2024届陕西省西安市长安区一中高二数学第二学期期末联考模拟试题含解析

2024届陕西省西安市长安区一中高二数学第二学期期末联考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A．30 B．24 C．20 D．152．在中，,则（）A． B． C． D．3．已知函数的图象如图所示，若，且，则的值为（）A． B． C．1 D．04．中，，是的中点，若，则（）.A． B． C． D．5．某快递公司的四个快递点呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种6．已知函数，则()A．32 B． C．16 D．7．若复数满足，则复数的虚部为.A．-2 B．-1 C．1 D．2.8．已知，则的值是A． B． C． D．9．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A．B．C．D．10．若变量满足约束条件，则的取值范围是()A． B． C． D．11．先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是()A．出现7点的次数 B．出现偶数点的次数C．出现2点的次数 D．出现的点数大于2小于6的次数12．已知A，B是半径为的⊙O上的两个点，·＝1，⊙O所在平面上有一点C满足｜＋｜＝1，则｜｜的最大值为（）A．＋1 B．＋1 C．2＋1 D．+1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在1x-114．已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为______．15．已知“”是“”的充分不必要条件，且，则的最小值是_____．16．已知复数满足，则等于______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．18．（12分）已知数列满足（）.（1）计算，，，并写出与的关系；（2）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式.19．（12分）（1）已知矩阵的一个特征值为，其对应的特征向量，求矩阵及它的另一个特征值.（2）在极坐标系中，设P为曲线C：上任意一点，求点P到直线l：的最小距离.20．（12分）已知直线（为参数），曲线（为参数）.(1线与曲线的普通方程；(2)，若直线与曲线相交于两点（点在点的上方），求的值.21．（12分）甲、乙、丙3人均以游戏的方式决定是否参加学校音乐社团、美术社团，游戏规则为：①先将一个圆8等分（如图），再将8个等分点，分别标注在8个相同的小球上，并将这8个小球放入一个不透明的盒子里，每个人从盒内随机摸出两个小球、然后用摸出的两个小球上标注的分点与圆心构造三角形.若能构成直角三角形，则两个社团都参加；若能构成锐角三角形，则只参加美术社团；若能构成钝角三角形，则只参加音乐社团；若不能构成三角形，则两个社团都不参加.②前一个同学摸出两个小球记录下结果后，把两个小球都放回盒内，下一位同学再从盒中随机摸取两个小球．（1）求甲能参加音乐社团的概率；（2）记甲、乙、丙3人能参加音乐社团的人数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差22．（10分）已知函数在处有极值.（1）求的解析式.（2）求函数在上的最值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据公式：计算即可.【题目详解】因为，故选：A.【题目点拨】本题考查排列数的计算，难度较易.2、B【解题分析】

先根据求得，进而求得，根据余弦定理求得以及，由此求得.【题目详解】由于，所以且为锐角，所以.由余弦定理得.故.所以.故选B.【题目点拨】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查余弦定理解三角形，考查向量数量积的运算，属于中档题.3、C【解题分析】由题意得，，则，又，即，解得，所以，令，即，，解得该函数的对称轴为，则，即，所以，故选C.4、D【解题分析】

作出图象，设出未知量，在中，由正弦定理可得，进而可得，在中，还可得，建立等式后可得，再由勾股定理可得，即可得出结论．【题目详解】解：如图，设，，，，在中，由正弦定理可得，代入数据解得，故，而在中，，故可得，化简可得，解之可得，再由勾股定理可得，联立可得，故在中，，故选：D．【题目点拨】本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属于中档题．5、D【解题分析】

先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解．【题目详解】（1）A→D调5辆，D→C调1辆，B→C调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次，（2）A→D调4辆，A→B调1辆，B→C调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次，故选：D【题目点拨】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．6、B【解题分析】

根据自变量符合的范围代入对应的解析式即可求得结果.【题目详解】本题正确选项：【题目点拨】本题考查分段函数函数值的求解问题，属于基础题.7、D【解题分析】

根据复数除法的运算法则去计算即可.【题目详解】因为，所以，虚部是，故选D.【题目点拨】本题考查复数的除法运算以及复数实部、虚部判断，难度较易.复数除法运算时，注意利用平方差公式的形式将分母实数化去计算8、D【解题分析】，,又,故选D.9、B【解题分析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，所以，即的近似值为，故选B.考点：《算数书》中的近似计算，容易题.10、B【解题分析】分析：根据约束条件画出平面区域，再将目标函数转换为，则为直线的截距，通过平推法确定的取值范围.详解：（1）画直线，和，根据不等式组确定平面区域，如图所示.（2）将目标函数转换为直线，则为直线的截距.（3）画直线，平推直线，确定点A、B分别取得截距的最小值和最大值.易得,联立方程组,解得，B坐标为（4）分别将点A、B坐标代入，，的取值范围是故选B.点睛：本题主要考查线性规划问题，数形结合是解决问题的关键.目标函数型线性规划问题解题步骤：（1）确定可行区域（2）将转化为，求z的值，可看做求直线，在y轴上截距的最值。（3）将平移，观察截距最大（小）值对应的位置，联立方程组求点坐标。（4）将该点坐标代入目标函数，计算Z。11、A【解题分析】

根据随机变量的定义可得到结果.【题目详解】抛掷一枚骰子不可能出现点，出现点为不可能事件出现点的次数不能作为随机变量本题正确选项：【题目点拨】本题考查随机变量的定义，属于基础题.12、A【解题分析】

先由题意得到，根据向量的数量积求出，以O为原点建立平面直角坐标系，设A（，）得到点B坐标，再设C（x，y），根据点B的坐标，根据题中条件，即可求出结果.【题目详解】依题意，得：，因为，所以，＝1，得：，以O为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，设A（，），则B（，）或B（，）设C（x，y），当B（，）时，则＝（＋－x，＋－y）由｜＋｜＝1，得：＝1，即点C在1为半径的圆上，A（，）到圆心的距离为：＝｜｜的最大值为＋1当B（，）时，结论一样．故选A【题目点拨】本题主要考查向量模的计算，熟记向量的几何意义，以及向量模的计算公式，即可求解，属于常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

先求出二项式x+1【题目详解】二项式x+15的展开式的通项为∴1x-1x故答案为1．【题目点拨】对于含有两个括号的展开式的项的问题，求解时可分别求出每个二项式的展开式的通项，然后采用组合（即“凑”）的方法得到所求的项，解题时要做到细致、不要漏掉任何一种情况．14、【解题分析】

根据椭圆的定义与几何性质判断为正三角形，且轴，设，可得，从而可得结果.【题目详解】因为关于的对称点在椭圆上，则，，为正三角形，，又，所以轴，设，则，即，故答案为.【题目点拨】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．15、【解题分析】

先求解指数不等式，再运用充分不必要条件求解范围.【题目详解】，则由题意得，所以能取的最小整数是．【题目点拨】本题考查指数不等式和充分不必要条件，属于基础题.16、【解题分析】

先求出复数z,再求|z|.【题目详解】由题得.故答案为【题目点拨】（1）本题主要考查复数的计算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)复数的模.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）面角的余弦值为【解题分析】

（1）取的中点，连接，由已知条件推导出，，从而平面，从而．（2）由已知得，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，，利用向量法能求出二面角的余弦值．【题目详解】（1）证明：取的中点，连接．∵，∴，∵四边形是菱形，且，∴是等边三角形，∴，又，∴平面，又平面，∴（2）由，得，又在等边三角形中得，，已知，∴，∴以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，∴设平面的一个法向量为，则，∴，∴，∴设平面的一个法向量为，则，∴，∴，∴∴又∵二面角为钝角，∴二面角的余弦值为考点：直线与平面垂直的判定，二面角的有关计算18、（1），，；；（2）证明见解析，【解题分析】

（1）代入，和，计算得到，，，通过，得到与的关系；（2）根据（1）中所得与的关系，得到，并求出的值，从而得到是等比数列，写出其通项，再得到的通项.【题目详解】（1）由已知可得，时，，即，时，，即，时，，即.由（），得，两式相减，得，即.（2）证明：由（1）得，且，∴，∴数列是等比数列，公比为，首项为，所以，∴.【题目点拨】本题考查根据和的关系求递推关系，通过递推关系构造法求数列通项，证明数列为等比数列，属于简单题.19、（1）；；（2）.【解题分析】

（1）由矩阵运算，代入可求得或，即求得另一个特征值。（2）由直角坐标与极坐标互换公式，实现直角坐标与极坐标的相互转化。【题目详解】（1）由得：，，矩阵的特征多项式为，令，得，解得或所以矩阵的另一个特征值为（2）以极点为原点，极轴为轴建立平面直角坐标系．因为，所以，将其化为普通方程，得将曲线：化为普通方程，得．所以圆心到直线的距离所以到直线的最小距离为【题目点拨】直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。20、(1),;(2).【解题分析】试题分析：（1）根据加减消元法得直线的普通方程；根据三角函数平方关系得曲线的普通方程（2）由椭圆的定义知：，根据直线参数方程几何意义得，将直线参数方程代入曲线的普通方程，根据韦达定理可得结果试题解析：解：（1）由直线已知直线（为参数），消去参数得：曲线（为参数）消去参数得：.（2）设将直线的参数方程代入得：由韦达定理可得：结合图像可知，由椭圆的定义知：.21、(1)；(2)分布列见解析；数学期望；方差【解题分析】

（1）先求得基本事件的总数为，然后计算出与圆心构成直角三角形或钝角三角形的取法数之和，再利用古典概型概率计算公式，求得所求概率.（2）利用二项分布概率计算公式，计算出分布列，并求得数学期望和方差.【题目详解】解：（1）从盒中随机摸出两个小球，即是从8个等分点中随机选取两个不同的分点，共有种，其中与圆心构成直角三角形的取法有8种:，与圆心构成钝角三角形的取法有种:.所以甲能参加音乐社团的概率为：.（2）由题意可知：，的可能取值为：0,1,2,3.所以的分布列为：0123数学期望方差【题目点拨】本小题主要考查古典概型概率计算，考查二项分布分布列、期望和方差的计算，属于中档题.22、(1)(2)最大值为为【解题分析】分析：（1）先求出函数的导数，根据，联立方程组解出的值，即可得到的解析式；（2）求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，利用单调性可得函数的极值，然后求出的值，与极值比较大小即可求得函数的最值.详解：（1）由题意：，又由此得：经验证：∴