数字信号处理简明教程 课件 第3章 离散傅里叶变换

第3章离散傅里叶变换3.1信号频域分析的几种形式3.2离散傅里叶变换的定义3.3DFT与DTFT、Z变换的关系3.4离散傅里叶变换的性质3.5用DFT计算数字频谱的误差及解决方法3.6用MATLAB实现离散傅里叶变换习题

3.1信号频域分析的几种形式

1.连续时间非周期信号的傅里叶变换(FT)

连续时间信号x(t)的傅里叶变换X(Ω)定义为反变换由下式确定

如图3-1所示为连续信号x(t)及其傅里叶变换X(Ω)。由该图可以看出,连续信号的傅里叶变换也是连续的,这不便于计算机处理。图3-1连续信号及其傅里叶变换

2.连续时间周期信号的傅里叶级数表示(FS)

连续时间周期信号x(t)的傅里叶级数表示把x(t)展开为复指数信号ejkΩ0t的加权和,即

设周期信号x(t)的周期为Ｔ,称Ω0=2π/T为基波频率,简称为基频；对k>1的一般情况,称kΩ0为k次谐波频率。k次谐波的系数X(kΩ0)由下式确定

图3-2所示为连续周期信号x(t)及其傅里叶级数表示X(kΩ0)。由该图可以看出,连续时间周期信号的傅里叶级数把频域变成离散的了,但时域仍然是连续的,这也不便于计算机处理。图3-2连续时间周期信号及其傅里叶级数

3.序列的离散时间傅里叶变换(DTFT)

对连续时间信号进行采样,得到在时间上离散的信号即序列。非周期序列x(n)可以通过离散时间傅里叶变换得到其频谱,离散时间傅里叶变换X(ejω)定义如下：

离散时间傅里叶反变换定义为

非周期序列x(n)的傅里叶变换X(ejω)是ω的连续函数且隐含着周期性,X(ejω)的周期为2π,这个周期性质表明为了分析目的仅仅需要X(ejω)的一个周期即可。如图3-3所示

为离散序列及其离散时间傅里叶变换,从图中可以看出频域的周期性是由时域的离散化所致。但是从图中可以看出频域还是连续的,同样不便于计算机处理。

图3-3离散序列及其离散时间傅里叶变换

图3-4离散周期序列及其离散傅里叶级数

至此,我们已经介绍了信号频域分析的四处形式,总结如下：

♣连续时间非周期信号的傅里叶变换其时域和频域都是连续的；

♣连续时间周期信号的傅里叶级数表示其时域是连续的,但频域是离散的；

♣非周期序列的离散时间傅里叶变换其时域是离散的,但频域是连续的；

♣周期序列的离散时间傅里叶级数表示其时域和频域都是离散的。

信号在时域和频域都具有连续与离散、周期与非周期两种特征,其对应规律如下：如果信号在频域是离散的,则该信号在时域必然表现为周期性；反之,如果信号在时域是离散的,则该信号在频域必然是周期的。所以,周期的离散信号(序列)经过DFS表示,其频域一定既是周期又是离散的。存在这种对应规律的原因是：一个域的离散化导致另一个域的周期化；一个域的周期化导致另一个域的离散化。

3.2离散傅里叶变换的定义3.2.1DFT与DFS的关系DFS将信号的时域和频域都离散化了,但两者都是周期性的。实际中遇到的序列往往都是有限长的序列,一般并不满足周期性。但是我们知道,一个周期序列和其周期的离散频谱所携带的信息都体现在一个周期,即周期序列和有限长序列在携带信息上并无本质区别。这样通过将有限长序列人为地延拓成为周期序列,然后对其离散傅里叶级数取它的主值区间,就可以得到有限长序列的离散频谱。所以,离散傅里叶变换为有限长序列提供了一个有效的频率分析方法。

图3-5

DFS与DFT的关系示意图

3.2.2

DFT的定义

对于有限长序列x(n),0≤n≤N-1,其N点离散傅里叶变换和离散傅里叶反变换的定义分别为

DFT的定义可以写成矩阵形式

X=Wx

其中,x为输入序列组成的向量,即x=[

x(0),x1),…,x(N-1)]T；X为DFT序列组成的向量,即X=[X(0),X(1),…,X(N-1)]T；W为DFT矩阵,即

3.2.3

DFT的物理意义

式(3-13)看似比较复杂,它是数字信号处理中数字谱分析最有用的工具。为了理解式(3-13),通过欧拉公式e-jθ

=cosθ-jsinθ,可以将其转化为

把式(3-13)中复杂的指数转化为实数部分与虚数部分,其中X(k)为DFT第k个输出部分,k为DFT在频域的输出序号,k=0,1,2,3,…,N-1。x(n)则为输入样本序列,n为时域输入序号,n=0,1,2,3,…,N-1。数值N是一个很重要的参数,因为它决定了所需要输入样本的大小频域输出结果的分辨率和计算N点DFT函数所要的时间。

由此可见,DFT的每一个输出值X(k)都由输入序列值与不同频率的正弦和余弦乘积之和来确定。不同的频率取决于原始信号的采集频率fs和DFT的样本数量N。比如,给定一个速率为500每秒的样本连续信号,然后对其执行16点DFT数据抽样,则正弦函数的频率为fs/N=500/16或者31.25Hz。其他X(k)的分析频率则是基频的整数倍,例如：

图3-6模拟频率与数字频率之间的定标关系

例3-1已知序列x(n)=δ(n),求它的N点DFT。

δ(n)的X(k)如图3７所示。这是一个很特殊的例子,它表明对序列δ(n)来说,不论对它进行多少点的DFT,所得结果都是一个离散矩形序列,这是因为δ(n)的频谱是均匀谱。

图3-7序列δ(ｎ)及其离散傅里叶变换

图3-8有限长序列及其DFT

3.3

DFT与DTFT、Z变换的关系

前面已讨论了DFT与DFS的关系,现在讨论DFT与DTFT、Z变换的关系。

1.DFT与Z变换的关系若x(n)是一个长度为N的有限长序列,对x(n)进行Z变换,有

图3-9DFT与DTFT、Z变换的关系

2.DFT与DTFT变换的关系

由于DTFT,即序列的傅里叶变换X(ejω)是单位圆上的Z变换,根据式(3-26),DFT与DTFT的关系为

上式说明X(k)也可以视为序列x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间[0,2π]上的N点等间隔采样,其采样间隔为ωN=2π/N,图3-9(b)给出了X(ejω)和X(k)的关系。DFT的变换区间长度N不同,对X(ejω)在区间[0,2π]上的采样间隔和采样点数不同,所以DFT的变换结果也不同。

该序列的N=8点DFT为

图3-10给出了矩形序列R6(n)的DTFT以及N=8、N=16、N=32、N=64不同点数的DFT的幅度值。从中可以看出,DFT就是对序列频谱的等间隔采样。

图3-10矩形序列R6(n)的DTFT以及不同点数的DFT

3.4离散傅里叶变换的性质

1．线性特性若w(n)=ax(n)+by(n),则

DFT[w(n)]=W(k)=aX(k)+bY(k)(3-36)

如果x(n)和y(n)的序列长度N1、N2不同,则选择N=ｍax［N1,N2］作为变换长度,而短序列通过补0达到N点。

2.DFT隐含的周期性

离散傅里叶变换定义了时域N个离散点到频域N个频率点的一一映射,但是定义式本身隐含着周期性,即

x(n)和X(k)都是周期为N的序列。

离散傅里叶变换定义中的正变换和反变换分别限定0≤n≤N-1和0≤k≤N-1。用计算机或数字处理器对信号进行频谱分析时,一般都期望信号在时域和频域都是离散和有限的,因而这种限定是自然而然和合情合理的。离散傅里叶变换潜在的周期性直接导出了它具有许多优异的特性,利用这些特性就得到了离散傅里叶变换的快速算法,它使得计算DFT高效而方便。我们可以把x(n)和Ｘ(k)看成是其中的任意一个周期,只要进行DFT计算时取的点数N不小于对信号的采样点数M,DFT和IDFT都是精确的。

3.循环(圆周)移位的概念

在定义序列x(n)的N点离散傅里叶变换时,把序号n约束为0≤n≤N-1。期望移位后新序列的序号n也满足前述约束,显然使用模运算符定义循环移位即可满足这个约束条件。定义循环移位运算如下：

图3-11给出了循环移位运算的实例。其中图3-11(a)为原序列x(n),图3-11(b)为x1(n)=x(〈n-2〉6),图3-11(c)为x2(n)=x(〈n+2〉6)。图中的n表示序列的序号,序号按顺时针依次排列。x(〈n-2〉6)使得x(n)的所有取值依顺时针移位2个点；而x(〈n+2〉6)使得x(n)的所有取值依逆时针移位2个点。这样移动的结果是所有取值的相对位置不变,而对应的新序列的序号保持不动,把序号与取值对应起来就构成了新序列,如图3-11(b)中,新的序列为x1(0)=x(4),x1(1)=x(5),x1(2)=x(0),x1(3)=x(1),x1(4)=x(2),x1(5)=x(3)。

图3-11循环(圆周)移位运算示意图

循环移位可以想象将序列x(n)顺序排列在N等分的圆周上,x(n-m)是将序列各元素在圆周上按顺时针旋转m个位置,而x(n+m)是将序列各元素在圆周上按反时针方向旋转m个位置,所以,循环移位又叫圆周移位。

为简便起见,记

同理

4.时域循环移位性质

若x(n)↔X(k),则

或者简记为

序列在时域循环移位m个单位,其DFT的相位频谱各次谐波相位平移,但幅度频谱不变。

5.频域循环移位性质

若x(n)↔X(k),则

或者简记为

序列在时域被调制相当于频谱的平移,包括幅度频谱和相位频谱。

6.循环卷积定理

1)两个有限长序列的循环卷积

2)时域循环卷积定理

7.共轭对称性

设x∗(n)为x(n)实共轭复序列,若x(n)↔X(k),则有

同理

在讨论DTFT的对称性时,也提到过共轭对称序列和共轭范对称序列,那里的对称性是指关于纵坐标的对称性。DFT的对称性有所不同,序列x(n)和其离散傅里叶变换X(k)都是有限长序列,其定义的区间为0≤n≤N-1,所以,DFT的对称性是指关于N/2的对称性。

8.帕萨瓦尔定理

设x(n)和y(n)的N点离散傅里叶变换分别为X(k)和Y(k),则有如下帕萨瓦尔定理

特别地,当x(n)=y(n)时,帕萨瓦尔定理变为

式(3-57)表明,序列在时域和频域的能量是不变的,故也称为能量守恒定理。

3.5用DFT计算数字频谱的误差及解决方法

首先通过一个例题来了解利用DFT计算数字频谱的好处。

图3-12混合频率信号的时域、频域分析

在实际应用中,原始信号可能是无限长的连续时间信号,为了利用离散傅里叶变换计算这样信号的离散频谱,还必须进行一些必要的处理,而这些处理过程可能对原始信号的真实频谱产生误差,下面讨论误差产生的原因和解决的办法。

如果原始信号是连续的模拟信号xa(t),第一步是对其进行等间隔采样得到采样信号,则由时域采样定理知采样信号的频谱是xa(t)频谱的周期延拓。为了避免频谱混叠,要求采样频率不小于信号最高频率的两倍。一般来说,原始信号是有限长的,所以其频谱宽度是无限的,因此,在对有限长信号进行采样前先进行抗混叠滤波,一方面使得采样频率无需非常高,另外一方面避免了频谱混叠。通过对连续信号xa(t)进行采样就得到了离散序列x(n)=xa(nT)。

第二步是对x(n)进行截短处理,这是因为x(n)太长则不利于处理。截短处理在时域进行,它通过把x(n)乘以一个长度为N的窗函数w(n)得到有限长序列x(n)w(n)。x(n)w(n)的离散时间傅里叶变换(DTFT)是x(n)的离散时间傅里叶变换X(ω)与w(n)的离散时间傅里叶变换W(n)之卷积。因为有限长序列w(n)的频谱宽度是无限的,所以乘积x(n)w(n)的频谱也是无限的,即频谱“扩散”(拖尾,展宽)了,或者说频谱“泄露”了。为了减小频谱泄露,可以采取两个方法：其一,增加窗函数的宽度,即取更多的数据；其二,采用性能更优的窗函数,这些窗函数具有比矩形窗旁瓣小主瓣窄的优点,这必将减小频谱泄露,在FIR数字滤波器设计一章中会详细讲解这个问题。

作为实例,下面考虑用矩形窗函数RL(n)对离散余弦序列cos(ω0n)进行截短处理后的频谱,截短得到的序列为cos(ω0n)RL(n)。图3-13(a)给出了cos(nπ/3)的频谱,图3-13(b)为cos(nπ/3)截短处理后的频谱,由图可以清楚地看出频谱发生了泄漏。

图3-13

cos(nπ/3)的DTFT及截短处理后的DTFT

由于x(n)w(n)的频谱依然是连续的,所以要进行第三步处理：对x(n)w(n)的频谱进行离散化,即等间隔采样得到M个离散点。与时域的等间隔采样导致频域的周期延拓相对偶,这种频域的等间隔采样导致了时域的周期延拓。在讲解离散傅里叶变换的物理意义时,已经指出只要一个周期内的采样点数M≥N,则时域信号不会发生混叠。

以下介绍两个有关分辨率的概念。“频率分辨率”是指所用的算法将所分析的时域信号频谱中两个靠得很近的谱峰分辨开来的能力,“频率分辨率”通常也称为“物理频率分辨

率”,以便与“计算频率分辨率”相区别。“计算频率分辨率”是指所分析的信号的离散频谱中相邻点间的频率间隔。

将x(t)用间隔Ts=采样得到x(n),采样频率为fs=1/Ts,则能得到总的采样点数为M=Tu/Ts=Tufs。我们知道在对x(n)进行N点离散傅里叶变换时,只要N≥M。这里的计算频率分辨率为

物理频率分辨率为

将M=Tufs代入式(3-60)得到的物理频率分辨率与式(3-58)给出的一致,这说明不能光靠增加采样点数M来提高物理频率分辨率,这是因为在信号的持续时间Tu保持不变的前提下,采样点数M增加,则采样间隔Ts=减小,但M与Ts=两者的乘积保持为Tu不变。

在进行离散傅里叶变换时,通过在有效数据后面补充一些零来达到改善频谱的目的,但这并不能提高算法的物理频率分辨率,这是因为物理频率分辨率由有效的数据点数M决定。从根本上说,补零并没有提供新的信息,不能提高分辨率就理所当然了,但这样做能提高算法的计算频率分辨率。此外补零可以使得总的点数N是2的整数次幂,便于用下一章要讲解的快速傅里叶变换来高效地计算离散傅里叶变换。

我们知道x(n)的N点离散傅里叶变换X(k)与x(n)的离散时间傅里叶变换在频率点2πk/N的取值相等。通过这N个离散的频率点处的离散时间傅里叶变换来观察序列的频谱,就像通过一个“栅栏”观赏风景一样,只能在这些离散的频率点处看到真实的景象,称这种现象为“栅栏效应”。显然如果N足够大(如果有效数据长度M不变,可以通过补零增大N),这些频率点分布得足够稠密,则可减小栅栏效应。补零可以把原来由于频率点错位而拦住的有效频率成分显现,但并不能提高算法的物理频率分辨率,或者说原来分不开的两个频峰,补零后依然不能分开。

图3-14为序列补零对DTFT与DFT的影响。图3-14(a)为在有效长度为Ｍ的序列尾部补充了N1-M个零点,图3-14(b)为对应的DTFT。由式(3-62)知,补零后的DTFT与没有补零的DTFT一致,对图3-14(b)所示的DTFT在一个周期内进行间隔为2π／N1等间隔采样,采样点对应的值就是N1点离散傅里叶变换X1(k),如图3-14(c)所示。对原序列尾部补充了N2-M(其中N2＞N1)个零点得到图3-14(d),图3-14(e)为对应的DTFT,与图31４(b)一致。对图3-14(e)所示的DTFT在一个周期内进行间隔为2π／N2等间隔采样,采样点对应的值就是N2点离散傅里叶变换X2(k),如图3-14(f)所示。

图3-14序列补零对DTFT与DFT的影响

在计算DFT时,需要选择合适的采样点数M,下面给出具体的方法。设X(ω)的截止频率为fc,这个可以事先确定,因为已知x(t)就可以得到Ｘ(ω)及其截止频率fc。为了避免混叠,选择采样频率fs满足2.5fc≤fs≤3.0fc。若给定频率分辨率Δfp,可得需要的最少采样点数Ｍ为

3.6用MATLAB实现离散傅里叶变换

本节通过MATLAB实现对连续信号进行DFT的分析。

例3-9设待分析的信号是三个正弦波的加权和,即

图3-15依次为采样得到的离散序列的40、100、150和200点DFT。由图3-15可以看出DFT的点数比所需的采样点数少时,算法的分辨率不足以分辨出所有的频率分量。

图3-15例3-9进行不同点数的DFT分析结果

图3-15例3-9进行不同点数的DFT分析结果

例3-10设x(n)＝R4(n),计算该序列在变换区间分别为N=8、N=16、