2024届玉溪市重点中学数学高二下期末学业质量监测试题含解析

2024届玉溪市重点中学数学高二下期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是曲线上的一个动点，记此曲线在点点处的切线的倾斜角为，则可能是（）A． B． C． D．2．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A． B． C． D．3．函数的定义域是R，，对任意的，都有成立，则不等式的解集为()A． B． C． D．4．已知，，，若,则（）A．2 B． C． D．55．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R2为0.256．(3x-13xA．7 B．-7 C．21 D．-217．已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，则的面积（为坐标原点）为（）A． B． C． D．8．六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有（）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种9．在复平面上，复数对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．8911．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）A．30 B．36 C．60 D．7212．若函数＝sinxcosx,x∈R,则函数的最小值为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知展开式中的系数是__________．14．在中，，，，点在线段上，若，则________.15．向量，，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量与共线，则________．16．已知数列是等差数列，是等比数列，数列的前项和为.若，则数列的通项公式为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知一次函数f(x)满足：f(1)=2,f(2x)=2f(x)-1.(1)求f(x)的解析式;(2)设,若|g(x)|－af(x)＋a≥0，求实数a的取值范围.18．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，点在上移动，点在上移动，，连接.（1）证明：对任意，总有∥平面；（2）当的长度最小时，求二面角的平面角的余弦值．19．（12分）已知函数.（1）讨论的导函数零点的个数；（2）若函数存在最小值，证明：的最小值不大于1．20．（12分）已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若对于在定义域内的任意，都有，求的取值范围．21．（12分））已知.（I）试猜想与的大小关系；（II）证明（I）中你的结论.22．（10分）已知在中，角，，的对边分别为，，，的面积为.（1）求证：；（2）若，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：求出原函数的导函数，利用基本不等式求出导函数的值域，结合直线的斜率是直线倾斜角的正切值求解．详解：由，得

当且仅当时上式“=”成立．，即曲线在点点处的切线的斜率小于等于-1．

则，

又，故选：B．点睛：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．2、C【解题分析】

求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.【题目详解】依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点到直线的距离公式得.故选C.【题目点拨】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题.3、A【解题分析】

结合已知条件分析,需要构造函数,通过条件可得到,在R上为增函数,利用单调性比较,即可得出答案．【题目详解】∵任意的,都有,即,又要解,∴设则∴在R上为增函数,而,即,.故选：A.【题目点拨】本题考查函数单调性的应用,构造函数是解决本题的关键,难度一般.4、A【解题分析】

先求出的坐标，再利用共线向量的坐标关系式可求的值.【题目详解】，因，故，故.故选A.【题目点拨】如果，那么：（1）若，则；（2）若，则；5、A【解题分析】解：因为回归模型中拟合效果的好不好，就看相关指数是否是越接近于1，月接近于1，则效果越好．选A6、C【解题分析】

直接利用二项展开式的通项公式，求出x-3对应的r值，再代入通项求系数【题目详解】∵T当7-5r3=-3时，即r=6∴x-3的系数是【题目点拨】二项展开式中项的系数与二项式系数要注意区别.7、B【解题分析】

首先过作，过作（为准线），，易得，.根据直线：与抛物线联立得到，根据焦点弦性质得到，结合已知即可得到，再计算即可.【题目详解】如图所示：过作，过作（为准线），.因为，设，则，.所以.在中，，所以.则.，直线为.，.所以，.在中，.所以.故选：B【题目点拨】本题主要考查抛物线的几何性质，同时考查焦点弦的性质，属于中档题.8、C【解题分析】分析：直接利用捆绑法求解.详解：把甲和乙捆绑在一起，有种方法，再把六个同学看成5个整体进行排列，有种方法，由乘法分步原理得甲和乙两位同学相邻的排法有种.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)遇到相邻问题，常用捆绑法，先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列.9、D【解题分析】

直接把给出的复数写出代数形式，得到对应的点的坐标，则答案可求．【题目详解】由题意，复数，所以复数对应的点的坐标为位于第一象限，故选A．【题目点拨】本题主要考查了复数的代数表示，以及复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的代数形式和复数的表示是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10、B【解题分析】试题分析：由题意，①②③④⑤⑥⑦⑧，从而输出，故选B.考点：1.程序框图的应用.11、C【解题分析】

记事件位男生连着出场，事件女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为，再利用排列组合可求出答案。【题目详解】记事件位男生连着出场，即将位男生捆绑，与其他位女生形成个元素，所以，事件的排法种数为，记事件女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件的排法种数为，事件女生甲排在第一位，且位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将位男生与其他个女生形成三个元素，所以，事件的排法种数为种，因此，出场顺序的排法种数种，故选：C。【题目点拨】本题考查排列组合综合问题，题中两个事件出现了重叠，可以利用容斥原理来等价处理，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。12、B【解题分析】∵函数，∴函数的最小值为故选B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用二项展开式的通项公式,求得,从而可得答案.【题目详解】因为展开式的通项公式为,,所以令,解得,所以展开式中的系数是.故答案为:36.【题目点拨】本题考查了二项展开式的通项公式,属于基础题.14、【解题分析】

根据题意，由于题目中给出了较多的边和角，根据题目列出对应的正余弦定理的关系式，能较快解出BD的长度.【题目详解】根据题意，以点A为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系。过点B作垂直AC交AC于点E，则,又因为在中，,所以,,故.【题目点拨】本题主要考查学生对于正余弦定理的掌握，将几何问题转化为坐标系下的问题是解决本题的关键.15、【解题分析】

建立平面直角坐标系，从而得到的坐标，这样即可得出的坐标，根据与共线，可求出，从而求出的坐标，即得解.【题目详解】建立如图所示平面直角坐标系，则：；与共线故答案为：【题目点拨】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表示，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.16、【解题分析】

先设数列的前项和为，先令，得出求出的值，再令，得出，结合的值和的通项的结构得出数列的通项公式。【题目详解】设数列的前项和为，则.当时，，，；当时，.也适合上式，.由于数列是等差数列，则是关于的一次函数，且数列是等比数列，，可设，则，，因此，。故答案为：。【题目点拨】本题考查利用前项和公式求数列的通项，一般利用作差法求解，即，在计算时要对是否满足通项进行检验，考查计算能力，属于中等题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)f(x)=x+1.(2)a≤0.【解题分析】分析：（1）待定系数法即可求得f(x)的解析式；（2）分类讨论、分离参数、数形结合都可以解决.详解：(1)设f(x)=kx+b，则解得：k=b=1,故f(x)=x+1.(2)由(1)得:g(x)＝|g(x)|－af(x)＋a≥0可化为|g(x)|≥ax.∵|g(x)|＝∴由|g(x)|≥ax可分两种情况：(I)恒成立若x＝0，不等式显然成立；若x<0时，不等式等价于x－2≤a.∵x－2<－2，∴a≥－2.(II)恒成立方法一[分离参数]：可化为a≤在(0,＋∞)上恒成立。令h(x)=,则h′(x)==令t(x)=x－(x+1)ln(x+1),则由t′(x)=-ln(x+1)<0知t(x)在(0,＋∞)上单调递减,故t(x)<t(0)=0，于是h′(x)<0从而h(x)在(0,＋∞)上单调递减又当x>0时,恒有h(x)=>0于是a≤0.方法二[分类讨论]：ln(x+1)≥axln(x+1)－ax≥0令φ(x)=ln(x+1)－ax，则φ′(x)=－a=当a≤0时,φ(x)在(0,＋∞)上单调递增,故有φ(x)>φ(0)=0成立;当0<a<1时,φ(x)在(0,－1)上单调递增,在(－1＋∞)是递减.取x=－1,易知φ(－1)=-2lna+a－<0，故不合题意；当a≥1时,φ(x)在(0,＋∞)上单调递减，显然不合题意。所以a≤0.方法三[数形结合]：根据函数图象可知a≤0.综合(1)(2)得－2≤a≤0.点睛：本题主要考查不等式恒成立问题，一般常用方法是构造函数求导、分离参数、分类讨论是解决这种问题常用的方法.18、（1）见解析；（2）【解题分析】

作∥，交于点，作∥，交于点，连接.通过证明四边形为平行四边形,可得∥,再根据直线与平面平行的判断定理可证.(2)根据题意计算得,再配方可得取最小值时分别为的中点,再取为,连接，，,可得是二面角的平面角,再计算可得.【题目详解】（1）证明：如图，作∥，交于点，作∥，交于点，连接.由题意得∥，且，则四边形为平行四边形.∴∥.又∵，，∴∥.（2）由（1）知四边形为平行四边形，∴.∵，∴.∵，∴，.即，故当时，的长度有最小值．分别取，的中点、，连接，，．易知，，故是二面角的平面角在中，．所以.【题目点拨】本题考查了直线与平面平行的判定定理,以及二面角,属中档题.19、（1）见解析；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）根据条件求出f'（x），然后通过构造函数g（x）＝x2ex（x＞1），进一步得到f'（x）的零点个数；（2）由题意可知a≥1时，函数f（x）无最小值，则只需讨论当a＜1时，f（x）是否存在最小值即可．【题目详解】(1),令,故在上单调递增,且.当时,导函数没有零点,当时,导函数只有一个零点.(2)证明:当时..则函数无最小值.故时,则必存在正数使得.函数在上单调递减,在上单调递增，,令.则令,则,所以函数在上单调递减,在上单调递增，所以,即.所以的最小值不大于1.【题目点拨】本题考查了函数零点个数的判断和利用导数研究函数的单调性与最值，考查了函数思想和分类讨论思想，属中档题．20、（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.【解题分析】

（1）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域，求出导数，在定义域内分别解出不等式和，可得出函数的单调减区间和增区间；（2）由，利用参变量分离得，构造函数，将问题转化为，然后利用导数求出函数的最大值，可得出实数的取值范围.【题目详解】（1）当时，，函数的定义域为，，当时，，当时，．所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）由，得，构造函数，则.，令，得.当时，；当时，.所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即.，因此，实数的取值范围是.【题目点拨】本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究不等式恒成立问题，常用分类讨论法与参变量分离法，转化为函数的最值来求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.21、(1).(2)证明见解析.【解题分析】分析：（I）由题意，可取，则，，即可猜想；（II）令，则，得到函数的单调性，利用单调性即可证明猜想.详解：（I）取，则，，则有；再取，则，，则有.故猜想.（II）令，则，当时，，即函数在上单调递减，又因为，所以，即，