湖南省名校联盟2024届数学高二第二学期期末达标检测模拟试题含解析

湖南省名校联盟2024届数学高二第二学期期末达标检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．证明等式时，某学生的证明过程如下（1）当n=1时，，等式成立；（2）假设时，等式成立，即，则当时，，所以当时，等式也成立，故原式成立.那么上述证明（）A．过程全都正确 B．当n=1时验证不正确C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确2．已知随机变量，若，则（）A． B． C． D．3．利用数学归纳法证明不等式的过程，由到时，左边增加了（）A．1项 B．项 C．项 D．项4．如图，分别为棱长为的正方体的棱的中点，点分别为面对角线和棱上的动点，则下列关于四面体的体积正确的是（）A．该四面体体积有最大值，也有最小值 B．该四面体体积为定值C．该四面体体积只有最小值 D．该四面体体积只有最大值5．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积(结果保留π)为A． B．C． D．6．已知曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C．3 D．7．设为虚数单位，则复数()A． B． C． D．8．已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含项的系数是（）A．-40 B．-20 C．20 D．409．如图，在菱形ABCD中，，线段AD，BD，BC的中点分别为E，F，K，连接EF，FK．现将绕对角线BD旋转，令二面角A－BD－C的平面角为，则在旋转过程中有（）A． B． C． D．10．已知函数，则（）A．函数的最大值为，其图象关于对称B．函数的最大值为2，其图象关于对称C．函数的最大值为，其图象关于直线对称D．函数的最大值为2，其图象关于直线对称11．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A．8 B．4 C．6 D．312．，，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的二项展开式中含的项的系数是________.14．关于的方程的两个根，若，则实数__________．15．已知向量与，则的最小值是__________.16．.若,且,则__________________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.（1）当时，若，，求函数在闭区间上的值域；（2）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.18．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：附：的观测值（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？请说明理由.19．（12分）已知数列的前项和满足，且。（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和。20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半粙为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.设点极坐标为，且，，.（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）①求点的直角坐标；②若直线与曲线交于，两点，求.21．（12分）某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.①②③（是虚数单位）（Ⅰ）从三个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据三个式子的结构特征及（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.22．（10分）已知的展开式中第三项与第四项二项式系数之比为．（1）求；（2）请答出展开式中第几项是有理项，并写出推演步骤（有理项就是的指数为整数的项）．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】分析：由题意结合数学归纳法的证明方法考查所给的证明过程是否存在错误即可.详解：考查所给的证明过程：当时验证是正确的，归纳假设是正确的，从到的推理也是正确的，即证明过程中不存在任何的问题.本题选择A选项.点睛：本题主要考查数学归纳法的概念及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2、D【解题分析】

由二项分布的期望公式，可计算得，由，即得解.【题目详解】由题意随机变量，由二项分布的期望公式，可得故选：D【题目点拨】本题考查了二项分布的期望公式及概率公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.3、D【解题分析】

分别计算和时不等式左边的项数，相减得到答案.【题目详解】时，不等式左边：共有时，：共有增加了故答案选D【题目点拨】本题考查了数学归纳法的项数问题，属于基础题型.4、D【解题分析】

易证，从而可推出面积为定值，则只需研究点到平面的距离的取值范围即可得到四面体体积的取值范围【题目详解】分别为棱长为的正方体的棱的中点，所以，又，故点到的距离为定值，则面积为定值，当点与点重合时，为平面构不成四面体，故只能无限接近点，当点与点重合时，有最大值，体积有最值，所以四面体体积有最大值，无最小值故选D【题目点拨】本题主要考查了四面体体积的判断，运动中的定量与变量的分析，空间想象与转化能力，属于中档题5、C【解题分析】分析：上面为球的二分之一，下面为长方体．面积为长方体的表面积与半球的面积之和减去半球下底面面积.详解：球的半径为1，故半球的表面积的公式为，半球下底面表面积为长方体的表面积为24，所以几何体的表面积为．点睛：组合体的表面积，要弄懂组合体的结构，哪些被遮挡，哪些是切口．6、A【解题分析】

将点代入双曲线的渐近线方程，由此求得的值，进而求得双曲线的离心率.【题目详解】双曲线的一条渐近线方程为，将点代入双曲线的渐近线方程得，，故，故选A.【题目点拨】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的离心率的求法，属于基础题.7、D【解题分析】

由复数的乘除运算即可求得结果【题目详解】故选【题目点拨】本题主要考查了复数的除法运算，解题的关键是要掌握复数四则运算法则，属于基础题。8、D【解题分析】

由题意先求得a＝﹣1，再把（2x+a）5按照二项式定理展开，即可得含x3项的系数．【题目详解】令x＝1，可得（x+1）（2x+a）5的展开式中各项系数和为2•（2+a）5＝2，∴a＝﹣1．二项式（x+1）（2x+a）5＝（x+1）（2x﹣1）5＝（x+1）（32x5﹣80x4+80x3﹣40x2+10x﹣1），故展开式中含x3项的系数是﹣40+80＝40故选D．【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9、B【解题分析】

首先根据旋转前后的几何体，表示和，转化为在两个有公共底边的等腰三角形比较顶角的问题，还需考虑和两种特殊情况.【题目详解】如图，绕旋转形成以圆为底面的两个圆锥，(为圆心，为半径，为的中点)，，，当且时，与等腰中，为公共边，，,.当时，,当时，,综上，。C.D选项比较与的大小关系，如图即比较与的大小关系，根据特殊值验证：又当时，,当时，，都不正确.故选B.【题目点拨】本题考查了二面角的相关知识，考查空间想象能力，难度较大，本题的难点是在动态的旋转过程中，如何转化和，从而达到比较的目的，或考查和两种特殊情况，可快速排除选项.10、D【解题分析】分析：由诱导公式化简函数，再根据三角函数图象与性质，即可逐一判断各选项.详解：由诱导公式得，，排除A，C.将代入，得，为函数图象的对称轴，排除B.故选D.点睛：本题考查诱导公式与余弦函数的图象与性质，考查利用余弦函数的性质综合分析判断的能力.11、D【解题分析】

设点、，由，可计算出点的横坐标的值，再利用抛物线的定义可求出.【题目详解】设点、，易知点，，，，解得，因此，，故选D.【题目点拨】本题考查抛物线的定义，解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标，考查计算能力，属于中等题．12、B【解题分析】

利用同角三角函数的平方关系计算出的值，再利用诱导公式可得出的值.【题目详解】，，且，由诱导公式得，故选B.【题目点拨】本题考查同角三角函数的平方关系，同时也考查了诱导公式的应用，在利用同角三角函数基本关系求值时，先要确定角的象限，确定所求三角函数值的符号，再结合相应的公式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、60【解题分析】

，令即可.【题目详解】二项式展开式的通项为，令，得，故的项的系数是60.故答案为：60【题目点拨】本题考查求二项展开式中的特定项的系数问题，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.14、【解题分析】分析：根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p的值．详解：当，即或，由求根公式得，得当，即，由求根公式得|得综上所述，或．

故答案为．点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题．15、【解题分析】

,所以，所以，故当时，的最小值是.考点：向量的模点评：本题考查向量的模的最值，解题的关键是能准确的表示出模的函数，再求解最值.16、1【解题分析】

首先求出函数的导数,再将代入导数,即可求出的值.【题目详解】

故答案为1.【题目点拨】本题考查了导数的运算,要准确掌握求导公式,对于简单题要细心.属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)见解析【解题分析】分析：（1）利用，分别求得函数在区间上的表达式，并求得其值域.（2）首先判断出值域相同.当时，利用求得的值，并利用周期性的定义证明得函数是周期为的周期函数.同理可证明当，函数也为周期函数.详解：（1）当时，，当时，即，由得，则，当时，即，由得，则，当时，即，由得，综上得函数在闭区间上的值域为.（2）（证法一）由函数的值域为得，的取值集合也为，当时，，则，即.由得，则函数是以为周期的函数.当时，，则，即.即，则函数是以为周期的函数.故满足条件的函数为周期函数.（证法二）由函数的值域为得，必存在，使得，当时，对，有，对，有，则不可能；当时，即，，由的值域为得，必存在，使得，仿上证法同样得也不可能，则必有，以下同证法一.点睛：本小题主要考查分段函数的性质，考查利用抽象函数的关系式求解函数在不同区间上的表达式的方法，考查函数周期性的证明.题目第一问，已知条件给定函数在区间上的表达式，结合，容易想到要利用分段的方法，求解出函数在每个长度为的区间上的表达式，从而求得函数的值域.18、（1）；（2）见解析；（3）见解析【解题分析】

(1)用需要志愿者提供帮助的人数除以老年人总数可得;(2)利用观测值公式以及列联表可计算观测值,再结合临界值表可得;(3)根据需要志愿者提供帮助的男女人数存在显著差异,可得采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好.【题目详解】（1）调查的500位老人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为.（2）随机变量的观测值.由于，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.（3）由（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据中能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层，并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好.【题目点拨】本题考查了分层抽样,独立性检验,属中档题.19、(1)(2)【解题分析】

（1）利用，求得数列的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列的前项和.【题目详解】解：（1）当时，，∵，∴，当时，，∴，∵，∴，∴，∴是以为首项，为公差的等差数列，∴；（2）由（1）得，∴，∴。【题目点拨】本小题主要考查利用求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.20、（Ⅰ）直线,曲线（Ⅱ）①②【解题分析】

（Ⅰ）利用参数方程化普通方程，利用极坐标化普通方程求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）①求出，即得点M的直角坐标；②利用直线参数方程t的几何意义解答.【题目详解】解（Ⅰ），曲线.（Ⅱ）①，，.②将代入，得，，，.【题目点拨】本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.21、（I）（II）结论为（且不同时为零），证明见解析【解题分析】

（Ⅰ）将三个式子化简答案都为.（II）观察结构归纳结论为，再利用复数的计算证明结论.【题目详解】（I）（II）根据三个式子的结构特征及（I）的计算