河北省磁县滏滨中学2024届高二数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

河北省磁县滏滨中学2024届高二数学第二学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数等于（）A． B． C．0 D．2．数学40名数学教师，按年龄从小到大编号为1,2，…40。现从中任意选取6人分成两组分配到A,B两所学校从事支教工作，其中三名编号较小的教师在一组，三名编号较大的教师在另一组，那么编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校的方法种数是A．220 B．440 C．255 D．5103．独立性检验中，假设:运动员受伤与不做热身运动没有关系.在上述假设成立的情况下，计算得的观测值.下列结论正确的是A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关C．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关4．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．将点的直角坐标化成极坐标为（）A． B． C． D．6．若|x﹣1|≤x|x+1|，则（）A．x1 B．x≤1 C．x1 D．x7．某市一次高二年级数学统测,经抽样分析,成绩近似服从正态分布,且,则()A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.58．设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．9．已知函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．10．给出下列三个命题:命题1：存在奇函数和偶函数,使得函数是偶函数；命题2：存在函数、及区间，使得、在上均是增函数,但在上是减函数；命题3：存在函数、（定义域均为），使得、在处均取到最大值，但在处取到最小值.那么真命题的个数是()．A． B． C． D．11．函数在处切线斜率为（）A． B． C． D．12．在等差数列中，若，，则（）A． B．1 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从2个男生、3个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是女生的概率是____.14．在数列中，，且．（1）求，，的值；（2）猜想数列的通项公式的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想.15．若函数有零点，则实数的取值范围是___________．16．某公司从甲、乙、丙、丁四名员工中安排了一名员工出国研学.有人询问了四名员工，甲说：好像是乙或丙去了.”乙说：“甲、丙都没去”丙说：“是丁去了”丁说：“丙说的不对.”若四名员工中只有一个人说的对，则出国研学的员工是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）假设某士兵远程射击一个易爆目标，射击一次击中目标的概率为，三次射中目标或连续两次射中目标，该目标爆炸，停止射击，否则就一直独立地射击至子弹用完．现有5发子弹，设耗用子弹数为随机变量X．（1）若该士兵射击两次，求至少射中一次目标的概率；（2）求随机变量X的概率分布与数学期望E(X)．18．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程；（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设为曲线上的动点，求点到曲线上的距离的最小值的值.19．（12分）已知矩阵.（1）求；（2）求矩阵的特征值和特征向量.20．（12分）已知函数.（1）讨论函数在上的单调性；（2）当时，若时，求证：.21．（12分）动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）设点，过点的直线交轨迹于两点，直线的斜率分别为，求的最小值．22．（10分）某蔬菜加工厂加工一种蔬菜，并对该蔬菜产品进行质量评级，现对甲、乙两台机器所加工的蔬菜产品随机抽取一部分进行评级，结果（单位：件）如表1：（1）若规定等级为合格等级，等级为优良等级，能否有的把握认为“蔬菜产品加工质量与机器有关”？（2）表2是用清水千克清洗该蔬菜千克后，该蔬菜上残留的农药微克的统计表，若用解析式作为与的回归方程，求出与的回归方程.（结果精确到）（参考数据：，，，.）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

直接化简得到答案.【题目详解】.故选：.【题目点拨】本题考查了复数的化简，属于简单题.2、D【解题分析】分析：根据题意，分析可得“编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校”，则除8,12,28之外的另外三人的编号必须都大于28或都小于8，则先分另外三人的编号必须“都大于28”或“都小于8”这两种情况讨论选出其他三人的情况，再将选出2组进行全排列，最后由分步计数原理计算可得答案.详解：根据题意，要确保“编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校”，则除8,12,28之外的另外三人的编号必须都大于28或都小于8，则分2种情况讨论选出的情况：①如果另外三人的编号都大于28，则需要在29—40的12人中，任取3人，有种情况；②如果另外三人的编号都小于8，则需要在1—7的7人中，任取3人，有种情况.即选出剩下3人有种情况，再将选出的2组进行全排列，有种情况，则编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校的方法种数是种.故选：D.点睛：本题考查排列组合的应用，解题的关键是分析如何确保“编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校”，进而确定分步，分类讨论的依据.3、A【解题分析】

先找到的临界值，根据临界值表找到犯错误的概率，即对“运动员受伤与不做热身运动没有关系”可下结论。【题目详解】，因此，在犯错误的概率不超过的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关，故选：A。【题目点拨】本题考查独立性检验，根据临界值表找出犯错误的概率是解这类问题的关键，考查运算求解能力，属于基础题。4、A【解题分析】

先化简复数，然后求其共轭复数，再利用复数的几何意义求解.【题目详解】因为复数，其共轭复数为，对应的点是，所以位于第一象限.故选：A【题目点拨】本题主要考查复数的概念及其几何意义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5、B【解题分析】分析：求出，且在第三象限，由此能将点M的直角坐标化成极坐标.详解：点M的直角坐标，，在第三象限，.将点M的直角坐标化成极坐标.故选B.点睛：极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(同除以)ρ等技巧．6、A【解题分析】

对按照，，进行分类讨论，分别解不等式，然后取并集，得到答案.【题目详解】①当时，，即，解得所以②当时，，即解得或所以③当时，，即解得所以综上所述，故选A项.【题目点拨】本题考查分类讨论解不含参的绝对值不等式，属于简单题.7、A【解题分析】

根据正态分布的对称性求出P（X≥90），即可得到答案．【题目详解】∵X近似服从正态分布N(84,σ2),.∴，故选：A.【题目点拨】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，抓住正态分布曲线的对称性即可解题，属于基础题.8、D【解题分析】令,则，设，令，，则，发现函数在上都是单调递增，在上都是单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点需满足，即．应选答案D。点睛：解答本题时充分运用等价转化与化归的数学思想，先将函数解析式中的参数分离出来，得到，然后构造函数，分别研究函数，的单调性，从而确定函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点等价于，即．使得问题获解。9、C【解题分析】

先判断出函数为奇函数且在定义域内单调递增，然后把不等式变形为，再利用单调性求解即可．【题目详解】由题意得，函数的定义域为R．∵，∴函数为奇函数．又根据复合函数的单调性可得，函数在定义域上单调递增．由得，∴，解得，∴不等式的解集为．故选C．【题目点拨】解答本题的关键是挖掘题意、由条件得到函数的奇偶性和单调性，最后根据函数的单调性求解，这是解答抽象不等式（即不知表达式的不等式）问题的常用方法，考查理解和应用能力，具有一定的难度和灵活性．10、D【解题分析】对于命题1，取，，满足题意；对于命题2，取，，满足题意；对于命题3，取，，满足题意；即题中所给的三个命题均为真命题，真命题的个数是.本题选择D选项.11、C【解题分析】分析：首先求得函数的导函数，然后结合导函数研究函数的切线即可.详解：由函数的解析式可得：，则，即函数在处切线斜率为.本题选择C选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12、C【解题分析】

运用等差数列的性质求得公差d，再运用通项公式解得首项即可．【题目详解】由题意知，所以.故选C.【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式的运用，等差数列的性质，考查运算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

基本事件总数n＝＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m＝＝7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率．【题目详解】解：从2个男生、3个女生中随机抽取2人，基本事件总数n＝＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m＝＝7，∴抽中的2人不全是女生的概率p＝．故答案为：．【题目点拨】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14、（1），，（2）（）．证明见解析【解题分析】

（1）利用递推式直接求：（2）猜想数列{an}的通项公式为（）用数学归纳法证明即可．【题目详解】解：（1）∵，且，∴，，．（2）猜想数列的通项公式为（）．用数学归纳法证明如下：①当时，左边，右边，因此，左边=右边．所以，当时，猜想成立．②假设（，）时，猜想成立，即，那么时，.所以，当时，猜想成立．根据①和②，可知猜想成立．【题目点拨】本题考查了数列中的归纳法思想及证明基本步骤，属于基础题．15、【解题分析】

变换得到，设，求导得到单调性，画出图像得到答案.【题目详解】由题可知函数的定义域为函数有零点，等价于有实数根，即，设，则.则函数在上单调递增，在上单调递减，且，画出图像，如图所示：根据图像知.故答案为：.【题目点拨】本题考查了利用导数研究零点，参数分离画出图像是解题的关键.16、甲【解题分析】

分别假设是甲、乙、丙、丁去时，四个人所说的话的正误，进而确定结果.【题目详解】若乙去，则甲、乙、丁都说的对，不符合题意；若丙去，则甲、丁都说的对，不符合题意；若丁去，则乙、丙都说的对，不符合题意；若甲去，则甲、乙、丙都说的不对，丁说的对，符合题意.故答案为：甲.【题目点拨】本题考查逻辑推理的相关知识，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2)分布列见解析，.【解题分析】分析：（1）利用对立事件即可求出答案；（2）耗用子弹数的所有可能取值为2，3，4，5，分别求出相应的概率即可.详解：（1）该士兵射击两次，至少射中一次目标的概率为.（2）耗用子弹数的所有可能取值为2，3，4，5.当时，表示射击两次，且连续击中目标，；当时，表示射击三次，第一次未击中目标，且第二次和第三次连续击中目标，；当时，表示射击四次，第二次未击中目标，且第三次和第四次连续击中目标，；当时，表示射击五次，均未击中目标，或只击中一次目标，或击中两次目标前四次击中不连续两次或前四次击中一次且第五次击中，或击中三次第五次击中且前四次无连续击中。；随机变量的数学期望.点睛：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题.18、(1)；.(2)当时，的最小值为.【解题分析】分析：（Ⅰ）利用三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式，把极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求得椭圆上到直线的距离为，可得的最小值，以及此时的的值，从而求得点的坐标.详解：（Ⅰ）由曲线（为参数），曲线的普通方程为：.由曲线，展开可得：，化为：.即：曲线的直角坐标方程为：.（Ⅱ）椭圆上的点到直线的距离为∴当时，的最小值为.点睛：本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.19、(1)(2)特征值为，，分别对应特征向量，．【解题分析】

（1）利用矩阵的乘法求得结果；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令，解方程可得特征值，再由特征值列出方程组求出相应的特征向量.【题目详解】(1)(2)矩阵的特征多项式，令得，时，，解得，取得时，解得，取得∴矩阵的特征值为，，分别对应特征向量，．【题目点拨】该题考查的是有关矩阵的问题，涉及到的知识点有矩阵的乘法，矩阵的特征值与特征向量，属于简单题目.20、（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）对求导后讨论的范围来判断单调性；（2）构造函数，借助得到，设，使得，设，根据该函数性质即可证明【题目详解】（1）由题意可知，，，（i）当时，恒成立，所以函数在上单调递增；（ii）当时，令，得，①当，即时，在上恒成立，所以函数在上单调递减；②当，即时，在上，，函数在上单调递增；在上，，函数在上单调递减.综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在