人教初中数学八年级下册 二次根式教案

16.1二次根式

一、学习目标

1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质：右20(。NO)和(、石『=a(a20)

二、学习重点、难点

重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质.

难点：综合运用性质>0(a>0)和(、石-=a(a>0)。

三、学习过程

(一)复习引入：

(1)已知x?=a,那么a是x的;x是a的,记为.

a一定是_______数。

(2)4的算术平方根为2,用式子表示为="：

正数a的算术平方根为,0的算术平方根为;

式子G20(4>0)的意义是。

(二)提出问题

1、式子后表示什么意义？2、什么叫做二次根式？

3、如何确定一个二次根式有无意义？

(=)自主学习

自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：

1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

V3-V16V47=5当")V7T1

，，'，，，

2,计算：

⑴(")2(2)(而)2(3)(V3)2(4)(02

根据计算结果，你能得出结论：(后=,其中a>0,

(Va)2=«(«>0)的意义是。

3、当a为正数时石指a的,而0的算术平方根是—，负数，

只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式正中，字母a必须满足,而

才有意义。

(三)合作探究

1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习：

x取何值时，下列各二次根式有意义？

①，3x-4②j+铲③

2、(1)若y/ci—3—x/3-a有意义，则a的值为.

(2)若口在实数范围内有意义，则x为().

A.正数B.负数C.非负数D.非正数

(四)拓展延伸

J1-2%

1、(1)在式子一；------中，X的取值范围是____________.

1+X

(2)己知-\/x2-4+J2x+y=0,则x-y=.

(3)已知y=+77^3-2,则y*=。

2、由公式(JZ)2=a(aN()),我们可以得到公式a=(JZ)2，利用此公式可以把任意一个非

负数写成一个数的平方的形式。

(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：50.35

(2)在实数范围内因式分解

①一—7②4a2-11

(五)达标测试A组

2、在实数范围内因式分解：

(1)X2-9=x2-()2=(x+____)(x-____)

(2)x?-3=x2-()2=(x+)(x-)

(-)选择题：

1、计算J(T3)2的值为)

A.169B.-13C+13D.13

2、已知♦m=0,则%为()

A.x>-3B.x<-3C.x=-3Dx的值不能确定

3、下列计算中，不正确的是()。

A.3=(V3)2B0.5=(V0^5)2C.(703)2=0.3D(5疗尸=35

B组

（-）选择题：

1、下列各式中，正确的是（）。

A.79+4=79+74BJ4x9=V9xV4

C74-2=V4-V2叵—近

V36=76

2、如果等式（d）2=x成立，那么*为（）。

Ax<0;B.x=0;C.x<0;D.x20

（二）填空题：

1、若卜一2|+^/^=0,则a2-b=。

2、分解因式：X4-4X2+4=.

3、当*=时，代数式j4x+5有最小值,

其最小值是.

训练案

一、选择题

1.下列式子中，是二次根式的是（）

A.~y/lB.V7C.-\/xD.x

2.下列式子中，不是二次根式的是（）

A.A/4B.J16C.D.—

x

3.己知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（）

A.5B.6C.-D.以上皆不对

5

二、综合提高题

1.某工厂要制作一批体积为Inf,的产品包装盒，其高为0.2m,按设计需要,底面应做

成正方形，试问底面边长应是多少？

2.当x是多少时,,"+3+4在实数范围内有意义?

X

3.若A/3—X+y/x-3有意义，则X2=.

4.使式子yj-(X-5)2有意义的未知数X有()个.

A.0B.1C.2D.无数

5.已知a、b为实数，且，a-5+2J10-2a=b+4,求a、b的值.

二次根式(2)

一、学习目标

1、掌握二次根式的基本性质：行=时

2、能利用上述性质对二次根式进行化简.

二、学习重点、难点

重点：二次根式的性质行=时.

难点：综合运用性质=时进行化简和计算。

三、学习过程

(一)复习引入：

(1)什么是二次根式，它有哪些性质？

(2)二次根式J二一有意义，则x。

\x-5----------

(3)在实数范围内因式分解：

X2-6=x2-()2=(x+_)(x-____)

(二)提出问题

1、式子"滔=时表示什么意义？

2、如何用册=同来化简二次根式？

3、在化简过程中运用了哪些数学思想？

(三)自主学习

自学课本第3页的内容，完成下面的题目：

1、计算：-A/O.22=J(5),2()2=

观察其结果与根号内基底数的关系，归纳得到:

当a>0时,=

观察其结果与根号内基底数的关系，归纳得到：当。<0时，&=

3,计算：行=当a=0时，6=

(四)合作交流

1、归纳总结

将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质:

aa>0

y[a^=时=<0a=0

-aa<0

2、化简下列各式：

⑴后=(2)”0.3)2=-------------

(4)J(2a)2=(a<0)

3、请大家思考、讨论二次根式的性质(、万>=a(a20)与病"=时有什么区别与联系。

(五)展示反馈

1、化简下列各式

(1)怎％20)(2)E

2、化简下列各式

(1)J(a-3)2(G>3)(2)J(2x+3『(X<-2)

(六)精讲点拨

利用=M可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目

的，进行化简的关键是准确确定“a”的取值。

(七)拓展延伸

(l)a、b、c为三角形的三条边，则+--。产+4-a_c|=.

⑵把(2-x)，一的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（

x—2

A、，2-尤B、4x-2C、—N2-xD、--dx-2

(3)若二次根式J-2x+6有意义,化简|x-4|-|7-x|。

(A)达标测试：

A组

1、填空：(1)、V^-1)2-(A/2X-3)2(x>2)=.

⑵、J(%_4)2=

2、已知2VxV3,化简：((X-2)-+[%—3|

1、已知0<xVl,化简：J(X--)2+4-J(X+-)2-4

2、边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为区的正方形方孔.若沿图中虚线锯开,

3

可以拼成一个新的正方形桌面.你会拼吗？试求出新的正方形边长.

训练案

一、选择题

1.下列各式中厉、扃、J/—1、廿、VTT72+20,V-144,二次根式的

个数是（）.

A.4B.3C.2D.1

2.数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）.

A.a>0B.a20C.a<0D.a=0

二、填空题

i.(-6)2=.2.已知jrri有意义，那么x+i是一个数.

三、综合提高题

1.计算(1)(®)?⑵-(G)z(3)(-V6)2

2

(5)(26+30)(2百一3夜)2.已知Jx—y+l+J7^=0,求x’的值.

3.在实数范围内分解下列因式：

(1)x-2(2)x-9(3)3x-5

4若-3<xW2时，试化简|x-2|+7(^+3)2+VX2-10JC+25»

19.1.3函数的图象

新

年级八年级课题19.1.3函数的图象课型

授

教学媒体多媒体

1.了解函数的图象概念

知识2.学会用列表、描点、连线画函数的图象，

教

技能3.学会观察、分析函.数图象，提高识图能力、分析函数图象信息能力，

4.学会如何使用这种工具讨论函数.

学

经历了画函数的图象探索过程，通过观察、操作、分析、发现、探究的过程，培

目过程

养学生的观察、分析能力和动手操作能力，体会数形结合的思想和分类讨论的思

方法

想.

标

情感通过对函数的图象的学习，感受生活中的问题能以几何形式直观形象地表示变量

态度间的单值对应关系，培养学生热爱数学.

教学重点函数的图象意义和画法，会识函数图像.

理解函数图象上的点的坐标与函数解析式中的变量的对应关系，正确识函数的图

教学难点

象.

教学过程设计

教学程序及教学内容师生行为设计意图

一、情境引入

问题我校想建一个正方形的花坛.•面积S随边长X教师提出问题，学生思解决实际问题

考，回答，并交流，师

变化而变化，请你写出函数关系式，并确定自变量的取值从解析式上反

生观点达成一致.

范围.映S随X变化

面积S与边长X的函数关系式为：而变化

s=x2（x>0）

从式子s=x2来看，边长X越大，面积S也越大。能不能

用图象直观形象的反映出来呢？

二、探究新矢1

（一）、函数的图象的意义教师给出函数的

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对图象定义，学生齐读.

对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由如何画图，用

这些点组成的图形，就是这个函数的图象.教师提出问题，学描点法画图分

（二）如何画出函数s=x2（x>0）的图象？生思考怎样画函数图几步.

象，并回答.

从X的取值范围中选取一些数值，算出S的对应值.即

通过实际操

列表.

作，感受函数

X…0.511.522.53・・・

图象，直观的

•・・・・・

S0.2512.2546.259反映函数和自

自变量X的一个确定值与它所对应的唯一的函数值S变量的关系，

是否确定一个点（X,S）呢？以及函数的变

把X的值作为横坐标，S的对应值作为纵坐标在平面化趋势.理解

函数图象可以

直角坐标系中，将上面表格中各对数值所对应的点画出

来.即描点.体现数形结合.

按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲的思想.

线连接起来.即连线.

归纳：描点法画函数的图象一般步骤：

1、列表：列出自变量与函数的对应值表.注意：自变量的

师生共同归纳用

值(满足取值范围)，并取适当.描点.法画函数的图象

2、描点：建立直角坐标系，以自变量的值.为横坐标，相应一般步骤和体现数形

的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点.结合思想.教师板书.

3、连线：按照横坐标从小到大的顺序把描出的点用平滑曲

线依次连接起来.

加深对概念的

(三)、识函数的图象

认识理解，感

1.这个图是自动测温仪记录的图象，它反映了我们地受生活中无.所

区春季某天气温T随时间t变化而变化的规律.不在的数学.

通过图象进一步

认识函数意义.

体会图象的直观

性、优越性及变化趋从两个变

势.量的对应关系

上认识函数，

教师指导学一生找

体会函数意

出一天内最高、最低气

义；找出一天

温及时间；在某些时间

你从图象中能得到什么信息？内最高、最低

段的变化趋势；认识图

学生回答：气温及时间；

象的直观性及优缺点；

(1)这一天中凌晨4时气温最低为-3℃,14时气温最高在某些时间段

总结变化规律.

为8℃.的变化趋势；

(2)从0时至4时气温呈下降状态，即温度随时间的认识图象的直

增加而下降.从4时至14时气温呈上升状态，从14时至观性及优缺

24时气温又呈下降状态.点；总结变化

(3)一天中每时刻t都有唯一的气温T与之对应.可以规律…….提

认为，气温T是时间t的函数.高对图象的分

(4)我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及析能力、认识

任一时刻的气温大约是多少.水平.

(5)气温为时大约是哪一时刻.掌握函数

L三、课堂训练|变化规律.

(-).下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米

地锄草，然后回家.其中x表示时间，y表示小明离他家

教师提出问题，学生思

的距离.

考并回答.

教师播放课件出示问

题，通过课件演示整个

过程.

进一步提

高识图能力.

根据图象回答下列问题：教师提出问题，引

1.菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时导学生分析图象、寻找

间？图象信息，特别是图象

2.小明给菜地浇水用了多少时间？中有两段平行于X轴

3.菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多的线段的意义，学生在

少时间？教师引导下，积极思

按要求从

4.小明给玉米地锄草用了多长时间？考、探求答案.教师对

图象中挖掘所

5.玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家平均学生完成情况，点评指

需信息，并得

速度.是多少？正.

出结论.

归纳解答函数图象题主要步骤如下：

1.了解横、纵轴的意义

归纳解答函数图象题

2.从函数图象上判定函数与自变量的关系

主要步骤.

3.抓住特殊点的实际意义

一看坐标轴，二看特殊点，三看变化趋势；四看如果.回顾知识点，

有两个图象就看交点。做到整体认

识，突出方法

（二）教材104页练习2

总结，使学生

I四、小结归纳I

掌握解题规

1.画函数的图象一般步骤：列表、描点、连线.

律.

2.解答函数图象问题主要步骤.

3.解答图象信息题主要运用数形结合思想和分类讨论巩固深化,提

思想，化图.像信息为数字信息.高所学知识.

五、作业设计

（-）教材86页6题

（二）1.已知点（1,0）,（0,-1）,（2,-1）,（-1,2）,

教师总结本节课

其中在函数片-底1的图象上的点有__________________.

2.已知函数①y=,，②y=5x—3,③y=gx，④所学内容，总结用画函

数的图象一般步骤；解

），=——2x+l,©y^41x,其中图象经过原点的有—答函数图象问题主要

步骤

个.

3.若点（a,6）在函数片3x的的图象上，则a=__.

4.若函数%A.•针5的图象经过（1,-2）,则依__.

5.某人进行登山活动，从山脚到山顶，休息一会儿又沿原

路返回。若用横轴表示时间t,纵轴表示与山脚距离力，那

么反映全程力与t的关系的图是（）

kkhk巩固所学知识.

A.HC.D.

6.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s（米）与所用时间t

（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（）

A.甲比乙先出发，竺匕…？

B..乙比甲跑的路程多力^

C.甲先到达终点j

D.甲、乙两人的速度相同*01南

7.“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：“领先的兔子看着

缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当醒来时，发现

乌龟快到达终点了，于是，急忙追赶，但为时已晚，乌龟

还是先到达了终点.……”用S“S2分别表示乌龟和兔子的

行程，匕为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的图象是

（）

A.B.C.D.

8.小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了

一会报后，继续散步了一段时间，然后回家.下面的图描述

了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t

（分）之间的函数关系。请你有条理地具体说明小明散步

的情况。

mILJAl\

0246810121416f（分）

板书设计

课题画函数图象的一般步骤解答函数图象问题主要步骤

19.1.3函数的图像1、列表一看坐标轴，二看特殊点，三看

函数的图象概念2、描点变化趋势：四看如果有两个图象

自变量—横坐标3、连线就看交点.

函数值--纵坐标数形结合思想数形结合思想和分类讨论思想，

化图象信息为数字信息.

教学反思

19.1.3函数的图象

新

年级八年级课题19.1.3函数的图象课型

授

教学媒体多媒体

1.了解函数的图象概念

知识2.学会用列表、描点、连线画函数的图象，

教

技能3.学会观察、分析函.数图象，提高识图能力、分析函数图象信息能力，

4.学会如何使用这种工具讨论函数.

学

经历了画函数的图象探索过程，通过观察、操作、分析、发现、探究的过程，培

目过程

养学生的观察、分析能力和动手操作能力，体会数形结合的思想和分类讨论的思

方法

想.

标

情感通过对函数的图象的学习，感受生活中的问题能以几何形式直观形象地表示变量

态度间的单值对应关系，培养学生热爱数学.

教学重点函数的图象意义和画法，会识函数图像.

理解函数图象上的点的坐标与函数解析式中的变量的对应关系，正确识函数的图

教学难点

象.

教学过程设计

教学程序及教学内容师生行为设计意图

一、情境引入

问题我校想建一个正方形的花坛.•面积S随边长X教师提出问题，学生思解决实际问题

考，回答，并交流，师

变化而变化，请你写出函数关系式，并确定自变量的取值从解析式上反

生观点达成一致.

范围.映S随X变化

面积S与边长X的函数关系式为：而变化

s=x2（x>0）

从式子s=x2来看，边长X越大，面积S也越大。能不能

用图象直观形象的反映出来呢？

二、探究新矢1

（一）、函数的图象的意义教师给出函数的

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对图象定义，学生齐读.

对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由如何画图，用

这些点组成的图形，就是这个函数的图象.教师提出问题，学描点法画图分

（二）如何画出函数s=x2（x>0）的图象？生思考怎样画函数图几步.

象，并回答.

从X的取值范围中选取一些数值，算出S的对应值.即

通过实际操

列表.

作，感受函数

X…0.511.522.53・・・

图象，直观的

•・・・・・

S0.2512.2546.259反映函数和自

自变量X的一个确定值与它所对应的唯一的函数值S变量的关系，

是否确定一个点（X,S）呢？以及函数的变

把X的值作为横坐标，S的对应值作为纵坐标在平面化趋势.理解

函数图象可以

直角坐标系中，将上面表格中各对数值所对应的点画出

来.即描点.体现数形结合.

按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲的思想.

线连接起来.即连线.

归纳：描点法画函数的图象一般步骤：

1、列表：列出自变量与函数的对应值表.注意：自变量的

师生共同归纳用

值(满足取值范围)，并取适当.描点.法画函数的图象

2、描点：建立直角坐标系，以自变量的值.为横坐标，相应一般步骤和体现数形

的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点.结合思想.教师板书.

3、连线：按照横坐标从小到大的顺序把描出的点用平滑曲

线依次连接起来.

加深对概念的

(三)、识函数的图象

认识理解，感

1.这个图是自动测温仪记录的图象，它反映了我们地受生活中无.所

区春季某天气温T随时间t变化而变化的规律.不在的数学.

通过图象进一步

认识函数意义.

体会图象的直观

性、优越性及变化趋从两个变

势.量的对应关系

上认识函数，

教师指导学一生找

体会函数意

出一天内最高、最低气

义；找出一天

温及时间；在某些时间

你从图象中能得到什么信息？内最高、最低

段的变化趋势；认识图

学生回答：气温及时间；

象的直观性及优缺点；

(1)这一天中凌晨4时气温最低为-3℃,14时气温最高在某些时间段

总结变化规律.

为8℃.的变化趋势；

(2)从0时至4时气温呈下降状态，即温度随时间的认识图象的直

增加而下降.从4时至14时气温呈上升状态，从14时至观性及优缺

24时气温又呈下降状态.点；总结变化

(3)一天中每时刻t都有唯一的气温T与之对应.可以规律…….提

认为，气温T是时间t的函数.高对图象的分

(4)我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及析能力、认识

任一时刻的气温大约是多少.水平.

(5)气温为时大约是哪一时刻.掌握函数

L三、课堂训练|变化规律.

(-).下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米

地锄草，然后回家.其中x表示时间，y表示小明离他家

教师提出问题，学生思

的距离.

考并回答.

教师播放课件出示问

题，通过课件演示整个

过程.

进一步提

高识图能力.

根据图象回答下列问题：教师提出问题，引

1.菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时导学生分析图象、寻找

间？图象信息，特别是图象

2.小明给菜地浇水用了多少时间？中有两段平行于X轴

3.菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多的线段的意义，学生在

少时间？教师引导下，积极思

按要求从

4.小明给玉米地锄草用了多长时间？考、探求答案.教师对

图象中挖掘所

5.玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家平均学生完成情况，点评指

需信息，并得

速度.是多少？正.

出结论.

归纳解答函数图象题主要步骤如下：

1.了解横、纵轴的意义

归纳解答函数图象题

2.从函数图象上判定函数与自变量的关系

主要步骤.

3.抓住特殊点的实际意义

一看坐标轴，二看特殊点，三看变化趋势；四看如果.回顾知识