2024届湖南省涟源一中数学高二下期末联考模拟试题含解析

2024届湖南省涟源一中数学高二下期末联考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一个盒子里有7个红球，3个白球，从盒子里先取一个小球，然后不放回的再从盒子里取出一个小球，若已知第1个是红球的前提下，则第2个是白球的概率是（）A． B． C． D．2．已知二项式的展开式的第二项的系数为，则（）A． B． C．或 D．或3．如图，由函数的图象，直线及x轴所围成的阴影部分面积等于（）A． B．C． D．4．在椭圆中，分别是其左右焦点，若，则该椭圆离心率的取值范围是()A． B． C． D．5．已知抛物线上一动点到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值为，F是抛物线的焦点，是坐标原点，则的内切圆半径为A． B． C． D．6．有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为()A．18 B．15 C．16 D．257．用反证法证明命题：“若，且，则a，b全为0”时，要做的假设是（）A．且 B．a，b不全为0C．a，b中至少有一个为0 D．a，b中只有一个为08．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（）A． B． C． D．9．求函数的值域（）A．[0，+∞） B．[，+∞） C．[，+∞） D．[，+∞）10．设是平面内的两条不同直线，是平面内两条相交直线，则的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．11．若对任意实数，有，则（）A． B． C． D．12．下列命题是真命题的为（）A．若,则 B．若,则C．若,则 D．若,则二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中常数项等于____________.14．三角形中，是边上一点，，，且三角形与三角形面积之比为，则__________．15．已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线：，则直线的方程为__________．16．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)若直线为函数的切线，求的最小值.18．（12分）已知函数当时，求函数的极值；求函数的单调递增区间；当时，恒成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数的最小值为M.（1）求M；（2）若正实数，，满足，求：的最小值.20．（12分）如图为某一几何体的展开图，其中是边长为的正方形，，点及共线.(1)沿图中虚线将它们折叠起来，使四点重合，请画出其直观图，试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为的正方体?(2)设正方体的棱的中点为，求平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值.(3)在正方体的边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21．（12分）已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四个点,且向量对应的复数分别为z1,z2.(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;(2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求a,b的值.22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），将圆上每一个点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线.（1）求直线的普通方程及曲线的参数方程；（2）设点在直线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的直角坐标.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：设已知第一次取出的是红球为事件，第二次是白球为事件，先求出的概率，然后利用条件概率公式进行计算即可．详解：设已知第一次取出的是红球为事件，第二次是白球为事件．

则由题意知，所以已知第一次取出的是白球，则第二次也取到白球的概率为．

故选：B．点睛：本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键．2、A【解题分析】分析：根据第二项系数，可求出；由定积分基本性质，求其原函数为，进而通过微积分基本定理求得定积分值。详解：展开式的第二项为所以系数，解得所以所以选A点睛：本题考查了二项式定理和微积分基本定理的综合应用，通过方程确定参数的取值，综合性强，属于中档题。3、A【解题分析】

试题分析：因为，=0时，x=1，所以，由函数的图象，直线及x轴所围成的阴影部分面积等于，故选A．考点：本题主要考查定积分的几何意义及定积分的计算．点评：简单题，图中阴影面积，是函数在区间[1,2]的定积分．4、B【解题分析】解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代入得|PF2|=根据椭圆的几何性质，|PF2|≥a-c，故≥a-c，即a≤3ce≥，又e＜1，故该椭圆离心率的取值范围故选B．5、D【解题分析】

由抛物线的定义将到准线的距离转化为到焦点的距离，到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值，也即为最小，当三点共线时取最小值．所以，解得，由内切圆的面积公式，解得．故选D．6、B【解题分析】名会唱歌的从中选出两个有种,名会跳舞的选出名有种选法,但其中一名既会唱歌又会跳舞的有一个,两组不能同时用他,共有种，故选B.7、B【解题分析】

根据反证法的定义，第一步要否定结论，即反设，可知选项.【题目详解】根据反证法的定义，做假设要否定结论，而a，b全为0的否定是a，b不全为0，故选B.【题目点拨】本题主要考查了反证法，命题的否定，属于中档题.8、B【解题分析】

由条件概率的定义，分别计算即得解.【题目详解】由题意事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有个事件由条件概率的定义：故选：B【题目点拨】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.9、D【解题分析】

设t，t≥0，则x＝t2+1，y＝2t2﹣t+2，由此再利用配方法能求出函数y＝2x的值域．【题目详解】解：设t，t≥0，则x＝t2+1，∴y＝2t2﹣t+2＝2（t）2，故选：D．【题目点拨】本题考查函数的值域的求法，是基础题，解题时要注意换元法的合理运用．10、B【解题分析】试题分析：A．不能得出，所以本题条件是的不充分条件；B．，当时，不一定有故本命题正确；C．不能得出，故不满足充分条件；D．不能得出，故不满足充分条件；故选B.考点：平面与平面垂直的方法.11、B【解题分析】分析：根据，按二项式定理展开，和已知条件作对比，求出的值，即可求得答案.详解：，且，.故选：B.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数.12、A【解题分析】试题分析：B若，则，所以错误；C．若，式子不成立．所以错误；D．若，此时式子不成立．所以错误，故选择A考点：命题真假二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据题意先计算，再用展开式的通项公式计算常数项.【题目详解】若的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等.当时为常数项，为故答案为：【题目点拨】本题考查了二项式的计算，先判断是解题的关键.14、【解题分析】分析：为的平分线，从而，根据余弦定理可得到，两者结合可解出并求出，在中，由余弦定理可求出的长度．详解：因为为的平分线，故．又，整理得，所以，故．又，故．填．点睛：（1）在中，若为的平分线（为上一点），则有；（2）在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．15、【解题分析】分析：用相关点法求解，设直线上的点为直线上的点为，所以，，代入直线的方程详解：设直线上的点为直线上的点为，直线在矩阵对应的变换作用下所以：，代入直线的方程整理可得直线的方程为。点睛：理解矩阵的计算规则和相互之间的转换。16、【解题分析】

由题意可得有两个不等实根，作出，，，的图象，结合导数求得极值，考虑极小值与的关系，计算可得所求范围．【题目详解】函数恰有2个零点，

可得有两个不等实根，

由的导数为，

当时，，当或时，，当时，，

可得处取得极大值，取得极小值，

且过，，作出，，，的图象，

以及直线，如图，此时与有两个交点,只需满足，即，又，所以，当时，在处取得极小值，取得极大值a，如图，

只需满足，解得，又，所以时，与有两个交点，当时，显然与有两个交点，满足题意，综上可得a的范围是，故答案为：.

【题目点拨】本题考查分段函数的图象和性质，考查导数的运用：求单调性和极值，考查图象变换，属于难题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析.(2).【解题分析】

（1）由即为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可得到结论；（2）求得函数的导数，设出切点，可得的值和切线方程，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解．【题目详解】(Ⅰ)证明：整理得令，当，，所以在上单调递增；当，，所以在上单调递减，所以，不等式得证.(Ⅱ)，设切点为，则，函数在点处的切线方程为，令，解得，所以，令，因为，，所以，，当，，所以在上单调递减；当，，所以在上单调递增，因为，.【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．18、（1）的极小值是，无极大值；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）.【解题分析】

代入a值，求函数的导数，解导数不等式得到函数的单调区间，即可求极值；求函数的导数，通过讨论a的范围，解导数不等式得函数的递增区间；问题转化为，令，根据函数的单调性求最大值，从而求a的范围．【题目详解】解：时，，，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在递增，而在处无定义，故的极小值是，无极大值；，当时，解得：或，故函数在，递增，当时，解得：，故函数在递增；，，令，则，，令，解得：，在递增，在递减，即，故．【题目点拨】本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，综合性较强．19、（1）（2）3.【解题分析】

将绝对值函数写成分段函数形式，分别求出各段的最小值，最小的即为函数的最小值。由（1）知，直接利用公式：平方平均数算数平均数，即可解出最小值。【题目详解】（1）如图所示∴(2)由（1）知∴∴∴∴当且仅当，是值最小∴的最小值为3.【题目点拨】本题考查绝对值函数及平方平均数与算数平均数的大小关系，属于基础题.20、（1）直观图见解析，3个；（2）；（3）不存在．【解题分析】

（1）先还原为一个四棱锥，在正方体中观察；（2）延长与延长线交于点，连接，则为平面与平面的交线，作出二面角的平面角，计算即可；（3）假设点存在，作出点到平面的垂线段，然后计算的长，若，则点在边上，否则不在边上．【题目详解】（1）图1图1左边是所求直观图，放到图1右边正方体中，观察发现要3个这样的四棱锥才能拼成一个正方体．（2）图2如图（2）延长与延长线交于点，连接，则为平面与平面的交线，作于，连接，∵平面，平面，∴，又，∴平面，∴，∴是二面角的平面角．∵，是中点，即，∴是中点，正方体棱长为6，∴，，中，，．（3）假设存在点满足题意，图3如图3，作于，∵平面，∴，而，∴平面．的长就是点到平面的距离．．∴，由，得，∴∽，∴，，不在线段上，∴假设错误，满足题意的点不存在．【题目点拨】本题考查多面体的展开图，考查二面角、点到平面的距离．立体几何中求角时要作出这个角的“平面角”，并证明，然后计算．点到平面的距离可能通过作以平面的垂线段计算，也可通过体积法求解．21、（1）；（2）【解题分析】

（1）向量对应的复数分别为，，利用，即可得出；（2）为实数，可得，即可得出结论.【题目详解】(1)∵=(a-1,-1),=(-3,b-3),∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i=1+i,∴a-4=1,b-4=1,解得a=b=5,∴z1=4-i,z2=-3+2i.(2)∵|z1+z2|=2,z1-z2为实数,z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i,∴=2,2-b=0,∴a=4,b=2.【题目点拨】本题主要考查复数的几何意义，复数的模以及