2024届四川省普通高中数学高二第二学期期末质量检测试题含解析

2024届四川省普通高中数学高二第二学期期末质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在极坐标系中，曲线，曲线，若曲线与交于两点，则线段的长度为（）A．2 B． C． D．12．在某项测试中，测量结果与服从正态分布，若，则（）A．0.4 B．0.8 C．0.6 D．0.213．的展开式中的系数为A． B． C． D．4．下列命题①多面体的面数最少为4；②正多面体只有5种；③凸多面体是简单多面体；④一个几何体的表面，经过连续变形为球面的多面体就叫简单多面体．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为A． B． C． D．6．定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，，，…，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有（）A．14个 B．13个 C．15个 D．12个7．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（）A．0.42 B．0.12 C．0.18 D．0.288．复数是虚数单位的虚部是A． B．1 C． D．i9．已知，则A． B． C． D．10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，、分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点对称的两点，且直线的斜率为.、分别为、的中点，若原点在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．11．抛物线的准线方程为（）A． B． C． D．12．某人射击一次命中目标的概率为，且每次射击相互独立，则此人射击7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某棱锥的三视图如图所示（单位：），体积为______.14．已知实数满足，则的最小值为__________．15．某校为了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级500名学生中用系统抽样的方法抽取50名进行调查，记500名学生的编号依次为1,2,…，500,若抽取的前两个号码为6,16,则抽取的最大号码为________.16．已知复数，（其中为虚数单位），若为实数，则实数的值为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，∥，，．为的中点，点在上，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．18．（12分）已知等比数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.19．（12分）已知函数（，e为自然对数的底数）.（1）若，求的最大值；（2）若在R上单调递减，①求a的取值范围；②当时，证明：.20．（12分）集合，.（1）若，求；（2）若，求的取值范围.21．（12分）已知平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1方程为ρ=2sinθ.C2的参数方程为（1）写出曲线C1的直角坐标方程和C（2）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P到曲线C22．（10分）在直角坐标系中，将单位圆上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线的参数方程；(2)设为曲线上一点，点的极坐标为，求的最大值及此时点的坐标．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

分别将曲线，的极坐标方程化为普通方程，根据直线与圆相交，利用点到直线的距离公式结合垂径定理，可得结果【题目详解】根据题意，曲线曲线，则直线与圆相交，圆的半径为，圆心到直线的距离为设长为，则有，即解得（舍负）故线段的长度为故选【题目点拨】本题主要考查的是极坐标与直角坐标方程的互化，圆的方程以及直线与圆的位置关系，是一道基础题2、B【解题分析】

根据已知条件,求出正态分布曲线的对称轴为,根据对称性可求出的值,进而可求【题目详解】解:测量结果与服从正态分布正态分布曲线的对称轴为故选:B.【题目点拨】本题考查了正态分布中概率问题的求解.在解此类问题时,结合正态分布曲线图像进行求解,其关键是找到曲线的对称轴.3、D【解题分析】分析：先求出二项式展开式的通项，再令x的指数为4得到r的值，即得的展开式中的系数.详解：由题得二项展开式的通项为,令10-3r=4,所以r=2,所以的展开式中的系数为.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查二项式展开式中某项的系数的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)的展开式中的系数为,不是,要把二项式系数和某一项的系数两个不同的概念区分开.4、D【解题分析】

根据多面体的定义判断．【题目详解】正多面体只有正四、六、八、十二、二十，所以①②正确．表面经过连续变形为球面的多面体就叫简单多面体．棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体．所以③④正确．故：①②③④都正确【题目点拨】根据多面体的定义判断．5、D【解题分析】3a+2b+0c=2即3a+2b=2,所以，因此．6、A【解题分析】分析：由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．详解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故答案为：A.点睛：本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏.7、B【解题分析】

由两人考试相互独立和达到优秀的概率可得。【题目详解】所求概率为.故选B.【题目点拨】本题考查相互独立事件概率计算公式，属于基础题。8、B【解题分析】

利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得答案．【题目详解】，复数的虚部是1．故选B．【题目点拨】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.9、C【解题分析】

根据已知求出，再求.【题目详解】因为，故，从而.故选C【题目点拨】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10、C【解题分析】

根据、分别为、的中点，故OM平行于,ON平行于，再由向量点积为0得到四边形是矩形，通过几何关系得到点A的坐标，代入双曲线得到齐次式，求解离心率.【题目详解】因为、分别为、的中点，故OM平行于,ON平行于，因为原点在以线段为直径的圆上，根据圆的几何性质得到OM垂直于ON，故得到垂直于，由AB两点关于原点对称得到，四边形对角线互相平分，所以四边形是矩形，设角,根据条件得到，将点A代入双曲线方程得到：解得故答案为C.【题目点拨】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).11、D【解题分析】

化简抛物线方程为标准方程，然后求解准线方程．【题目详解】抛物线的标准方程为：，准线方程．故选：D．【题目点拨】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．12、B【解题分析】

由于射击一次命中目标的概率为，所以关键先求出射击7次有4次命中且恰有3次连续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果.【题目详解】因为射击7次有4次命中且恰有3次连续命中有种情况，所以所求概率为.选B.【题目点拨】本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

通过三视图可知：该几何体是底面为边长为2正方形,高为2的四棱锥,利用棱锥的体积公式可以求出该棱锥的体积.【题目详解】通过三视图可知：该几何体是底面为边长为2正方形,高为2的四棱锥,所以该棱锥的体积为：.故答案为：【题目点拨】本题考查了通过三视图还原空间几何体,考查了棱锥的体积公式,考查了数学运算能力.14、-5【解题分析】分析：画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，把目标函数平移到点A处，求得函数的最小值，即可．详解：由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由目标函数，即，结合图象可知，当直线过点在轴上的截距最大，此时目标函数取得最小值，又由，解得，代入可得目标函数的最小值为．点睛：线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.15、496【解题分析】

通过系统抽样的特征，即可计算出最大编号.【题目详解】由于间距为，而前两个号码为6,16,则编号构成是以6为首项，10为公差的等差数列，因此最大编号为，故答案为496.【题目点拨】本题主要考查系统抽样的相关计算，难度不大.16、【解题分析】

根据复数的运算和实数的定义可求得结果.【题目详解】为实数，解得：本题正确结果：【题目点拨】本题考查根据复数的类型求解参数值的问题，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）结合线面垂直的判定定理即可证明；（Ⅱ）采用建系法，以为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再由向量夹角的余弦公式求解即可；【题目详解】（Ⅰ）由于平面，平面，则，由题意可知，且，由线面垂直的判定定理可得平面．（Ⅱ）以点为坐标原点，平面内与垂直的直线为轴，，方向为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知：，，，，由可得点的坐标为，由可得，设平面的法向量为：，则，据此可得平面的一个法向量为：，很明显平面的一个法向量为，，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．【题目点拨】本题考查线面垂直的证明，向量法求解二面角的平面角大小，属于中档题18、（1）（2）【解题分析】分析：（1）利用项和公式求出数列的通项公式.(2)先化简得，再利用裂项相消法求数列的前项和.详解：(1)由得，当时，，即，又，当时符合上式，所以通项公式为.(2)由（1）可知.点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.19、（1）1；（2）①，②证明见解析.【解题分析】

（1）求出函数的导函数，利用导函数与函数单调性的关系当，求出单调递增区间，当，求出函数的单调递减区间，进而可求出最大值.（2）①求出对恒成立，化为对恒成立，记，讨论值，求出的最小值即可证出；②由题意可得，即，两边取对数可得，下面采用分析法即可证出.【题目详解】（1）时，时，，在上单调递增时，，在上单调递减（2）由①在R上单调递减，对恒成立，即对恒成立，记，则对恒成立，当时，，符题当时，时，，在上单调递减时，，在上单调递增；当时，时，，在上单调递减时，，在上单调递增；综上：②当时，在上单调递减，，，，.要证，即证下面证明令，，则，在区间上单调递增，，得证【题目点拨】本题考查了导函数在研究函数单调性的应用，分析法证明不等式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强，属于难题.20、（1）或；（2）或.【解题分析】

（1）解分式不等式求集合，解绝对值不等式求集合，再求集合的并集；（2）先