2019版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第三章三角函数三角恒等变换及解三角形学案

h第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第课时任意角和弧度制及任意角的三角函数①了解任意角的概念；了解终边相同的角的意义②了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化③理解任意角三角函数正弦、余弦、正切圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切.①能进行角度与弧度的互化②能判断角所在的象限，会判断半角和倍角所在的象限③准确理解任意角的三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值，并能准确判断三角函数值的符号.回归教材必修习题改编小明从家步行到学校需要,则这段时间内钟表的分针走过的角度是解析：利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是负角.又周角为,所以——=,即分针走过的角度是一终边相同的角的集合为用列举法表示0∴=或故在,π内终边与角-的终边相同的角的集合为必修例改编已知扇形的面积为,扇形圆心角的弧度数是,则扇形的周长为长为+α=+=函数=一的定义域为h解析：∵>,∴h>-利用三角函数线画出满足条件的终边范围如图阴影部分所示，∴任意角角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角②按终边位置不同分为象限角和轴线角.终边相同的角终边与角α相同的角可写成α+∈弧度制①弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度的角②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，α==是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，为半径.③弧度与角度的换算：=π④弧长公式：二x.任意角的三角函数任意角的三角函数的定义设，是角α终边上任意一点，且=>=a=,它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，三角函数在各象限内的正值口诀是：I全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、IV余弦.特殊角的三角函数值α弧度数αaaπ一√hhVVhhπy Vππ—-续表α弧度数ααππ一ππ 三角函数线点的坐标为aα,其中a—__,α=_,单位圆与于点,单位圆在α=_.我们三角函数线TT¥7 题型□边相同的角,最大负角为,则与角α终边相同的最小正角为hhh的值为的值为*h①π-α是第几象限角?②“是第几象限角?③α的终边在什么位置?解析：α可以写成一+的形式，则与α终边相同的角可以写成+∈的形式.当=时，可得与角α终边相同的最小正角为,当=一时，可得最大负角为一解：①∵α是第三象限角，∈∴π-α是第四象限角:“是第二或第四象限角.∴d的终边在第一或第二象限或轴非负半轴上.○变式训练答案：的角的集合为定义上的一点，若∈三角函数的点是始边与轴的正半轴重合、顶点在原点的角θ的终边,则点的坐标是泰州模拟已知角α的终边过点一,且a=--,则设点的坐标为,,由三角函数的定义，得二，二= =-,=-,C变式训练hh无锡期末已知角α的终边与单位圆的交点为则αhh解析：由=-+=符号及判定例答案：三解析：因为αααα点位于第=十是第三象限角，所以位于第三象限.○变式训练下列判断正确的是填序号答案：④-—π=-π+-π,则一—π是第二象限角；三角函数的象限.<又一二<是第三象限角.弧长公式与扇形面积公式例(扇形的周长为若这个扇形的面积为,求圆心角的大小；求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长解：设扇形的半径为,弧长为,圆心角为α,由题意可解∴α=-=-或当且仅当=,即a=-=时，扇形面积取得最大值，二备选变式(教师专享)形的圆心角所对的弦长为hh解析：设此扇形的半径为,弧长为,则+=,面积=-hh扇形的圆心角所对的弦长为苏州期末已知角θ的终边经过点,,且θ=-,则=若α=+0,-0∈,则下列关于角α与β的终边的位置关系的说法正确的是填序号①重合；②关于原点对称；③关于轴对称；④关于轴对称.答案：③解析：显然角α与角θ的终边相同，角β与角一θ的终边相同，而θ与一θ的终边关于轴对称，故说法正确的是③已知一扇形的圆心角为αα,扇形所在圆的半径为若α=,=,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；若扇形的周长是一定值,当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?解：设弧长为，弓形面积为，又a==,=,则==π给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；⑤若θ,则θ是第二或第三象限的角.其中正确的命题是填序号答案：③解析：由于第一象限角大于第二象限角，故①错；当三角形的内角为时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；正弦值相等，但角的终边不一定相同，故④错；当θ=时，0=一，既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知，只有③正确.已知角θ的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线=上，则hhhh解析：取终边上一点,≠,根据任意角的三角函数定义，可得扬州一中月考改编已知角α的终边与单位圆+=交于解析：∵=,∴α=-=-苏北四市期末已知角α的终边经过点一,+,且则实数的取值范围是解析：∵o≤,a,∴角α的终边落在第二象限或轴的正半轴上.点要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角.已知角α终边上一点的坐标，则可先求出点到原点的距离,然后用三角函数的定义求解α的三角函数值.弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多.因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式.利用单位圆解有关三角函数的不等式组的一般步骤用边界值定出角的终边位置.根据不等式组定出角的范围.求交集，找单位圆中公共的部分.写出角的表达式.hh第课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式对应学生用书文、理~页①会运用同角三角函数进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明②能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.π已知α=-,且则答案：得解析：由得则二的值为十二—苏北四市摸底已知则a的值为解析：∵α.C=-解析：因为a=,所h解析：∵h.∴同角三角函数的基本关系aα诱导公式组数二三四五六角π正弦aαααα余弦αaα正切αα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限α∈与α的三角函数关系的记忆规律：奇变偶不变，符号看象限.h∴例∴例h题型分类深度副新题型门数的基本关系式必修必修要点导学各个击破同角三角函==一解：由则十则=——,=——,即盐城模拟已知ααα∴α又X必修习题改编化简：hhhh备选变式(教师专享)若α为第二象限角，则解析：原式=α因为α是第二象限角，所以αaaαGGX题型□其运用例即原式等于则诱导公式及,,解析：由诱导公式得,,则解析：由题意知，数的基本关系与诱导公式的综合应用在△中，若π-=-√的三个内角.由已知得②即二_√又∵,是三角形的内角，hhπh又∵,是三角形的内角，∴=-T,=-T,不合题意.O变式训练在△中，若m-=Vπ-,.试判断三角形的形状.由题设条件，得·∈二α=,a=—因为α为锐角，所以a,所以hhhh南通调研已知0+o=,E,则θ—θ=答案：已知π-a=-则解析：因为已知解析：因为a,所以二==盐城调研若解析：∵α+a=,南京、盐城模拟已知则hh所以解析：因所以,所以利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确应熟练应用诱导公式.诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了.诱≤<的形式；②转化为锐角.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要特别注意平方关系的使用.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：①弦切互化法：主要利用公式=——进行切化弦或弦化切，如—十十等类型可进行弦化切.②和积转换法：如利用θθ=θθ的关系进行变形、转化.等.在△中常用到以下结论：备课札记hhhh|中由由山出!中中由中中如海中临由血山由本由血由由市由鱼山由中曲出出中本生①知道三角函数=w+φ,二u+φ的周期为=,π上，正切函数在上的性质如点等③会用五点法恼出=w+φ在一个周期上的简图，能由正弦曲线=通过相位、周期和振幅变换得到=w+φ的图象.①了解三角函数的周期性性质义及其参数,u树函数图象变化的影响. 回归教材南京期初若函数的最小正周期为π,则的值是解析：由题意，得所以=将函数=的图象上每一点向右平移个单位，得到函数=的图象，解析：将函数二的图象上每一点向右平移“个单位，得到函数二的图象.本题主要考查三角函数的图象变换平移变换.已知函数=的定义域值域为，,则一的值是所以一=函数单调递增区间为h解析：由∈故所求函数的单调递增区间必修习题改编电流强度随时间变化的函数=o+部分图象如图所示，则当=—时，电流强度是周期函数的概念：对于函数=,如果存在一个非零的常数,使得当取定义域内的每一个值时，+=为周期函数；函数=w+φa+φ的周期均为;as+φ的周期为三角函数的图象和性质三角函数二二 图象定义域一π∈值域和最值无最值周期πππ奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性关于原点对称关于原点对称单调区间πππ∈上单调递增； ,,T -hh∈上单调递减五点法作图在确定正弦函数=在,π上的图象形状时，起关键作用的五个点是,,余弦函数呢?若函数=o+φ>,,∈-γ+～表示一个振动量时，则叫做备课札记hh题型分类深度副析题型门要点导学各个击破例期为π必修练习改编已知函数=u+o>的周用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；说明函数的图象可由=的图象经过怎样的变换而得到.∴ππππππππ=一图象上所有点的横坐标变为原来的-纵坐标不变，得解法将=的图象上每一点的横坐标变为原来的-,纵坐标不变，得到=的图象向左平移个单位，得到=的图象；再将的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，图象.备选变式(教师专享)hh已知的最小正周期为π且在给定坐标系中作出函数在,π上的图象；若求的取值范围..√πππππππ ∴E三角函数的性质的取值范围是hh典型示例例hh求的最小正周期和单调递增区间；求在区间的最大值和最小值；求图象的一条对称轴和一个对称中心，使得它们到轴的距离分别最小.【思维导图】求出f(x)的定义城、单调性、对称性、最值或值域等【规范解答】解：函数的最小正周期为【规范解答】解：所以函数的单调递增区间所以函数取最小值当∈所以当=时，所有对称中心中最靠近轴的，【精要点评】对于三角函数二w+φ的性质定义域、单调性、对称性、最值或值域等问题，通常用换元的方法，令=w+φ其性质的研究.总结归纳解有关三角函数性质的问题，通常需先将函数转化为=w+φ的形式，再用研究复合函数的单调性、值域的方法利用正弦函数的图象和性质来处理.若w,还需先利用诱导公式转化为二二的性质进行求解.的形式，再将w+φ看成整体，利用正弦函数额组练透将函数=的图象向左平移φφ>个单位，若所得的图象过!则hhh+φ,即=hhh取得最大值，则正数w的值,为解析：当,4则正数w=解析：由已知得所以故函设函数的最小正周期为π且满足一=求函数的单调递增区间；当时，的最值，并写出取得最值时自变量的值.解：因为的最小正周期为π所以解得w=又-=-∈取得和性质确定函数=例分图象如图所示.设函数二w+φ根据图象当,求的取值范围.h心心h,∈所以π当.所以C变式训练=已知函数<φ<πb为偶函数，且函数=图象的两相邻对称轴间的距离为"将函数=的图象向右平移“个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数=的图象，求的解析式，并写出的单调递减区间.解得w=解得w=将的图象向右平移“个单位后，得到横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再将所得图象上各点的的图象，所以当题型□∈单调递减.三角函数的h应用例距离水面计算时间.必修,已知水轮每分钟转动h例改编如图，一个水轮的半径为,水轮圆心圈，如果当水轮上点从水中浮现时图中点开始hh将点距离水面的高度表示为时间的函数；点第一次到达最高点大约需要多少时间?解：建立如图所示的直角坐标系，则在内所转过的角为"由题意可知水轮逆时针转动，故所求函数解析式得故点第一次到达最高点大约需要备选变式(教师专享)如图为一个缆车示意图，该缆车半径为，圆上最低点与地面距离为，且转动一圈，图中与地面垂直，以为始边，逆时针转动θ角到,设点与地面间的距离为求与θ之间的函数解析式；设从开始转动，经过后到达,求与之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少.解：以圆心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.h中中hπ故点的坐标点在圆上转动的角速度二由∴缆车到达最高点时，用的最少时间为之新题推荐已知函数二则φ的值为的图象过二二函数二w的值为π答案：最小正周期为π且它的图象过点的最小正周期为π则w=,所以=+φ,它的部分图象如图所示.若,两点之间的距离=,则将函数=称，则φ=+φφπ的图象沿轴向左平移hh函数的部分图象如图所示.求φ及图中的值；求在区上的最大值和最小值.又所以二一由可知南师附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考将函数=φφπ的图象沿轴向左平移“个单位后，得到函数=的图象，若函数过原点，则φ=+的图象若函数=值分别是hh所以二第三次全国大联考江苏卷将函数二移φφπ个单位长度后得到函数的图象，若则φ的值为的图象向右平的图象都经过点答案：π十+在区|上的最大值为,则二十个零点.∈得或∈恰有个零点，此时一的最小值为在区间,上恰有个零点，hh疑难指津//求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.求解三角函数的值域最值常见到以下几种类型：①形如=十+的三角函数化为=w+φ+的形式，再求值域②形如=十+的三角函数，可先设=,化为关于的二次函数求值域最值;③形如=十+的三角函数，可先设=化为关于的二次函数求值域最值.对于形如=w+φ+函数的性质定义域、值域、单调性、对称性、最值等，可以通过换元的方法令=w+φ将其转化为研究=的性质.求函数=w+φ>,的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由最高低点的纵坐标确定,由周期确定w由适合解析式的点的坐标来确定φ但由条件求得=w+φ>,的解析式一般不惟一，只有限定φ的取值范围，才能得出惟一解.由=的图象变换到=w+φ的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换伸缩变换,平移的量是φ个单位；而先周期变换伸缩变换再相位变换，平移的量个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对而言，即本身加减多少值，而不是依赖于w加减多少值.备课札记第课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式对应学生用书文、理~页 掌握两角和与差的三角函数公式，能运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.①了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程②能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式，体会化归思想的应用. 且解析：∵且hhhh必修练习十二二—十二二二一+V的值域是+V的值域是二解两角差的余弦公式推导过程设单位圆上两点α,α,由向量数量积的坐标表示，可知=公式之间的关系及导出过程aβaaβahh以-β代公式=-q的终边所在象限由,的符号来决定.十4常用公式变形hhhh要点导学各个击破利用角的「 十改编题求十十十 十二二二√酒型J给值求值、求角问题典型示例例hhhh给值求值问题根据三角遍数值与角的所以所以αC-解法因为hh所αa<-所以a=-,所以,所以α=-,所以a=-又√【精要点评】解三角函数给值求值问题，关键在于弄清已知条件与所要求的函数值之间的内在联系，恰当变角或变名’等，使其角或名相同，或具有某种关系，以便利用己知条件.解给值求角问题的方法是先取恰当的三角函数求其值，再结合该函数的单调区间求得角.在选取函数时，应遵循以下原则：①已知正切函数值，则选正切函数；②已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数.若角的范围是则选正弦、余弦皆可；若角的范围是,π,则选余弦较好；若角的范围；则选正弦较好.在解决求值、化简问题时，一般是观察角度、函数名、所求或所证明问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.解决求角问题的关键在于选择恰当准确的三角函数，选择的标准是在角的范围内函数值与角要一一对应，有时需恰当缩小角的取值范围.顺组练透已知—<a<答案：已知所以hhh用用hhh故所以所以_工.,所以故α所以α南京期初如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角α求α+的值.解：因为锐角α的终边与单位圆交于点,且点的横坐标是一因为钝角β的终边与单位圆交于点,且点的纵坐标,所以从而αX因为α为锐角，两钝角，所以α+例-g-g有限制条件αhh两边同除以一α+βα,得α≠,即等式成立.备选变式(教师专享)若解析：已知解析：答案：解析： 豆新题推荐α+β=-,则β=则则江阴期初设α为锐角，若则r 在在轴左侧，且最靠近的图象的对称轴方程中，hh解析：对函数进行化简可得则由+轴左侧，且最靠近十在△中，已知的值为答案：解析：由题意二二二二二两式相除得又由二所以二二二=十所以十十二已知解析：由已知解析：由二+=的两个实根，则∴由题意知α+β=-,aβ=-,解析：∵二∵的最大值为PP+φ的最大值为4已知求求所以的值.,,hh故πXπ所以∈所以=π于是由β=→β=n疑难指津///对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：①化为特殊角的三角函数值；②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值.三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示已知角为一个时，待求角一般与已知角成倍的关系或互余互补”关系.解决求角问题既要注意选择恰当准确的三角函数，又要注意角的范围.遵循选择的原则使在角的规定范围内函数值与角的对应，必要时谨慎考虑恰当缩小角的取值范围.hh)考点新知掌握二倍角公式正弦、余弦、正切,能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体会化归思想的应用.解析：由题意得α=—,所以a—αa—改编题若,则α—解析：,等式左边分子、分母同除以α,解得必修复习题改编函数=的最小正周期为答案：π解析：函数=就是=-一,故它的最小正周期为π改编题函数=十的最大值为已知α为锐角，且a=-,则 hh知识清单ahh 所以所以所以所以已知则,事,hh解法由得两边平方，得+αααα题型门题型门例已知已知求即所以因为所以所以所以已知α+解析：由α+α=-两边平方得+a=-,解得a=--,所以h事事h随型门在研究三角函数中的应用例周期为π已知函数二WV)二倍角公式ww>的最小正求函数的表达式；,二0的值.∵函数的最小正周期为π∴∴十.:○变式训练已知函数二求函数的最小正周期和单调递增区间；当村，求函数的值域.V所以函数的最小正周期为=π∈hhh值为h新题推荐第二次全国大联考江苏卷已知解析：依题意得二十π_的最大值为解析：由+且以当=+且泰州中学期初已知解：将所C为件察示系列忽视角的范围致误hh“-易错分析：本题条件α,E,π的范围较大，需结合a+β=一缩小角的范围，否则极易误由c求a,或由a+β求α+β得两解.解：∵特别提醒：在解决三角函数式的求值或根据三角函数值求角问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号.有时已知条件给出的角的范围较大，解题时应注意挖掘隐含条件，缩小角的范围.另外，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错.π==∴hhhh= g-"_√求的值.且θ=α+π且θ=α+π因为于是0=观察已知条件与所求式子之间的联系从三角函数名及角入手；将已知条件代入所求式子，化简求值.应用倍角公式，一是要选择合适的公式，二是要注意正用和逆用.降幂公式是解决含有式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧.备课札记hhhh第课时简单的三角恒等变换对应学生用书文、理～页《)灵活掌握公式间的关系，能运用它们进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明.能运用三角函数各种公式进行恒等变换以及解决综合性问题. 回归教材已知角α的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为αα—ααα—α必修习题解析：为必修习题则的值hh=-,hh①π=——三角函数的最值问题用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 二十十可先降次，整理转化为上一种形式.转化为只有分母含或的函数式或二或二的形式，利用正、余弦函数的有界性求解.用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式②=十———,,,令=,则转化为求=+--≤≤的最值，一般可用基本不等式或单调性求解.备课札记hh题根精选题型门恒等变换例启东中学模拟在△三角形中的中，三个内角分别为，,,已因为, 所以二 在三角形所=-,解析：由题意知，等式两边同除以巧与公式的灵活运用例角的构造技hhhh从名”入手，异名化同名从名”入手，异名化同名原式=解法从幂”入手，利用降幂公式先降幂α解法从形”入手，利用配方法，先对二次项进行配方αβ备选变式(教师专享)十故原式=-βhh随型门换与三角函数性质的综合问题三角恒等变典型示例例如图，在直角坐标系中，角α的顶点是原点，始边与轴正π半轴重合，终边交单位圆于点,且将角α的终边按逆时针方向旋转-,交单位圆于点记分别过，作轴的垂线，垂足依次为,记△的面积为,△的面积为若=,求角α的值.【思维导图】(1)利用三角函数的定义求村用和角公式求得三角茜数的综合(2)由S,=S,利用三角恒等根据三角品数值与角的变换泉解a的三角函故值范国确定商q的太小因为α=-,所以依题意得απ_απ,整理得总结归纳这类以角的终边上的点的坐标为背景的综合题，通常应考虑应用三角函数的定义hh顺组练透坐标为-,则α—hh解析：因为点的纵坐标为=-,且点在第二象限，又圆为单位圆，所以点的横坐标=--由三角函数的定义可得α=--因为α的终边在第二象限，所以X轴的正半轴的交点为，点,在圆上，且点位于第一象限，C轴的正半轴的交点为，点,在圆上，且点位于第一象限，Cα点的坐标α点的坐标α解析：由题意得α_αt_[=√+αa_√如图，在平面直角坐标系中，点,,均在单位圆上.已知点且横坐标是-,点在第二象限，点设∠=0,若△为正三角形，求点的坐标.在单位圆上且在第一象限，所以解：由题设得θ=-,因为点在单位圆上且在第一象限，所以θ0二十θ0二θ在第一象限h若为锐角，且h则为锐角，所以已知是单位圆圆心为坐标原点,半径为上任一点，将射线绕点一的最大值为，则=轴正半轴的夹角为θ,—二轴正半轴的夹角为θ,—二解析：设与√小关系为I十二二二十二二二_二二在△中，角,,所对边的长分别是，,已知—二0的大十代入十得十π由正弦定理得hhh:即·:即·h十必修练习改编化简：V解析：因为E所以9_L解析：因为E所以9_L二已知函数二+√二求函数的最小正周期；在△中，若二,θ所以+,求的值.∴函数的最小正周期为∴:即=+=π—ππ熟知一些恒等变换的技巧hh熟记三角函数的有关公式，不但要熟悉公式的正用，还要注意公式的逆用及变形运熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如α=α+β+α-β,a=α+βhh在三角函数运算、求值、证明过程中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的.总之，三角恒等变换说到底就是四变”,即变角、变名、变式、变幂.通过对角的分拆，使角相同；通过转换函数，使函数同名最好使式中只含一个函数名；通过对式子变形进行化简尽可能整式化、低次化、有理化;通过幂的升降，达到幂的统一.hh正、余弦定理及三角形面积公式.掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.答案：必修习题题改编若锐角△的面积为√,且=,=,则答案：解析：因为△的面积=一,所以√=-,解得因为角为锐角，所以=-根据余弦定理，得=+—二答案：直角三角形解析：因为十二由正弦定理可得十二,所以十=,即二因为为三角形内角，所以二解析：∵,结合已知等式得_[_[答案：解析：由正弦定理得=-,由余弦定理得,又=,=,=hh知识清单Mhh 其中为△二二余弦定理外接圆的半径.二 '=三角形中的常见结论任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.△的面积公式①=-表示边上的高；③=-++为内切圆半径; 在△在△中，已知=,=例则边长为在△中，内角,,所对边的长分别是,,,且△若的面积为-十π因为△的面积为-hh+=-又+=π所以=IC变式训练扬州中学模拟在△中，角，,所对边的长分别为,,若=√则由余弦定理得=+=,则边上的高等于弦定理判定三角形的形状例,故边上的高是_利用正、余所对边的长，且解：由已知，根据正弦定理得由余弦定理得=+所以△是等腰钝角三角形.备选变式(教师专享)答案：等腰直角三角形十十二=,=π,所以=+△的形状是等腰直角三角形.弦定理化简或求值二,所以有-=-利用正、余例hh备选变式(教师专享)解析：∵=-一的外接圆的半径，hh随型门积有关的问题和三角形面典型示例例求角的大小；【思维导图】(1》利用余弦定理将边转化为角求解综合应用正、余弦定理解三角形问题利用而积公式求而积(2)利用正体定理或余值定理利用而积公式求而积进行边角转化求a.h关系在△【规范解答】解：二,中，由十一++在△【规范解答】解：二,,由正弦定理，得,由正弦定理，得二因为++=π,所以所以-=,即=,所以==所以△的面积为=一=一T=所以△的面积为=-=一【精要点评】解三角形时，若已知条件是边角关系，通常需先化边为角或化角为边；当式子中含有边的二次式或角的余弦时，可考虑用余弦定理：当式子中含有边的一次式或角的正弦时，则考虑用正弦定理；若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用上.对于面积问题，一般是根据已知角选用相关的公式.必要时，需要用正弦定理或余总结归纳正弦定理和余弦定理是解三角形和判断三角形形状的重要工具，其主要作用是将已知条顺组练透在△中，内角,,所对边的长分别为,,若△的面积为,且hhh*答案：解析：解,h,解得= 一 二hh解法所以=二符合条件.二符合条件.二又若=√,△的面积求△的周长.+=在锐角三角形_又的两根，的两根，求及△的面积.==C=-=-解析：在△中，因为十=√,利用正弦定理得+淮安质检已知在△中，内角,,所对边的长分别为,,若=hhππhh所以△是正三角形，所以=-△的内角,,则△面积的最大值为解析：由正弦定理得又∈,π,所以="所以△的面积=-由已知及余弦定理得==I II_[十当且仅当=时，等号成立，因此△面积的最大值为√+南京、盐城一模在△中，,,分别为内角,,所对边的长，且二二,根据正弦定理，所以所以又+=-T,即hhhh在锐角△中，角，,所对边的长分别为，,若二√,得=①,,所对边的长分别为,,,已,所对边的长分别为,,,已知若∠=,求角因为=一∠十所以二Z十∠二二,所以疑难指津///hh备课札记hhhh第课时解三角形应用举例对应学生用书文、理～页 重温教材夯实基础课前·考点引领要点梳理自主学习))正余弦定理在应用题中的应用.能准确地建立数学模型，并能运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量学、力学、运动学及几何计算有关的实际问题.回归教材必修练习改编为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩如图，要测算,两点的距离，测量人员在岸边定出基线,测得=,∠二,∠=,就可以计算出,两点的距离为解析：在△中，由正弦定理得————,所以必修练习改编已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都是在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为解析：由题图可知，∠=,则由余弦定理得=+一∠,解得=√如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取，两点，从,两点分别测得建筑物顶端的仰角为,且,两点间的距离为,则该建筑物的高度为解析：在△中，∠=,∠二hhhh—_[L_L.T-√由正弦定理，得一=.所以建筑物的高度为某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是 解析：如图，连结，由余弦定理可知=√~+=—=√,故∠必修内的两个测点时，可以选与塔底在同一水平面=时，可以选与塔底在同一水平面=,并在点测得塔顶的仰与测得∠=,∠二角为，则塔高=解析：由题意可知在△由正弦定理可得△中，∠∠知识清单hh用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题，计算面积问题、航海问题、物理问题等.实际问题中的常用角仰角和俯角h2南2南h与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角如图①方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东,北偏西方位角：指从正北方向顺时钍转到目标方向线的水平角，如即坡角的正切值备课札记点的方位角为α如hh 题根题型分类深度副析课中·技巧点拨要点导学各个击破-) 题型门测量距离问题例如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点,之间的距离，他在西江南岸找到一个点,从点可以观察到点,;找到一个点,从点可以观察到点,;找到一个点,从∠=,Z=,∠二求△的面积；求,两点之间的距离.点可以观察到点,;并测量得到数据：∠=二一=--=-平方百米.依题意知，在△中，十十Z二因为二可得百米可得百米二如图，为了计算北江岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两个测量点，现测得⊥,=,=,∠=,∠=,求两景点与的距离假设,,,在同一平面内R]J=,整理得舍去.hh由正弦定理，得一∠∠h的高度为的高度为,h题型门测量高度问题例如图，有一段河流，河的一侧是以为圆心，半径为√的扇形区域，河的另一侧是一段笔直的河岸,岸边有一烟囱不计离河岸的距离，且的连线恰好与河岸垂直，设与圆弧的交点为经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点,点和点处测得烟囱的仰角分别为,和如果要在间修一条直路，求的长.在△所以设和△由题意由题意故的长为备选变式(教师专享)如图，为测量河岸上塔的高，先在河岸上选一点,使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为塔的高是二———,=——=题型]题,再由点沿北偏东方向走到位置,测得∠=,则√在,,测量角度问例处有一艘走私船，在处北偏西的方向，距离为的处的缉私船奉命以√的速度追截走私船.此时，走私船正以的速度从处向北偏东方向逃窜，问缉私船沿什么方向航行能最快追上走私船?hh解：如题图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在处相遇，则可先在△中求出,再在△中求∠在△中，由正弦定理得即缉私船沿北偏东方向航行能最快追上走私船.○变式训练已知岛南偏西方向，距岛的处有一艘缉私艇，岛处的一艘走私船正以的速度向岛北偏西方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用能截住该走私船?参考数据：解：如图，设缉私艇在处截住走私船，为岛正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时,则=二,依题意，∠二二=又由正弦定理得所以∠=又∠=,所以//,故缉私艇以每小时的速度向正北方向行驶，恰好用能截住该走私船.hh新题推荐hh在为,则塔高由正弦定理得一∠∠处观察灯塔，其方向是北偏东，那么,两点间的距离是海里.见电视塔在电动车的北偏东方向上，后到点处望见电视塔在电动车的北偏东∠=由正弦定理知———=———,所以=hhhh南京、盐城二模如图，在△中，为边上一点，=,二如图①,若⊥,求∠的大小；①因为所以所以ππ在△中，∠因为>,所以α为锐角，从而+√_(+V地和地距离地和地距离地分别为米和则,两地的距离为二解析：由余弦定理得=√十二某人在汽车站的北偏西的方向上的处，观察到点处有一辆汽车沿公路向站行驶.公路的走向是站的北偏东开始时，汽车到的距离为，汽车前进后，到的距离缩短了求此时汽车离汽车站的距离.解：由题设，画出示意图，设汽车前进后到达处.hh=,由余弦定理，得hh则所以二在△中，由正弦定理，得从而有=二故汽车离汽车站的距离是如图，为了测量河对岸,点，测得=,∠=点间的距离是两点间的距离，某课外小组的同学在岸边选取,两两解析：在△中，由正弦定理有———=————,解得=√+.在△如图，半圆的直径为,为直径延长线上的一以为一边作等边三角形问：点以为一边作等边三角形解：设∠=α,在△中，由余弦定理得=解：设∠=α,在△为半圆上任意一点，于是，四边形的面积为二一α+α利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解.hhhh测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念.分清已知和待求，分析画出示意图，明确在哪个三角形中应用正、余弦定理.注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形.备课札记hh重温教材夯实基础课前·考点引领要点梳理自主学习>)理解和掌握同角三角函数的基本关系式、三角函数的图象和性质、两角和与差的正弦余弦与正切公式、二倍角公式及正弦定理和余弦定理，并能运用它们解决有关三角函数的综合问题.级考点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式二倍角公式；三角函数的图象和性质；正弦定理和余弦定理.π改编在△中，内角,,所对的边分别为,,,其中的最小正周期为答案：等腰直角三角形解析：由——=——=——及正弦定理得，二=,且故△是等腰直角三角形.成等差数列，则角等于,由正弦定理得十二解析：由题意得,由正弦定理得十二,是三角形的十函数=—二的值域是二E二Ehh知识清单hh同角三角函数的基本关系式两角和与差的正弦、余弦和正切公式β