计算机控制系统 课件 第7章 计算机控制系统的状态空间设计

《计算机控制系统》第7章计算机控制系统的状态空间设计2023年7月第7章计算机控制系统的状态空间设计状态空间设计方法：是现代控制理论中的一种重要方法，该方法用一组状态变量构成的微分方程组来描述系统，既能反映系统外部的行为，又能揭示系统内部的运动规律。模块导学计算机控制系统由离散状态方程进行系统描述、分析与设计，离散状态空间与连续状态空间本质上是一致的，但系统特性和设计方法等均有所不同。第7章计算机控制系统的状态空间设计模块导学本章重点讨论计算机控制系统的离散状态空间描述，分析了离散系统的能控能观性，介绍了离散系统的状态反馈控制器设计方法和观测器设计方法，给出了带状态观测器的状态反馈控制器的设计方法，给出了线性二次型最优控制器和线性二次型高斯最优控制器的设计方法，最后，基于典型案例综合设计实践对本章相关内容进行应用总结。第7章计算机控制系统的状态空间设计47.1离散系统状态空间描述7.2离散系统的能控性和能观性7.3离散系统的状态反馈控制器设计7.4离散系统的状态观测器设计7.5带状态观测器的状态反馈控制器设计7.6线性二次型最优控制器设计7.7典型案例分析与设计7.1离散系统状态空间描述57.1.1差分方程化为状态空间描述7.1.2脉冲传递函数化为状态空间描述7.1.3离散系统状态方程求解7.1.4连续系统的离散化

7.1.1差分方程化为状态空间描述6离散系统状态空间描述离散系统还可以用差分方程或脉冲传递函数来描述，它们都是基于系统输入输出特性的描述。根据离散系统的差分方程或脉冲传递函数，可以得到系统基于“输入-状态-输出”的状态空间方程。7.1.1差分方程化为状态空间描述7n阶差分方程对于单输入单输出离散系统，可用下面的n阶差分方程来描述令𝑚=𝑛,则差分方程为7.1.1差分方程化为状态空间描述8差分方程转换选择状态变量系统的状态空间方程可表示为7.1.1差分方程化为状态空间描述9

7.1.2脉冲传递函数化为状态空间描述10

7.1.2脉冲传递函数化为状态空间描述11

7.1.3离散系统状态方程求解12

7.1.3离散系统状态方程求解13例7.1.1（迭代法）解7.1.2脉冲传递函数化为状态空间描述14Matlab程序G=[0,1;-0.16,-1];H=[1;1];x(1:2,1)=[1;-1];u=1;fori=1:3x(:,i+1)=G*x(:,i)+H*uend%%输出x=1.000002.84000.1600-1.00001.8400-0.84001.3856Z变换法离散系统的状态方程可采用Z变换法求解。对状态方程两边进行Z变换,则有两边进行Z反变换则有最后得到的状态方程解可写为7.1.3离散系统状态方程求解15

7.1.4连续系统的离散化16

7.1.4连续系统的离散化17

7.1.4脉冲传递函数化为状态空间描述18Matlab程序A=[01;0-2];B=[0;1];T=1;[GH]=c2d(A,B,T)G=1.00000.432300.1353H=0.28380.4323第7章计算机控制系统的状态空间设计197.1离散系统状态空间描述7.2离散系统的能控性和能观性7.3离散系统的状态反馈控制器设计7.4离散系统的状态观测器设计7.5带状态观测器的状态反馈控制器设计7.6线性二次型最优控制器设计7.7典型案例分析与设计7.2离散系统的能控性和能观性207.2.1离散系统的能控性7.2.2离散系统的能观性7.2.3离散系统能控能观性与采样周期的关系能控性定义在经典控制理论中，只讨论输入对输出的控制，只要系统是稳定的，输出就能跟随输入变化。在现代控制理论中，把反映系统内部运动状况的状态变量作为被控量，它不一定是能够实际量测到的物理量。7.2.1离散系统的能控性21x2不能控

7.2.1离散系统的能控性22能观性定义在现代控制理论中，大多采用反馈控制，但是并非所有的状态变量都是物理上可测量的，实际能测量到的输出量可能是某些状态变量的线性组合。那么，系统的测量输出能否包含状态变量的全部信息，是否具有完全反映状态变量变化情况的能力，就是系统的能观性问题。7.2.2离散系统的能观性23x2不能观

7.2.2离散系统的能观性24

7.2.2离散系统的能观性25

7.2.2离散系统的能观性26

7.2.2离散系统的能观性27

7.2.3能控能观性与采样周期的关系28第7章计算机控制系统的状态空间设计297.1离散系统状态空间描述7.2离散系统的能控性和能观性7.3离散系统的状态反馈控制器设计7.4离散系统的状态观测器设计7.5带状态观测器的状态反馈控制器设计7.6线性二次型最优控制器设计7.7典型案例分析与设计7.3.1离散系统的状态反馈307.3.1离散系统的状态反馈7.3.2离散系统的极点配置

7.3.1离散系统的状态反馈31状态反馈闭环系统结构框图

7.3.1离散系统的状态反馈32

7.3.2离散系统的极点配置33

7.3.2离散系统的极点配置34例7.3.1（极点配置）设一连续系统的状态方程为：离散化后得到的状态方程为：其中𝑇是采样周期。取状态变量的反馈控制为：7.3.2离散系统的极点配置35例7.3.1（极点配置）于是，得到闭环系统的状态方程为：闭环系统特征方程为：而预期闭环系统特征方程：7.3.2离散系统的极点配置36例7.3.1（极点配置）令上面两式对应项的系数相等，得到两个方程：进一步解得：7.3.2离散系统的极点配置37例7.3.1（极点配置）在MATLAB控制工具箱中，有极点配置子程序，可以用命令的形式，直接求取离散系统的状态反馈增益矩阵𝐾。该命令格式为：7.3.2离散系统的极点配置38Matlab程序A=[01;00];B=[0;1];T=1;[GH]=c2d(A,B,T);%将系统离散化M=[HG*H];rank(M)%检验系统是否可以任意配置极点p=[0.5+0.5*j0.5-0.5j];K=place(G,H,p)%配置系统极点Matlab程序结果是：G=1101H=0.50001.0000rank(M)＝2%系统可以任意配置极点K=0.50000.7500第7章计算机控制系统的状态空间设计397.1离散系统状态空间描述7.2离散系统的能控性和能观性7.3离散系统的状态反馈控制器设计7.4离散系统的状态观测器设计7.5带状态观测器的状态反馈控制器设计7.6线性二次型最优控制器设计7.7典型案例分析与设计7.3.1离散系统的状态反馈407.4.1系统状态的开环估计7.4.2全维状态观测器设计7.4.3降维状态观测器设计

7.4.1系统状态的开环估计41

7.4.1系统状态的开环估计42开环估计器结构

7.4.2全维状态观测器设计43闭环状态估计器结构框图

7.4.2全维状态观测器设计44

7.4.2全维状态观测器设计45当前值观测器当前值观测器的结构如下：当前值观测器的误差方程为：7.4.2全维状态观测器设计46当前值观测器结构框图

例7.4.1（预测、当前值观测器）离散系统的状态方程为：解：先计算预测观测器，有：所以，预测观测器的特征方程为：若观测器期望的特征方程为：由上述两个方程对应项系数相等，可得：7.4.2全维状态观测器设计47

7.4.2全维状态观测器设计48

7.4.2全维状态观测器设计49Matlab程序预测观测器G=[11;01];H=[0.5;1];C=[10];p=[0.5+0.5j0.5-0.5j];K=place(G',C',p);L=K'结果为：L=1.00000.5000Matlab程序当前观测器G=[11;01];H=[0.5;1];C=[10];p=[0.5+0.5j0.5-0.5j];M=C*G；K=place(G',M',p);L=K';结果为：L=0.50000.5000

7.4.3降维状态观测器设计50

7.4.3降维状态观测器设计51降维观测器与全维观测器区别降维观测器与全维状态预测观测器中各变量及矩阵的对应关系如下：降维状态观测器方程：还可求得观测误差方程为：7.4.3降维状态观测器设计52第7章计算机控制系统的状态空间设计537.1离散系统状态空间描述7.2离散系统的能控性和能观性7.3离散系统的状态反馈控制器设计7.4离散系统的状态观测器设计7.5带状态观测器的状态反馈控制器设计7.6线性二次型最优控制器设计7.7典型案例分析与设计

7.5带状态观测器的状态反馈控制器设计54误差状态方程若采用预测观测器，观测误差的状态方程为：联立上述各方程，可得组合系统状态方程为：该系统的特征方程为：7.5带状态观测器的状态反馈控制器设计55

7.5带状态观测器的状态反馈控制器设计56

7.5带状态观测器的状态反馈控制器设计57例7.5.1（观测器+状态反馈控制器）又因为所以，可得下述降维状态观测器方程：对上面两式做z变换，可得：于是有：进一步可以得到：7.5带状态观测器的状态反馈控制器设计58Matlab程序G=[11;0.11];H=[0.005;1];C=[10];G11=1;G12=0.1;G21=0;G22=1;P=0.5L=place(G22,G12,p)；结果为：L＝5第7章计算机控制系统的状态空间设计597.1离散系统状态空间描述7.2离散系统的能控性和能观性7.3离散系统的状态反馈控制器设计7.4离散系统的状态观测器设计7.5带状态观测器的状态反馈控制器设计7.6线性二次型最优控制器设计7.7典型案例分析与设计607.6.1有限时间状态调节器7.6.2无限时间状态调节器7.6.3线性二次型高斯最优控制7.6线性二次型最优控制器设计

7.6.1有限时间状态调节器61

7.6.1有限时间状态调节器62

7.6.1有限时间状态调节器63

7.6.1有限时间状态调节器64

7.6.1有限时间状态调节器65

7.6.1有限时间状态调节器66

7.6.1有限时间状态调节器67例7.6.1（有限时间状态调节器）7.6.1有限时间状态调节器68Matlab程序A=[0.45,-0.21;0.28,0.95];B=[0.035;0.008];N=21;Q=10*eye(2);S=1*eye(2);R=1;x(2,N)=0;x(:,1)=[5;5];u(N-1)=0;P(2,2,N)=0;P(:,:,N)=S;K(N-1,2)=0;fori=N-1:-1:1P(:,:,i)=Q+A'*P(:,:,i+1)*A-A'*P(:,:,i+1)*B*inv(R+B'*P(:,:,i+1)*B)*B'*P(:,:,i+1)*A;K(i,:)=-inv(R+B'*P(:,:,i+1)*B)*B'*P(:,:,i+1)*A;endfori=1:N-1u(i)=K(i,:)*x(:,i);x(:,i+1)=A*x(:,i)+B*u(i);end有限时间状态调节器状态向量阶跃响应曲线

7.6.2无限时间状态调节器69

7.6.2无限时间状态调节器70

7.6.2无限时间状态调节器71

7.6.2无限时间状态调节器72例7.6.2（无限时间状态调节器）7.6.2无限时间状态调节器73Matlab程序A=[0.45,-0.21;0.28,0.95];B=[0.03;0.008];num=20;Q=10*eye(2);R=1;x(2,num)=0;x(:,1)=[5;5];u(num)=0;[K,P]=dlqr(A,B,Q,R);fori=1:numu(i)=-K*x(:,i);x(:,i+1)=A*x(:,i)+B*u(i);end无限时间状态调节器状态向量阶跃响应曲线

7.6.3线性二次型高斯最优控制74

7.6.3线性二次型高斯最优控制75

7.6.3线性二次型高斯最优控制76

7.6.3线性二次型高斯最优控制77例7.6.3（线性二次型高斯最优控制）7.6.3线性二次型高斯最优控制78Matlab程序A=[0.45,-0.21;0.28,0.95];B=[0.03;0.008];C=[0,0.5];num=50;Q=10*eye(2);R=1;x(2,num)=0;x(:,1)=[0;0];u(num)=0;xo(2,num)=0;yo(num)=0;F=-dlqr(A,B,Q,R);Qk=0.1*eye(2);Rk=10;K(2,1)=0;P(2,2)=0;fori=1:num+1x(:,i+1)=A*x(:,i)+B*u(i);y(i)=C*x(:,i);ifi>1xo(:,i)=A*xo(:,i-1)+B*u(:,i-1);K=P*C'*inv(C*P*C'+Rk);xo(:,i)=xo(:,i)+K*(y(:,i)-C*xo(:,i));P=A*(eye(2)-K*C)*P*A'+Qk;yo(i)=C*xo(:,i);endu(i+1)=F*xo(:,i)+1*13.333;end线性二次型高斯最优控制阶跃响应曲线第7章计算机控制系统的状态空间设计797.1离散系统状态空间描述7.2离散系统的能控性和能观性7.3离散系统的状态反馈控制器设计7.4离散系统的状态观测器设计7.5带状态观测