江西省鄱阳县第二中学2024届数学高二下期末学业质量监测模拟试题含解析

江西省鄱阳县第二中学2024届数学高二下期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．将点的极坐标化成直角坐标是(

)A． B． C． D．2．已知函数的图象关于原点中心对称，则A．1 B． C． D．23．函数的大致图象为（）A． B． C． D．4．已知，，，则的大小关系为()．A． B． C． D．5．倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点（点，分别位于轴的左、右两侧），，则的值是（）A． B． C． D．6．设实数满足约束条件，则的最大值为()A． B．1 C．6 D．97．若函数在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()A．[1，＋∞) B．[，2) C．[1,2) D．[1，)8．有位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插入另外位同学，但是不能改变原来的位同学的顺序，则所有排列的种数为（）A． B． C． D．9．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,且，则直线与直线夹角的余弦值为（）A． B． C． D．10．曲线在处的切线斜率是()A． B． C． D．11．设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（）.A．垂直 B．平行C．直线在平面内 D．直线在平面内或平行12．展开式中x2的系数为（）A．15 B．60 C．120 D．240二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”外接球表面积为________14．若曲线在矩阵对应的变换下变为一个椭圆，则椭圆的离心率为____.15．多项式的展开式中，含项的系数是________.16．已知点M抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，点A在圆上，则的最小值________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）函数在上是减函数，求实数a的取值范围.18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.19．（12分）某高中高二年级1班和2班的学生组队参加数学竞赛，1班推荐了2名男生1名女生，2班推荐了3名男生2名女生.由于他们的水平相当，最终从中随机抽取4名学生组成代表队.（Ⅰ）求1班至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）设表示代表队中男生的人数，求的分布列和期望.20．（12分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：年份x20112012201320142015储蓄存款y（千亿元）567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表2：时间代号t12345z01235（Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y关于x的回归方程；（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？（附：对于线性回归方程，其中）21．（12分）设函数（）.(Ⅰ)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)求证:，并求等号成立的条件.22．（10分）对于给定的常数,设随机变量.（1）求概率.①说明它是二项式展开式中的第几项；②若,化简：；（2）设，求，其中为随机变量的数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】本题考查极坐标与直角坐标的互化由点M的极坐标，知极坐标与直角坐标的关系为，所以的直角坐标为即故正确答案为A2、B【解题分析】

由函数的图象关于原点对称可得函数是奇函数，由恒成立可得，从而可得结果．【题目详解】函数图象关于原点对称，函数是奇函数，则得，即，即，得，故选B．【题目点拨】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.3、B【解题分析】分析：利用函数的解析式，判断大于时函数值的符号，以及小于时函数值的符号，对比选项排除即可.详解：当时，函数，排除选项；当时，函数，排除选项，故选B.点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.4、A【解题分析】

利用指数函数、对数函数的性质求解．【题目详解】显然，，，，因此最大，最小，故选A.【题目点拨】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数性质的合理运用．5、D【解题分析】

设，则，由抛物线的定义，得，，进而可求BE、AE，最后由可求解.【题目详解】设，则A、B两点到准线的距离分别为AC、BD，由抛物线的定义可知：，过A作，垂足为E..故选：D【题目点拨】本题考查了抛物线的定义，考查了转化思想，属于中档题.6、D【解题分析】

作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图像求得结果【题目详解】解：画出实数满足约束条件表示的可行域，由得，则表示直线在轴上的截距，截距越大，越大，作出目标函数对应的直线由图可知将直线向上平移，经过点时，直线的截距最大，由，得点的坐标为所以的最大值为故选：D【题目点拨】此题考查画不等式组表示的平面区域，考查数形结合求函数的最值.7、D【解题分析】

利用导数研究函数的极值性，令极值点属于已知区间即可.【题目详解】所以时递减，时，递增，是极值点，因为函数在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，所以，即，故选:D.【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的极值，其中考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.8、C【解题分析】

将问题转化为将这个同学中新插入的个同学重新排序，再利用排列数的定义可得出答案．【题目详解】问题等价于将这个同学中新插入的个同学重新排序，因此，所有排列的种数为，故选C.【题目点拨】本题考查排列问题，解题的关键就是将问题进行等价转化，考查转化与化归数学思想的应用，属于中等题．9、A【解题分析】

设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝10、C【解题分析】

根据已知对求导，将代入导函数即可.【题目详解】∵y′=(cosx)′=-sinx，∴当时，.故选C.【题目点拨】本题考查利用导数求切线斜率问题，已知切点求切线斜率问题，先求导再代入切点横坐标即可，属于基础题.11、D【解题分析】∵直线的一个方向向量，平面的一个法向量∴∴直线在平面内或平行故选D.12、B【解题分析】

∵展开式的通项为，令6-r=2得r=4，∴展开式中x2项为，所以其系数为60,故选B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由三视图还原几何体,可知该几何体为四棱锥,底面ABCD为矩形,.求出PC长度,可得四棱锥外接球的半径,代入球的表面积公式即可求得.【题目详解】由三视图还原几何体如图,该几何体为四棱锥,底面ABCD为矩形,,该几何体外接球的半径为.该“阳马”外接球表面积为.故答案为:.【题目点拨】本题考查三视图还原几何体,考查几何体外接球的表面积,难度较易.14、.【解题分析】

在曲线上任取一点，得出，由变换得出，代入方程可得出椭圆方程，由此可计算出椭圆的离心率.【题目详解】在曲线上任取一点，得出，①设点经过变换后对应的点的坐标为，由题意可得，则有，即，代入②式得，则，，，因此，椭圆的离心率为，故答案为.【题目点拨】本题考查坐标变换，考查相关点法求轨迹方程，同时也考查了椭圆离心率的求解，解题的关键就是利用相关点法求出轨迹方程，考查运算求解能力，属于中等题.15、200【解题分析】

根据题意，由二项式定理可得，的通项公式为，令，求出对应的值即可求解.【题目详解】根据题意，由二项式定理可得，的通项公式为，当时，可得，当时，可得，所以多项式的展开式中，含的项为，故多项式的展开式中，含项的系数为.故答案为：【题目点拨】本题考查利用二项式定理求二项展开式中某项的系数；考查运算求解能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.16、3【解题分析】

由题得抛物线的准线方程为，过点作于，根据抛物线的定义将问题转化为的最小值，根据点在圆上，判断出当三点共线时，有最小值，进而求得答案.【题目详解】由题得抛物线的准线方程为，过点作于，又，所以，因为点在圆上，且，半径为，故当三点共线时，，所以的最小值为3.故答案为：3【题目点拨】本题主要考查了抛物线的标准方程与定义，与圆有关的最值问题，考查了学生的转化与化归的思想.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)减区间为（0，），（1，+∞），增区间为（，1）；(2)【解题分析】分析：（1）求导得，得到减区间为（0，），（1，+∞），增区间为（，1）；（2），在x∈（2，4）上恒成立，等价于上恒成立，即可求出实数a的取值范围详解：（1）函数的定义域为（0，+∞），在区间（0，），（1，+∞）上f′（x）＜0.函数为减函数；在区间（，1）上f′（x）＞0.函数为增函数.（2）函数在（2，4）上是减函数，则，在x∈（2，4）上恒成立.实数a的取值范围点睛：本题考查导数的综合应用．导数的基本应用就是判断函数的单调性，，单调递增，，单调递减．当函数含参时，则一般采取分离参数法，转化为已知函数的最值问题，利用导数求解.18、（1）：，：；（2），此时.【解题分析】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.试题解析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．19、（I）（II）见解析【解题分析】

（Ⅰ）用1减去没有1班同学入选的概率得到答案.（Ⅱ）的所有可能取值为1，2，3，4，分别计算对应概率得到分布列，再计算期望.【题目详解】（I）设1班至少有1名学生入选代表队为事件则（II）的所有可能取值为1，2，3，4，，，.因此的分布列为1234.【题目点拨】本题考查了概率的计算，分布列和数学期望，意在考查学生的应用能力和计算能力.20、（Ⅰ）（Ⅱ）(Ⅲ)1.6千亿元【解题分析】试题分析：（I）将数据代入回归直线方程的计算公式，由此计算的回归直线方程为；（II），，代入得到；（III）将代入上式，求得存款为千亿.试题解析：（I），，，，（II），，代入得到：，即（III），预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达1．6千亿元考点：回归分析.21、(Ⅰ)(Ⅱ)见证明【解题分析】

(Ⅰ)把代入不等式中，利用零点进行分类讨论，求解出不等式的解集；(Ⅱ)证法一：对函数解析式进行变形为，，显然当时，函数有最小值，最小值为，利用基本不等式，可以证明出，并能求出等号成立的条件；证法二：利用零点法把函数解析式写成分段函数形式，求出函数的单调性，最后求出函数的最小值，以及此时的的值.【题目详解】解:(Ⅰ)当时，原不等式等价于，当时，，解得当时，，解得当时，，无实数解原不等式的解集为(Ⅱ)证明:法一:，当且仅当时取等号又，当且仅