新疆喀什市深喀第一高级中学2024届高二数学第二学期期末监测试题含解析

新疆喀什市深喀第一高级中学2024届高二数学第二学期期末监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点，是抛物线：上的两点，且线段过抛物线的焦点，若的中点到轴的距离为2，则（）A．2 B．4 C．6 D．82．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A． B． C． D．3．在的展开式中，的系数为（）A．-10 B．20 C．-40 D．504．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成，则该几何体的表面积等于（）A． B． C． D．5．已知平面向量，则（）A． B．3 C． D．56．设为虚数单位，复数满足，则A．1 B． C．2 D．7．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2)，则实数a的值为A．5 B．3 C．53 D．8．小红和小明利用体育课时间进行投篮游戏，规定双方各投两次，进球次数多者获胜．已知小红投篮命中的概率为，小明投篮命中的概率为，且两人投篮相互独立，则小明获胜的概率为（）A． B． C． D．9．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知点P是双曲线上一点，若，则△的面积为（）A． B． C．5 D．1011．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种12．某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：有心脏病无心脏病秃发20300不秃发5450根据表中数据得，由断定秃发与患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为（）附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．0.1 B．0.05C．0.01 D．0.001二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知为虚数单位，则复数_______.14．若一个三位自然数的十位上的数字最大，则称该数为“凸数”（如，）.由组成没有重复数字的三位数，其中凸数的个数为_____个．15．已知双曲线，的焦点分别在轴，轴上，渐近线方程为，离心率分别为，．则的最小值为___________．16．已知，，，则向量与向量的夹角为_______________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数f(x)=axx2+1+a(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证:当a>0时,对于任意x1,x18．（12分）甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）用X表示比赛决出胜负时的总局数，求随机变量X的分布列和均值.19．（12分）已知复数满足（其中为虚数单位）（1）求；（2）若为纯虚数，求实数的值．20．（12分）（）．（1）当时，求的单调区间；（2）若，存在两个极值点，，试比较与的大小；（3）求证：（，）．21．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线，，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且，求的最大值．22．（10分）已知函数.求不等式的解集；若，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

利用抛物线的抛物线的定义写出弦长公式，利用中点横坐标来求得弦长.【题目详解】设，，则，而的中点的横坐标为，所以.故选C.【题目点拨】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线的定义和性质，考查运算求解能力和化归与转化的数学思想.2、B【解题分析】设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.3、C【解题分析】分析：根据二项式展开式的通项求的系数.详解：由题得的展开式的通项为令5-r=2,则r=3,所以的系数为故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和基本计算能力.(2)二项式通项公式：（）.4、D【解题分析】

由三视图可知，该几何体由上下两部分组成，下面是一个底面边长为的正方形，高为的直四棱柱，上面是一个大圆与四棱柱的底面相切的半球，据此可以计算出结果.【题目详解】解：由三视图可知，该几何体由上下两部分组成，下面是一个底面边长为的正方形，高为的直四棱柱，上面是一个大圆与四棱柱的底面相切的半球.表面积.故选：D.【题目点拨】本题考查三视图求解几何体的表面积，属于基础题.5、A【解题分析】

先由的坐标，得到的坐标，进而可得向量的模.【题目详解】因为，所以，因此.故选A【题目点拨】本题主要考查向量的模，熟记向量的坐标表示即可，属于常考题型.6、B【解题分析】

利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可．【题目详解】由，得，，故选．【题目点拨】本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算．7、D【解题分析】

根据正态分布的特征，可得2a-3+a+2=6，求解即可得出结果.【题目详解】因为随机变量ξ服从正态分布N3,4，P根据正态分布的特征，可得2a-3+a+2=6，解得a=7故选D【题目点拨】本题主要考查正态分布的特征，熟记正态分布的特征即可，属于基础题型.8、D【解题分析】

由题意可知，用表示小明、小红的进球数，所以当小明获胜时，进球情况应该是，由相互独立事件同时发生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，即可求得。【题目详解】由题意可知，用表示小明、小红的进球数，所以当小明获胜时，进球情况应该是，小明获胜的概率是故选D。【题目点拨】本题主要考查相互独立事件同时发生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式的应用，意在考查学生分类讨论思想意识以及运算能力。9、D【解题分析】取，则，但，故；取，则，但是，故，故“”是“”的既不充分也不必要条件，选D.10、C【解题分析】设，则：，则：，由勾股定理可得：，综上可得：则△的面积为：.本题选择C选项.点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．11、B【解题分析】5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B．12、D【解题分析】

根据观测值K2，对照临界值得出结论．【题目详解】由题意，，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为.故选D．【题目点拨】本题考查了独立性检验的应用问题，理解临界值表格是关键，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由复数乘法法则即可计算出结果【题目详解】.【题目点拨】本题考查了复数的乘法计算，只需按照计算法则即可得到结果，较为简单14、8【解题分析】

根据“凸数”的特点，中间的数字只能是3,4，故分两类，第一类，当中间数字为“3”时，第二类，当中间数字为“4”时，根据分类计数原理即可解决.【题目详解】当中间数字为“3”时，此时有两个（132,231），当中间数字为“4”时，从123中任取两个放在4的两边，有种，则凸数的个数为个.【题目点拨】本题考查分类计数原理，属于基础题.15、【解题分析】

根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得，，再利用基本不等式求解即可.【题目详解】解：由渐近线方程为可知，，,，，.第一次取等号的条件为，即，第二次取等号的条件为，即.的最小值为.故答案为：.【题目点拨】本题考查双曲线的方程和基本性质，离心率的求法，基本不等式的应用，属于中档题.16、【解题分析】

由条件利用两个向量垂直的性质,两个向量的数量积的定义，求得向量与向量的夹角的余弦值,可得向量与向量的夹角的值.【题目详解】由题意可得，即,为向量与向量的夹角），求得，故答案为.【题目点拨】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）当a>0时,f(x)的单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为(-∞,-1),(1,+∞)；当a<0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单调递减区间为(-1,1)；（2）详见解析.【解题分析】试题分析：（I）首先求出函数f(x)的导数，对字母a进行分类讨论，根据f'(x)>0，可知f(x)函数单调递增，f'(x)<0时f(x)函数单调递减可得答案．（Ⅱ）要证当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g(x1)＜f(x试题解析解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为R，f'当a>0时，当x变化时，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'-

0

+

0

-

f(x)

↘

↗

↘

当a<0时，当x变化时，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'+

0

-

0

+

f(x)

↗

↘

↗

综上所述，当a>0时，f(x)的单调递增区间为(-1,1)，单调递减区间为(-∞,-1)，(1,+∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)，(1,+∞)，单调递减区间为(-1,1).5分（2）由（1）可知，当a>0时，f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)>f(0)；f(x)在(1,e]上单调递减，且f(e)=aee2+1+a>a.所以x∈(0,e]时，f(x)>a令g'(x)=0，得①当0<a<e时，由g'(x)>0，得0<x<a；由g'所以函数g(x)在(0,a)上单调递增，在(a,e]上单调递减.所以g(x)因a-(alna-a)=a(2-lna)>a(2-ln②当a≥e时，g'(x)≥0在所以函数g(x)在(0,e]上单调递增，g(x)所以对于任意x1,x综上所述，对于任意x1,x考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.函数单调性的性质．18、（1）；（2）分布列见解析，.【解题分析】

（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列以及数学期望．【题目详解】用A表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，表示“第k局甲获胜”，表示“第k局乙获胜”则，，.（1）.（2）X的所有可能取值为.，，，.∴X的分布列为X2345P∴【题目点拨】本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19、（1）；（2）.【解题分析】

(1)设，可得，解得从而可得结果；(2)由（1）知，利用为纯虚数可得，从而可得结果.【题目详解】（1）设，由于则：解得：（2）由（1）知又为纯虚数，【题目点拨】本题主要考查的是复数的分类、复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.20、（1）递减，递增（2）（3）详见解析【解题分析】试题分析：（1）求出函数的定义域，求出导数，求得单调区间，即可得到极值；（2）求出导数，求得极值点，再求极值之和，构造当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+-2，运用导数，判断单调性，即可得到结论；（3）当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+-2＞0恒成立，即lnt+-1＞0恒成立，设t=（n≥2，n∈N），即ln+n-1＞0，即有n-1＞lnn，运用累加法和等差数列的求和公式及对数的运算性质，即可得证试题解析：（Ⅰ），定义域，，递减，递增（Ⅱ），，，，，（也可使用韦达定理）设，当时，，当时，，在上递减，，即恒成立综上述（Ⅲ）当时，恒成立，即恒成立设，即，考点：利用导数研究函数的极值；导