苏科版数学八年级下册11.2《反比例函数的图像与性质(1)》导学案

苏科版数学八年级下册11.2《反比例函数的图像与性质(1)》导学案汇报时间：2024-01-27汇报人：XXX目录课程介绍与目标反比例函数基本概念反比例函数图像绘制方法反比例函数性质探讨典型例题解析与思路拓展课堂小结与作业布置课程介绍与目标01反比例函数的定义和表达式反比例函数的图像特征反比例函数的基本性质教学内容01知识与技能掌握反比例函数的定义、表达式和图像特征，理解反比例函数的基本性质。02过程与方法通过观察、思考和探究，培养学生的数学思维和解决问题的能力。03情感态度与价值观感受数学与生活的联系，体会数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和求知欲。教学目标0102反比例函数的定义、表达式和图像特征，反比例函数的基本性质。理解反比例函数图像的变化规律，掌握反比例函数性质的运用。教学重点教学难点教学重点与难点反比例函数基本概念020102一般地，形如$y=frac{k}{x}$（$k$是常数，$kneq0$）的函数叫做反比例函数。其中$x$是自变量，$y$是因变量，$k$是比例系数。反比例函数也可以写为$xy=k$的形式，其中$k$是常数且$kneq0$。反比例函数定义0102反比例函数自变量取值范围因为当$x=0$时，函数值$y$没有意义（分母不能为0），所以$x$不能取0。在反比例函数$y=frac{k}{x}$中，自变量$x$的取值范围是$xneq0$的所有实数。

反比例函数解析式特点解析式$y=frac{k}{x}$中，比例系数$k$是常数且$kneq0$。当$k>0$时，反比例函数的图像位于第一、三象限；当$k<0$时，反比例函数的图像位于第二、四象限。在每个象限内，随着$x$的增大（或减小），$y$值随之减小（或增大），即反比例函数的图像在每个象限内都是单调减少的。反比例函数图像绘制方法03列出函数自变量与因变量的对应值表01根据反比例函数的解析式，选取一系列自变量$x$的值，并计算出对应的因变量$y$的值，列出表格。在坐标系中描点02根据表格中的自变量和因变量的值，在平面直角坐标系中描出对应的点。用平滑曲线连接各点03用平滑的曲线将描出的各点连接起来，得到反比例函数的图像。列表法绘制图像步骤010203为了使图像更加准确，应该选取一系列合适的自变量$x$的值，包括正数和负数，以及接近零的数。选取合适的自变量值根据自变量的取值范围和因变量的变化情况，选择合适的坐标系比例，以便更好地展示函数的图像。确定坐标系的比例与列表法相同，用平滑的曲线将描出的各点连接起来，得到反比例函数的图像。用平滑曲线连接各点描点法绘制图像技巧反比例函数图像的对称性反比例函数的图像关于原点对称，即如果点$(x,y)$在图像上，那么点$(-x,-y)$也在图像上。反比例函数图像的伸缩性当反比例函数的解析式中的常数$k$发生变化时，其图像会沿着坐标轴进行伸缩变换。具体来说，当$k$增大时，图像会沿着坐标轴向外扩展；当$k$减小时，图像会沿着坐标轴向内收缩。反比例函数图像的平移性通过平移变换，可以将反比例函数的图像移动到任意位置。具体来说，如果将解析式中的$x$替换为$x+a$（$a$为常数），那么图像会沿着$x$轴向左或向右平移；如果将解析式中的$y$替换为$y+b$（$b$为常数），那么图像会沿着$y$轴向上或向下平移。图像变换规律探究反比例函数性质探讨04通过观察反比例函数图像，可以直接判断出函数在各自象限内的增减性。观察法利用反比例函数的解析式，可以推导出函数在各自象限内的增减性。具体步骤包括求导、判断导数的正负等。解析法在函数图像上取特殊点，比较这些点的函数值大小，从而判断出函数的增减性。特殊值法函数增减性判断方法对称性表现反比例函数的图像关于原点对称，即如果点(x,y)在函数图像上，那么点(-x,-y)也在函数图像上。证明过程设点P(x,y)是反比例函数图像上的任意一点，则点P关于原点的对称点为P'(-x,-y)。由于点P在反比例函数图像上，所以有xy=k（k为常数）。将x和y分别替换为-x和-y，得到(-x)(-y)=k，即-xy=k。这说明点P'也在反比例函数图像上，因此反比例函数的图像关于原点对称。对称性表现及证明过程反比例函数在其定义域内没有最大值和最小值。这是因为反比例函数的值域是全体实数集，无论x取何值（x≠0），y都可以取到任意实数。在实际应用中，如果需要考虑反比例函数在某个特定区间内的最值问题，可以通过求导、判断单调性等方法来解决。例如，可以求出函数在指定区间内的极值点，然后比较这些点的函数值大小来确定最值。最值问题讨论典型例题解析与思路拓展05例题2已知点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$在反比例函数$y=frac{k}{x}$（$k>0$）的图像上，且$x_1<x_2$，比较$y_1$和$y_2$的大小。例题1已知反比例函数$y=frac{k}{x}$（$kneq0$），当$x=2$时，$y=3$，求该反比例函数的解析式。例题3已知反比例函数$y=frac{k}{x}$（$kneq0$）的图像经过点$(1,-2)$，判断该函数图像所在的象限。典型例题选讲对于典型例题1，解题思路为根据已知条件，将$x=2$和$y=3$代入反比例函数$y=frac{k}{x}$中，解出$k$的值，从而得到该反比例函数的解析式。对于典型例题2，解题思路为根据反比例函数的性质，当$k>0$时，函数图像位于第一、三象限。在每个象限内，随着$x$的增大，$y$的值逐渐减小。因此，当$x_1<x_2$时，有$y_1>y_2$。对于典型例题3，解题思路为将已知点$(1,-2)$代入反比例函数$y=frac{k}{x}$中，求出$k$的值。根据$k$的正负性判断函数图像所在的象限。若$k>0$，则图像位于第一、三象限；若$k<0$，则图像位于第二、四象限。010203解题思路梳理与拓展延伸避免策略避免策略在解题前认真审题，明确题目中的条件限制和要求，确保求解过程符合题目要求。避免策略在解题时结合反比例函数的性质（如增减性），对图像上点的坐标进行正确的比较和判断。易错点3在判断反比例函数图像所在象限时，未注意到$k$值的正负性对图像位置的影响，导致判断错误。在求解反比例函数解析式时，未注意到题目中给出的条件限制（如$kneq0$），导致求解错误。易错点1易错点2在比较反比例函数图像上两点纵坐标大小时，未考虑到函数图像的增减性，导致判断错误。在解题时根据$k$值的正负性判断反比例函数图像所在的象限，确保判断正确。易错点提示及避免策略课堂小结与作业布置06反比例函数的定义和表达式反比例函数的性质，包括增减性、对称性等反比例函数的图像特征及其与坐标轴的关系通过具体实例加深对反比例函数图像和性质的理解课堂小结回顾本节课内容绘制反比例函数的图像，并分析其特点判断给定函数是否为反比例函数，并说明理由分析反比例函数的增减性和对称性，并给出证明利用反比例函数的性质解决实际问题01