中，NC=90°,点。在AC上，DE//AB,若NC£）E=160°,则的度数为

)

A.40°B.50°C.60°D.70°

5.（3分）下列运算正确的是（)

A.a*a2=a3B.（a2）3=a5C.（2a）3=6a3D.a]2-r-a3=a4

6.（3分）下列说法正确的是（）

A.“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件

B.“明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨

C.一组数据“6,6,7,7,8”的中位数是7,众数也是7

D.甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s甲2=0.2,$/=

0.4,则甲的成绩更稳定

7.（3分）下列说法正确的是（）

A.函数y=2x的图象是过原点的射线

B.直线y=-x+2经过第一、二、三象限

C.函数（x<0）,y随x增大而增大

D.函数y=2r-3,y随x增大而减小

8.（3分）用半径为30c”，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为

（）

A.5cmB.10cmC.\5cmD.20cm

9.（3分）若抛物线y=/+6x+c与x轴两个交点间的距离为4.对称轴为直线x=2,P为这条抛物线的顶

点，则点尸关于x轴的对称点的坐标是（）

A.（2,4）B.（-2,4）C.（-2,-4）D.（2,-4）

10.（3分）如图，在正方形A8C。中，AB=4,E为对角线AC上与4,C不重合的一个动点，过点E作EF

于点F,EGLBC于点G,连接。E,FG,下列结论：①DE=FG；®DELFG；③NBFG=/ADE；

④FG的最小值为3.其中正确结论的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.请将答案直接填写在答题卡对应的横线上）

11.（3分）分解因式：5犬-5/=.

12.（3分）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对

折索子来量竿，却比竿子短一托.如果1托为5尺，那么索长为尺.

（其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量

竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺.）

13.（3分）不透明的布袋中有红、黄、蓝3种只是颜色不同的钢笔各1支，先从中摸出1支，记录下它的

颜色，将它放回布袋并搅匀，再从中随机摸出1支，记录下颜色，那么这两次摸出的钢笔为红色、黄色

各一支的概率为.

14.（3分）关于x的方程/--〃7=0有两个实数根a,B,且一+：=1,则加=.

a/?

15.（3分）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，己知无人机的飞行速度为3加s,从A处沿水平方向飞

行至2处需10s.同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°,3处的仰角为30°,则这架无人机的飞

行高度大约是m（百“1.732,结果保留整数）.

16.（3分）如图，在平面直角坐标系中，动点尸从原点。出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下

平移1个单位长度得点Pi（-1,-1）；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长

度得到点尸2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点尸3;接着水平向右

平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4,…，按此作法进行下去，则点P2021的坐

标为

3

三、解答题（本大题共8个题，分72分）

17.(12分)(1)计算，(3-夜)°X4-(2V3-6)+N+VH；

2x

（2）解分式方程:--------+=1.

2x—1-----1—2%

18.（6分）己知△A8C和△CCE都为正三角形，点8,C,。在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下

列作图，不写作法，保留作图痕迹.

（1）如图1,当8c=C。时，作△ABC的中线BF；

（2）如图2,当8CWC。时，作△A8C的中线8G.

19.（6分）为迎接中国共产党建党100周年，某校举行“知党史，感党恩，童心向党”系列活动.现决定

组建四个活动小组，包括A（党在我心中演讲），B（党史知识竞赛），C（讲党史故事），。（大合唱）.该

校随机抽取了本校部学生进行调查，以了解学生喜欢参加哪个活动小组，并将调查结果绘制成两幅不完

整的统计图，在扇形统计图中，“8”的圆心角为36°,请结合图中的信息解答下列问题：

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）该校共有1500名学生，根据调查数据估计该校约有多少人喜欢参加“C”活动小组.

20.（8分）如图：在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点。在），轴上，A,C两点的坐标分别为（2,0）,

b

（2,m）,直线CQ：yi=or+〃与双曲线：*=汶于C,P（-4,-1）两点.

（1）求双曲线”的函数关系式及〃?的值；

（2）判断点8是否在双曲线上，并说明理由；

（3）当时，请直接写出x的取值范围.

21.（8分）如图，A8为。0直径，。为00上一点，BCLCO于点C,交00于点E,CD与BA的延长线

交于点F,平分NABC.

（1）求证：CO是。。的切线;

（2）若AB=10,CE=1,求CQ和。尸的长.

22.（10分）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销

售，为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按4元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，。与x之

间满足关系式：“=20%（10-x）,下表是某4个月的销售记录，每月销售量y（万件）与该月销售价x

（元/件）之间成一次函数关系（60<9）.

月份•••二月三月四月五月

销售价…677.68.5

X（元/件）

该月销售量…3020145

y（万件）

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？

（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？

（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）

23.（10分）已知△4BC和△OEC都为等腰三角形，AB=AC,DE=DC,ZBAC=ZEDC=n°.

（1）当〃=60时，

①如图1,当点。在AC上时，请直接写出BE与的数量关系：；

②如图2,当点。不在4c上时，判断线段8E与4。的数量关系，并说明理由；

（2）当〃=90时，

①如图3,探究线段BE与的数量关系，并说明理由；

BE//AC,AB=3五,AD=1时，请直接写出0c的长.

24.(12分)如图1,已知NRPQ=45°,△ABC中，NACB=90°,动点P从点4出发，以2*an/s的速

度在线段AC上向点C运动，PQ,PR分别与射线A3交于E,尸两点，且PELAB,当点P与点C重合

时停止运动，如图2,设点尸的运动时间为xs,/RPQ与△A8C的重叠部分面积为yew2,y与x的函数

关系由Ci(0<g5)和C2(5—)两段不同的图象组成.

(1)填空：①当x=5s时，EF=cm；

②sinA=；

(2)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)当y236c/时，请直接写出x的取值范围.

图1图2

2021年湖北省仙桃市、潜江市、天门市、江汉油田中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分.在下列每个小题给出的四个答案中有且只有一

个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分）

1.（3分）下列实数中是无理数的是（）

LL1

A.3.14B.A/9C.V3D.-

7

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整

数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选

择项.

【解答】解：A.3.14是分数，属于有理数，故本选项不合题意；

8.75=3是整数，故本选项不合题意；

C.6是无理数，故本选项符合题意；

1

。亏是分数，属于有理数，故本选项不合题意；

故选：C.

【点评】此题主要考查了无理数的定义,熟记实数的分类是解答本题的关键.

2.（3分）如图所示的几何体的左视图是（)

【分析】从左面看该几何体，能看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，画出相应的

图形即可.

【解答】解：从几何体的左面看，是两个同心圆.

故选：A.

【点评】此题主要考查了简单儿何体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置.

3.（3分）“大国点名、没你不行”，第七次全国人口普查口号深入人心，统计数据真实可信，全国大约

1411780000人，数“1411780000”用科学记数法表示为（）

A.14.1178X108B.I.41178X109

C.1.41178XIO10D.1.41178X10"

【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中1W间<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，〃是

正整数.

【解答】解：1411780000=1.41178X1（）9,

故选：B.

【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10«的形式，其中1W|a|

<10,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

4.（3分）如图，在△4BC中，NC=90°,点。在4C上，DE//AB,若/CZ）E=160°,则的度数为

（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【分析】利用平角的定义可得NA£>E=20°,再根据平行线的性质知/A=/AAE=20。，再由内角和定

理可得答案.

【解答】解：：NCDE=160°,

；./ADE=20°,

\'DE//AB,

.•.NA=Z4DE=20°,

；./B=180°-ZA-ZC=180°-20°-90°=70°.

故选：D.

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：

两直线平行，内错角相等.

5.(3分)下列运算正确的是()

A.a,a1=c^B.(a2)3=a5C.(2a)3=6a3D.al2-i-673=6z4

【分析】分别根据同底数幕的乘法、除法、幕的乘方及积的乘方运算法则逐一判断即可.

【解答】解：4«.«2=«3,故本选项符合题意；

B.(a2)3=a6,故本选项不合题意；

C.(2〃)3=8二,故本选项不合题意；

D.al2-ra3=619,故本选项不合题意；

故选：A.

【点评】本题考查了同底数事的乘法、除法、塞的乘方及积的乘方运算，掌握哥的运算法则是解答本题

的关键.

6.(3分)下列说法正确的是()

A.“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件

B.“明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨

C.一组数据“6,6,7,7,8”的中位数是7,众数也是7

D.甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s甲2=。2,s乙2=

0.4,则甲的成绩更稳定

【分析】利用随机事件的定义、概率的意义、中位数及众数的定义、方差的意义分别判断后即可确定正

确的选项.

【解答】解：A、“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，故错误，不符合题意；

8、“明天下雨概率为0.5”，是指明天可能下雨，故错误，不符合题意；

C、一组数据“6,6,7,7,8”的中位数是7,众数是6和7,故错误，不符合题意；

D、甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s甲2=0.2,s乙2=0%

则甲的成绩更稳定，正确，符合题意，

故选：D.

【点评】考查了概率的意义及统计的知识，解题的关键是了解概率是反映事件发生可能性大小的量，难

度不大.

7.（3分）下列说法正确的是（）

A.函数y=2x的图象是过原点的射线

B.直线y=-x+2经过第一、二、三象限

C.函数（x<0）,y随x增大而增大

D.函数y=2x-3,y随x增大而减小

【分析】分别利用正比例函数以及反比例函数的定义分析得出答案.

【解答】解：A、函数y=2x的图象是过原点的直线，原说法错误，故此选项不符合题意；

B、直线y=-x+2经过第一、二、四象限，原说法错误，故此选项不符合题意；

C、函数y=-1（x〈0）,y随x增大而增大，原说法正确，故此选项符合题意；

D、函数y=T-3,y随x增大而增大，原说法错误，故此选项不符合题意.

故选：C.

【点评】此题主要考查了正比例函数以及反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题的关键.

8.（3分）用半径为30cm,圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为

（）

A.5cmB.10cmC.15cmD.20cm

【分析】圆锥的底面圆半径为如〃，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解.

【解答】解：设圆锥的底面圆半径为依题意，得

解得r=10.

故选：B.

【点评】本题考查了圆锥的计算.圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为

扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长.

9.（3分）若抛物线y=x2+hx+c与x轴两个交点间的距离为4.对称轴为直线x=2,P为这条抛物线的顶

点，则点尸关于x轴的对称点的坐标是（）

A.（2,4）B.（-2,4）C.（-2,-4）D.（2,-4）

【分析】根据抛物线y=』+bx+c与x轴两个交点间的距离为4.对称轴为直线x=2,可以得到6、c的

值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点尸的坐标，然后根据关

于x轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标：

【解答】解：设抛物线y=/+fer+c与x轴两个交点坐标为（xi,0）,（X2.0）,

•••抛物线），=/+6x+c与x轴两个交点间的距离为4.对称轴为直线x=2,

、ab

（XI-X2）=（X1+X2）-4x1X2=16,—y—T=2,

ZX1

（-1）2-4xy=16,b=-4,

解得c=0,

二抛物线的解析式为y=7-4x=（x-2）2-4,

二顶点P的坐标为（2,-4）,

...点P关于x轴的对称点的坐标是（2,4）,

故选：A.

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、关于x轴对称的点的坐标特点，解答本题的

关键是求出点尸的坐标，利用二次函数的性质解答.

10.（3分）如图，在正方形A8CD中，AB=4,E为对角线AC上与A,C不重合的一个动点，过点£作EF

_LAB于点凡EGLBC于点、G,连接。E,FG,下列结论：①DE=FG；©DE1.FG；③/BFG=/A£）E；

④FG的最小值为3.其中正确结论的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】①连接8E,易知四边形EF8G为矩形，可得8E=PG；由AAEB丝△AEZ）可得OE=BE,所以

DE=FG；

②延长。E,交FG于M,交FB于点H,由矩形EF8G可得OF=OB,则NOBF=NOF8；由NOBF=

NADE,则NOF8=NAOE；由四边形A8CO为正方形可得NBA£）=90°,即/月，。+/4。”=90°,所

以NAHD+/OFH=90°,即NFMH=90°,可得£>E_LFG；

③由②中的结论可得NBFG=NAOE；

④由于点E为AC上一动点，当力E_LAC时，根据垂线段最短可得此时OE最小，最小值为2vL由①知

FG=DE,所以FG的最小值为2近；

【解答】解：①连接BE,交尸G于点O,如图，

'JEFLAB,EGLBC,

：.NEFB=NEGB=9Q°.

VZABC=90°,

・・・四边形EF3G为矩形.

:・FG=BE,OB=OF=OE=OG.

・・•四边形A5CO为正方形，

：.AB=ADfZBAC=ZDAC=45

在aABE和△AOE中，

AE=AE

乙BAC=乙DAC,

AB=AD

：.(SAS).

：.BE=DE.

：.DE=FG.

・••①正确；

②;AABE^AADE,

NABE=ZADE.

由①知：OB=OF,

：.ZOFB=ZABE,

：.ZOFB=ZADE.

•；NBAD=90°,

AZADE+ZAHD=90°.

：.ZOFB+ZAHD=90°.

即：ZFMH=90°,

：.DELFG.

，②正确；

③由②知：ZOFB=ZADE.

即：ZBFG=ZADE.

••.③正确；

④•.•点E为AC上一动点，

，根据垂线段最短，当OEJ_AC时，DE最小.

；AD=CZ)=4,ZA£>C=90°,

：.AC=y/AD2+CD2=4V2.

：.DE='c=2&

由①知：FG=DE,

的最小值为2近，

•••④错误.

综上，正确的结论为：①②③.

故选：C.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，

垂直的定义.根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方

法.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.请将答案直接填写在答题卡对应的横线上)

11.(3分)分解因式：5/-5/=(x+1)(x-1).

【分析】直接提取公因式57,进而利用平方差公式分解因式.

【解答】解：5/-57=57(W-1)

=5J?(X+1)(x-1).

故答案为：5/(x+1)(x-1).

【点评】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键.

12.(3分)我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对

折索子来量竿，却比竿子短一托.如果1托为5尺，那么索长为20尺.

（其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量

竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺.）

【分析】设索长为x尺，竿子长y尺，根据“索比竿子长5尺，对折索子来量竿，却比竿子短5尺”，即

可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论.

【解答】解：设索长为x尺，竿子长y尺，

Xy-5

1

依题意得:y-%=5

2

解得:g：i5-

故答案为：20.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

13.（3分）不透明的布袋中有红、黄、蓝3种只是颜色不同的钢笔各1支，先从中摸出1支，记录下它的

颜色，将它放回布袋并搅匀，再从中随机摸出1支，记录下颜色，那么这两次摸出的钢笔为红色、黄色

2

各一支的概率为-.

—9——

【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的结果有2种，再由

概率公式求解即可.

【解答】解：画树状图如图：

开始

红黄蓝

/1\/N/N

红黄蓝红黄蓝红黄蓝

共有9种等可能的结果，两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的结果有2种，

两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的概率为：，

,,心心,2

故答案为：—.

9

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所

有可能的结果，适合于两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

11

14.（3分）关于x的方程/-23+加2=（）有两个实数根a,p,且一+三=1,则3.

【分析】根据△的意义得到△》（），即（-2加）2-4（加2-〃?）20,可得小20,根据根与系数的关系得

I1

至lJa+0=2〃?，邓=〃?2-〃?，再将/=1变形得到关于〃?的方程，解方程即可求解.

【解答】解：•••关于x的方程f-2〃a+〃?2-相=0有两个实数根a,p,

；.△=（-2〃?）2-4Cm2-w）20,解得机20,

a+0=2m,邓=〃』-机,

11a+6

4--=1,r1rl即——=1,

aBap

2m

••2=[，

解得加=0,团2=3,

经检验，/m=0不合题意，相2=3符合题意，

A/n=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了一元二次方程a/+公+c=0（“#0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为xi,X2,

则xi+m=-[也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力.

15.（3分）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3就$,从A处沿水平方向飞

行至8处需10s.同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°,8处的仰角为30°,则这架无人机的飞

行高度大约是20m（V3«1.732,结果保留整数）.

【分析】过A点作AHLBC于“，过B点作BO垂直于过C点的水平线，垂足为。，如图，利用仰角定

义得到/AC£>=75°,NBCH=30°,利用速度公式计算出A8=30，〃，先计算出AH=15m,再利用正切

的定义计算出8"=15百，由于NACH=45°,则C//=AH=15m然后在RtZXBCD中利用N3C£>=30°

得至I]BD=%+巧,最后进行近似计算即可.

【解答】解：过A点作A”，BC于”，过B点作8。垂直于过C点的水平线，垂足为。，如图,

根据题意得/ACD=75",/BCH=30°,AB=3X10=30〃?，

'.'AB//CD,

:"ABH=/BCD=30。,

在中，AH=^AB=l5mf

AJ-I

・・・tanN48"=器，

‘BH==普=156'

T

9：ZACH=ZACD-ZBCD=75°-30°=45°,

：.CH=AH=\5m,

：.BC=BH+CH=(158+15)m,

在RtZi3CO中，VZBCD=30°,

.1^15>/3+15”,、

..BDDn=~^DB/C=-----------~20\m).

答：这架无人机的飞行高度大约是20m.

故答案为20.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角

三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.

16.（3分）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点。出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下

平移1个单位长度得点Pi（-1,-1）;接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长

度得到点尸2;接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点尸3;接着水平向右

平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4,…，按此作法进行下去，则点尸2021的坐

标为(-1011.-1011)

4

「3

【分析】观察图象可知，奇数点在第三象限，由题意Pl（-1,-1）,P3（-2,-2）,ft（-3,-3）,

?P2»-1（-n,-〃），已解决可解决问题.

【解答】解：观察图象可知，奇数点在第三象限,

'：P\(-1,-1),ft(-2,-2),P5(-3,-3),rP2n.\(-n,-n),

：.P202\(-1011,-1011),

故答案为:(-1011,-1011).

【点评】本题考查坐标与图形变化-平移，规律型等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决

问题，属于中考常考题型.

三、解答题（本大题共8个题，分72分）

17.(12分)(1)计算，(3-V2)°X4-(2>/3-6)+V=8+V12；

2X

（2）解分式方程:----+-----=1.

2x-l1-2%

【分析】（1）原式利用零指数幕法则，算术平方根、立方根定义计算，去括号合并即可得到结果;

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【解答】解：（1）原式=1X4-2迎+6-2+2百

=4-2V3+6-2+2遮

=8；

(2)去分母得：2-x=2x-1,

解得：x=l,

检验：当x=l时，2JC-1#0,

...分式方程的解为x=l.

【点评】此题考查了解分式方程，实数的运算，以及零指数密，解分式方程利用了转化的思想，注意要

检验.

18.(6分)己知△ABC和△CDE都为正三角形，点8,C,。在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下

列作图，不写作法，保留作图痕迹.

(1)如图1,当8C=C。时，作△ABC的中线8F；

(2)如图2,当BCWC。时，作△ABC的中线BG.

(2)延长54交OE的延长线于W,连接AO,CW交于点。，连接08交AC于G,线段BG即为所求.

【解答】解：(1)如图1中，线段BF即为所求.

(2)如图2中，线段BG即为所求.

图1图2

【点评】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键

是能结合题目条件，灵活运用所学知识解决问题.

19.（6分）为迎接中国共产党建党100周年，某校举行“知党史，感党恩，童心向党”系列活动.现决定

组建四个活动小组，包括A（党在我心中演讲），8（党史知识竞赛），C（讲党史故事），。（大合唱）.该

校随机抽取了本校部学生进行调查，以了解学生喜欢参加哪个活动小组，并将调查结果绘制成两幅不完

整的统计图，在扇形统计图中，“8”的圆心角为36°,请结合图中的信息解答下列问题：

（1）本次共调查50名学生,扇形统计图中“C”的圆心角度数为108。；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）该校共有1500名学生，根据调查数据估计该校约有多少人喜欢参加“C”活动小组.

【分析】（1）根据“A”活动小组的人数及其百分比可得总人数；扇形统计图中用3600乘以C所占的百

分比可得“C”的圆心角度数；

（2）总人数乘以“B”、“C”活动小组所占百分比求出“B”、“C”活动小组的人数，据此补全统计图可

得；

（3）用样本估计总体，用1500乘以样本中喜欢参加“C”活动小组所占的百分比即可估计该校喜欢参加

“C”活动小组的人数.

【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为10・20%=50（名），

扇形统计图中“B”所占的百分比为：36°4-360°X100%=10%,

扇形统计图中“C”所占的百分比为：I-20%-10%-40%=30%,

扇形统计图中“C”的圆心角度数为：360°X30%=108°,

故答案为：50,108°；

（2）B项活动的人数为：50X10%=5（名），

C项活动的人数为：50X30%=15（名），

（3）1500X30%=450（人），

答：估计该校约有450人喜欢参加“C”活动小组.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要

的信息是解决问题的关键；条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总

体的百分比大小.

20.（8分）如图：在平面直角坐标系中，菱形ABCZ）的顶点。在y轴上，4,C两点的坐标分别为（2,0）,

（2,,〃），直线C£）：yi=ax+6与双曲线：*=［交于C,P（-4,-1）两点.

（1）求双曲线”的函数关系式及用的值；

（2）判断点3是否在双曲线上，并说明理由;

（3）当时，请直接写出x的取值范围.

11

【分析】（1）连接AC,相交于点E,确定出点E（2,­m）,AC〃），轴，进而求出点。（0,­m）,B

2•2

1

（4,-m）,最后将点C,D,P的坐标代入直线CD的解析式中求出相，进而求出点C坐标，最后将点

C坐标代入双曲线的解析式中求解，即可得出结论；

（2）先求出点8的坐标，判断即可得出结论；

（3）根据图象直接得出结论.

【解答】解：（1）

连接AC,3。相交于点E,

；四边形4BCD是菱形，

:.DE=BE,AE=CE,ACA,BD,

VA（2,0）,C（2,w）,

1

：.E（2,产），AC〃y轴，

my轴，

11

点。（0>~m）,B（4,~m'）,

22

'•点C（2,机），D（0,-m\P（-4,-1）在直线CD上，

2

2a-Vb=m

b=

—4Q+b=-1

fm=2

••Q=5,

<b=1

・••点C(2,2),

•.•点c在双曲线中=§上，

"=2X2=4,

...双曲线的函数关系式为”=*

1

(2)由(I)知，m=2,B(4,一机)，

2

：.B(4,1),

由(1)知双曲线的解析式为

V4X1=4,

...点8在双曲线上；

(3)由(1)知C(2,2),

由图象知，当yi>”时的x值的范围为-4<x<0或x>2.

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，用，”表示出点。的坐标是解

本题的关键.

21.(8分)如图，4B为。0直径，。为上一点，BCJ_CO于点C,交。。于点E,CD与8A的延长线

交于点F,BD平分/ABC.

(1)求证：CQ是。。的切线；

(2)若AB=10,CE=\,求CD和。尸的长.

【分析】(1)连接0。只要证明即可，利用角平分线，等腰三角形的性质以及直角三角形两

锐角互余可得结论；

(2)连接AE交0。于H,先证明四边形HECD是矩形，利用矩形的性质、垂径定理勾股定理得到4

OAH的三边长，再利用△0A”〜△OFQ即可求得DF的长.

(1)证明：连接0。,

：8。平分/ABC.

NABD=NDBC,

又；OB=OD,

:"OBD=NODB,

又,：BCLCD,

.\ZC=90°,

：.ZDBC+ZBDC=90°,

Z.ZODB+ZBDC=9Q°,

即0£>_LZ）C,

・・・C。是。。的切线；

（2）解：连接AE交。。于点H,

TAB为。0直径，

AZAEB=90°,

：.ZHEC=90°,

VBC1CD,0D工DC,

・・・NOOC=NC=90°,

・•・四边形"ECO是矩形，

：.DH=CE=],HE=CD,NEHD=90°,HE//CD.

：.ODLAE,

：.AH=HEf

•・・AB=10,

*.OA=OD=5,

：.OH=OD-DH=5-1=4,

：.AH=y/OA2-OH2=*2—42=3,

:・HE=AH=3,

:.CD=HE=3,

■:HE//CD,

二•△OA”〜△。敢

AHOH

•e•—,

FDOD

34

••=一,

FD5

【点评】本题考查了切线的判定方法，如何利用垂径定理、勾股定理求线段的长度等知识点，能够求证

四边形HECD是矩形是解决本题的关键.

22.（10分）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销

售，为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之

间满足关系式：a=20%（10-x）,下表是某4个月的销售记录，每月销售量y（万件）与该月销售价x

（元/件）之间成一次函数关系（6«9）.

月份二月三月四月五月

销售价…677.68.5•••

X（元/件）

该月销售量…3020145

y（万件）

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？

（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？

（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）

【分析】（1）设出一次函数解析式，用待定系数法求解析式即可;

（2）先求出x=3时，销售量y的值，再求政府补贴;

(3)纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴列出函数解析式，根据二次函数的性质求最值.

【解答】解：(1)•••每月销售量y与该月销售价x之间成一次函数关系，

•,♦设y与x的函数关系式为：y=kx+b,

则膘::弱

解得:｛矍谓

与x的函数关系式y=-10x+90(6Wx<9)；

(2)当x=8时，y=-10X8+90=10(万元)，

与x之间满足关系式：<2=20%(10-x),

,当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴为：10a=10X20%(10-8)=4(万元)，

答：当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴4万元：

(3)设该月的纯收入w万元，

则w=)，[(x-6)+0.2(10-x)]=(-10x+90)(0.8A-4)=-8/+112x-360=-8(x-7)2+32,

；-8<0,6«9

.•.当x=7时，卬最大，最大值为32万元，

答：当销售价定为7时，该月纯收入最大.

【点评】本题考查二次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是根据纯收入=销售总金额-成本

+政府当月补贴列出函数解析式.

23.(10分)已知△48C和△OEC都为等腰三角形，AB=AC,DE=DC,NBAC=NEDC="°.

(1)当〃=60时，

①如图1,当点。在4c上时，请直接写出BE与的数量关系：BE=AD；

②如图2,当点。不在AC上时，判断线段2E与AO的数量关系，并说明理由；

(2)当〃=90时，

①如图3,探究线段BE与AO的数量关系，并说明理由;

BE//AC,AB=3y[i,AQ=1时，请直接写出。C的长.

图1图2图3

【分析】（1）①根据题意当〃=60时，AABC和均为等边三角形，根据线段之间的关系易推出BE

=AD；

②通过SAS求证△ACDg/\BCE,即可找到线段BE与AD的数量关系；

（2）①根据已知条件，利用两边对应成比例且夹角相等求证△OC4s△/（力即可找到线段BE与AO的

数量关系；

②根据已知条件，利用两角对应相等求证△E/Ts^C/^,再利用相似比结合勾股定理即可算出EF的长，

进而表示出EC的长即可求出DC的长.

【解答】解：（1）①当”=60时，aABC和△OEC均为等边三角形，

：.BC^AC,EC=DC,

又,：BE=BC-EC,

AD=AC-DC,

：.BE=AD,

故答案为：BE=AD；

②BE=AD,理由如下：

当点。不在4c上时，

；/ACB=/AC£>+N£）CB=60°,NDCE=NBCE+/DCB=60°,

：.ZACD=ZBCE,

在△AC£>和△BCE中,

AC=BC

^ACD=乙BCE,

DC=EC

：./\ACD^^BCE(SAS),

：.AD=BE；

(2)@BE=V2AD,理由如下：

当"=90时，在等腰直角三角形OEC中：=sin45°=

EC乙

ACV2

在等腰直角三角形ABC中：—=sm45°=—,

BC2

VZACB^ZACE+ZECB=45°,NZ)CE=NACE+/OCA=45°,

：.ZECB=ZDCA

在△OC4和AECB中，

'D£=AC=y/2

'前=反=丁,

UDCA=乙ECB

.♦.△DCAsAECB,

.ADV2

••=~，

BE2

:.BE=sf2AD,

②DC=5,理由如下：

设EC与AB交于点凡如图所示：

"：AB=3\[2,AO=1

由上可知：AC=AB=3或,BE=V2AD=V2,

又‘：BE"AC,

：.ZEBF^ZCAF=90Q,

而NEFB=NCFA,

：./\EFB<^/XCFA,

.EF