三角形多边形内角和外角和

三角形多边形内角和外角和2020.8.29

一.选择题（共15小题）

1.如图，已知AE是△ABC的角平分线，A。是BC边上的高，若NABC=34°,ZACB=

2.如图，点。在△ABC内，且/8DC=120°,Zl+Z2=55°,则乙4的度数为（）

A.50°B.60°C.65°D.75°

3.在△ABC中，2（NA+N8）=3ZC,则NC的补角等于（）

A.36°B.72°C.108°D.144°

4.AABC的三个内角/A,NB,NC满足关系式NB+/C=3/A,则此三角形（）

A.一定是直角三角形B.一定是钝角三角形

C.一定有一个内角为45°D.一定有一个内角为60°

5.如图，在aABC中，高BD,CF相交于点E,若NA=52°,贝I]NBEC=（）

6.正五边形的每个内角度数为（）

A.36°B.72°C.108°D.120°

7.如图，4D是△A8C的高，BE是△ABC的角平分线，BE,AO相交于点F,已知N8AO

=42°,则NBFZ)=()

A.

B

A.45°B.54°C.56°D.66°

8.如图，在△48。中,ZA=50°,Zl=30°,Z2=40°,/拉的度数是()

A.110°B.120°C.130°D.140°

9.已知△A8C中，NA=20°,NB=NC,那么三角形△ABC是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形

10.如图，把△A8C纸片沿OE折叠，当点A落在四边形3COE内部时，则NA与N1+N2

之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是()

B.2NA=N1+N2

C.3N4=2N1+N2D.3NA=2(Z1+Z2)

11.(H+1)边形的内角和比〃边形的内角和大()

A.180°B.360°C.HX180°D.〃义360°

12.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O,则NAOC+NOO3=()

D

R

A.90°B.120°C.160°D.180°

13.如图，小明将几块六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形.若

,则对应的图形是（）

14.如图，小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形.若

新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的是下列哪个图形（）

C.

15.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°,则原多边形的边数

是（）

A.15或17B.16或15C.15D.16或15或17

填空题（共10小题）

16.如图，若将三角板的一个45°的角沿虚线断开，则Nl+N2=

17.如图，五边形ABCQE中，AE//BC,则NC+NQ+NE的度数为

18.如图，在△43C中，NA=50°,若剪去/A得到四边形3CDE,则Nl+/2=

19.如图，两直线A8与CZ）平行，则Nl+/2+/3+/4+/5+/6=

20.小明从P点出发，沿直线前进10米后向右转a,接着沿直线前进10米，再向右转a,…,

照这样走下去，第一次回到出发地点P时，一共走了120米，则〃的度数是.

21.如图所示，把一个四边形纸片ABC。的四个顶角分别向内折叠，折叠之后，4个顶点不

重合，那么图中N1+N2+N3+N4+N5+N6+/7+N8的度数是.

C

22.如图，正方形488中，截去/A,/C后，ZLZ2,Z3,/4的和为

B

1

D—C

25.一个四边形的四个内角中最多有个钝角，最多有个锐角.

三.解答题(共14小题)

26.如图，已知在△ABC中，NB与NC的平分线交于点P.

(1)当/A=70°时，求/BPC的度数；

(2)当NA=112°时，求NBPC的度数；

(3)当NA=a时，求NBPC的度数.

27.如图，已知六边形ABCOE尸的每个内角都相等，连接A。.

(1)若Nl=48°,求N2的度数；

28.如图，四边形ABC。中，已知NB、/C的角平分线相交于点O,ZA+ZD=200°,求

NB0C的度数.

D

29.如图，将六边形纸片ABCDE尸沿虚线剪去一个角(NBC3)后，得至UN1+N2+N3+N

4+Z5=400°,求/BGD的度数.

30.已知：三角形的两个外角分别是a°,p°,且满足(a-50)2=-|a+0-2OO].求此三

角形各角的度数.

31.如图，已知△ABC,。在2C的延长线上，E在CA的延长线上，F在AB上，试比较/

1与N2的大小.

32.如图：NACO是△A8C的外角，BE平分/ABC,CE平分NACO,且BE、CE交于点、E.

(1)求证：ZE——ZA.

2

(2)若BE、CE是△ABC两外角平分线且交于点E,则/E与NA又有什么关系？

33.如图，ZVIBC中，A。是高，AE、8F是角平分线，它们相交于点O,ZCAB=50°,

ZC=60°,求/D4E和NBOA的度数.

34.在△ABC中，AB=AC,AC上的中线BD把三角形的周长分为24c”?和30c/n的两个部

分，求三角形的三边长.

35.(1)己知一个正多边形的每个内角比它的每个外角的4倍多30°,求这个多边形的边

数;

(2)一个多边形的外角和是内角和的2,求这个多边形的边数.

7

36.如图所示，在△ABC中，ZA=60°,BD,CE分别是AC,AB上的高，”是和

CE的交点，求/BHC的度数.

Z2,Z3=Z4,NBAC=63°,求

ND4C的度数.

1

工Z4.

BDC

39.已知△ABC中，ZACB=90°,CO为A8边上的高，8E平分NABC,分别交C。、AC

于点尸、E,求证：NCFE=NCEF.

三角形多边形内角和外角和2020.8.29

参考答案与试题解析

选择题（共15小题）

1.如图，已知4E是△ABC的角平分线，AO是BC边上的高，若/48C=34°,乙4cB=

【分析】先求出NB4C的度数，再求出的度数和NBAE的度数，再求出/D4E的

度数.

【解答】解：•••/BAC=180°-34°-64°=82°,

又,：AE是△ABC的角平分线，

：.ZBAE=4\0,

：/ABC=34°,A£>是8c边上的高.

，NBAO=90°-34°=56°,

/.ZDAE=ZBAD-ZBAE=56a-41°=15°.

故选：C.

【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高等知识，解题的

关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

2.如图，点。在△ABC内，且NB£»C=120°,Zl+Z2=55°，则NA的度数为（）

A.50°B.60°C.65°D.75°

【分析】想办法求出/ABC+/ACB的值即可解决问题.

【解答】解：••,[£>=120°,

:.NDBC+NDCB=60°,

VZ1+Z2=55°,

AZABC+ZACB=600+55°=115°,

二/4=180°-115°=65°,

故选：C.

【点评】本题考查三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属

于中考常考题型.

3.在△ABC中，2(ZA+ZB)=3/C,则/C的补角等于()

A.36°B.72°C.108°D.144°

【分析】依据2(NA+NB)=3/C,NA+NB=180°-ZC,即可得出2(180°-ZC)

=3/C,进而得到/C的度数，可得/C的补角.

【解答】解：V2(ZA+ZB)=3ZC,ZA+ZB=180°-ZC,

：.2(180°-ZC)=3ZC,

AZC=72°,

；./C的补角等于108°,

故选：C.

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及补角的概念，解题时注意：三角形内角

和是180°.

4.△ABC的三个内角NA,NB,NC满足关系式NB+/C=3NA,则此三角形()

A.一定是直角三角形B.一定是钝角三角形

C.一定有一个内角为45°D.一定有一个内角为60°

【分析】利用三角形内角和定理以及已知条件求出/A即可.

【解答】解：；NA+/B+NC=180°

又；NB+NC=3NA,

；.4/4=N180°,

：.ZA=45°,

...△ABC一定有一个内角是45°,

故选：C.

【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考

题型.

5.如图，在aABC中，高BD,C尸相交于点E,若NA=52°,贝Ij/BEC=()

【分析】根据高的意义，得出直角，再根据三角形的内角和可求出/ACF,最后根据外

角的性质求出答案.

【解答】解：TB。，C尸是△ABC的两条，

AZAFC=ADB=90°,

：.ZACF=9QQ-NA=90°-52°=38°,

AZBEC=90°+ZACF=900+38°=128°,

故选：B.

【点评】考查三角形高的意义、三角形的内角和定理及推论，掌握三角形的内角和定理

是正确解答的关键.

6.正五边形的每个内角度数为()

A.36°B.72°C.108°D.120°

【分析】求出正五边形的每个外角即可解决问题.

【解答】解：正五边形的每个外角=%二=72°,

5

正五边形的每个内角=180°-72°=108°,

故选：C.

【点评】本题考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常

考题型.

7.如图，AO是△4BC的高，8E是△ABC的角平分线，BE,AO相交于点F,已知NBA。

=42°,则()

A

BDC

A.45°B.54°C.56°D.66°

【分析】根据三角形内角和定理求出/AB。，根据角平分线的定义求出/ABF,根据三

角形的外角性质求出即可.

【解答】解：YA。是△ABC的高，

AZADB=90°,

■：ZBAD=42a,

，NABO=180°-ZADB-ZBAD=^°,

〈BE是AABC的角平分线，

AZABF=^ZABD=24°,

2

AZBFD^ZBAD+ZABF=42Q+24°=66°,

故选：D.

【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质和三角形的高等知识点，能灵

活运用知识点进行计算是解此题的关键.

8.如图，在△ABC中，ZA=50°,Zl=30°,Z2=40°,的度数是（）

A.110°B.120°C.130°D.140°

【分析】利用三角形的内角和定理求出NQBC+NQCB即可解决问题.

【解答】解：,14=50°,

，/ABC+NACB=180°-50°=130°,

ZDBC+ZDCB=ZABC+ZACB-Z1-Z2=130°-30°-40°=60°,

AZB£>C=180°-(NDBC+/DCB)=120°,

故选:B.

【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于

中考常考题型.

9.已知△ABC中，NA=20°,NB=NC,那么三角形△ABC是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形

【分析】根据已知条件和三角形的内角和是180度求得各角的度数，再判断三角形的形

状.

【解答】解：：乙4=20°,

(180°-20°)=80°,

2

...三角形AABC是锐角三角形.

故选：A.

【点评】主要考查了三角形的内角和是180度.求角的度数常常要用到“三角形的内角

和是180°”这一隐含的条件.

10.如图，把△ABC纸片沿OE折叠，当点A落在四边形BCOE内部时，则/A与/1+N2

之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是()

A.ZA=Z1+Z2B.2ZA=Z1+Z2

C.3ZA=2Z1+Z2D.3NA=2(Z1+Z2)

【分析】根据三角形的内角和为180°以及四边形的内角和为360°得到几个角之间的等

量关系，整理化简即可得到所求角之间的关系.

【解答】解：；在△ABC中，/A+/8+NC=180°①：

在△ADE中NA+NAOE+/AEZ)=180°②；

在四边形BCDE中/B+/C+/1+/2+ZADE+ZAED=360°③；

.•.①+②-③得2NA=N1+N2.

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，以及翻折变换，解题的关键是求角的度数常

常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件.

11.(/J+1)边形的内角和比"边形的内角和大()

A.180°B.360°C.nX180°D.〃X360°

【分析】根据多边形内角和定理：(n-2).180523)且n为整数)分别表示出内角

和即可.

【解答】解：(〃+1)边形的内角和：180°X(n+1-2)=180°(n-1),

〃边形的内角和180°X(n-2),

(〃+1)边形的内角和比〃边形的内角和大180°(n-1)-180°X(〃-2)=180°,

故选:A.

【点评】此题主要考查了多边形的内角和，关键是掌握多边形内角和定理：(72-2).180.

12.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O,则NAOC+NZ)OB=()

【分析】因为本题中NAOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求

解.

【解答】解：设/AOO=a,ZAOC=90°+a,NBOD=90°-a,

所以/AOC+/BO£>=90°+a+90°-a=180°.

故选：D.

【点评】本题考查了角度的计算问题，在本题中要注意/AOC始终在变化，因此可以采

用“设而不求”的解题技巧进行求解.

13.如图，小明将几块六边形纸片分别剪掉了一部分(虚线部分)，得到了一个新多边形.若

新多边形的内角和为720°,则对应的图形是()

A.B.

c.D.

【分析】先利用内角和定理计算多边形的边数，再根据图找到合适的图形.

【解答】解：设〃边形的内角和为720°,

则（n-2）X180=720

解得n=6

小明减掉部分后A是七边形，B是六边形，C是五边形，。是四边形.

故选：B.

【点评】本题考查了多边形的内角和定理.利用内角和定理确定多边形的边数是解决本

题的关键.

14.如图，小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形.若

新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的是下列哪个图形（）

【分析】根据新多边形的内角和为720°,〃边形的内角和公式为（«-2）-180°,由此

列方程求n.

【解答】解：设这个新多边形的边数是〃，

则（”-2）780°=720°,

解得：〃=6,

故选：B.

【点评】本题考查了多边形外角与内角.此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式

来寻求等量关系，构建方程即可求解.

15.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°,则原多边形的边数

是（）

A.15或17B.16或15C.15D.16或15或17

【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或

减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题.

【解答】解：多边形的内角和可以表示成（〃-2）780°"23且〃是整数），一个多边

形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，

根据题意得（〃-2）780°=2520°,

解得："=16,

则多边形的边数是15,16,17.

故选：D.

【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个

角后角的个数减少1.

二.填空题（共10小题）

16.如图，若将三角板的一个45°的角沿虚线断开，则/1+/2=225°.

【分析】根据三角形内角和定理求出NCQE+NCEC,再根据邻补角互补求出即可.

VZC=45°,

：.ZCDE+ZCED=\S0°-ZC=135°,

VZl+ZC£)£=180o,Z2+ZCED=180°,

；./1+/2=180°+180°-QCDE+NCED)=225°,

故答案为：225.

【点评】本题考查了三角形内角和定理和邻补角互补，能求出NCQE+/CEQ的度数是

解此题的关键.

17.如图，五边形ABC3E中，AE//BC,则NC+ND+/E的度数为360°

【分析】首先过点。作。尸〃AE,交AB于点F,由AE〃8C,可证得AE〃。尸〃BC,然

后由两直线平行，同旁内角互补，证得NA+/B=180°,Z£+ZEDF=180°,ZCDF+

ZC=180°,继而证得结论.

【解答】解：过点D作DF//AE,交AB于点F,

J.AE//DF//BC,

.".ZA+ZB=180°,NE+NEDF=180°,ZC£>F+ZC=180°,

NC+NCOE+NE=360°,

故答案为360°.

【点评】此题考查了平行线的性质.此题比较适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形

结合思想的应用.

18.如图，在△4BC中，乙4=50°,若剪去NA得到四边形8CDE,则Nl+N2=230°.

【分析】根据三角形内角和为180度可得NB+NC的度数，然后再根据四边形内角和为

360°可得N1+N2的度数.

【解答】解：:△ABC中,ZA=50°,

，/B+NC=180°-50°=130°,

VZB+ZC+Zl+Z2=360°,

.,.Zl+Z2=360°-130°=230°.

故答案为：230°.

【点评】此题主要考查了三角形内角和，关键是掌握三角形内角和为180°.

19.如图，两直线A8与CZ）平行，则/如/2+N3+N4+/5+/6=900°.

【分析】本题要注意到利用内错角和同旁内角，把这六个角转化成5个180°的角.

【解答】解：分别过E点，F点，G点，H点作Li，Li，L3,U平行于AB

利用内错角和同旁内角，把这六个角转化一下，可得，有5个180°的角，

.•.180X5=900°.

故答案为：900.

【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补.

20.小明从P点出发，沿直线前进10米后向右转a,接着沿直线前进10米，再向右转a,…,

照这样走下去，第一次回到出发地点P时，一共走了120米，则a的度数是30。.

【分析】根据多边形的外角和与外角的关系，可得答案.

【解答】解：由题意，得

1204-10=12,

图形是十二边形，

a=360°4-12=30°,

故答案为：30°.

【点评】本题考查了多边形的外角，利用周长除以边长得出多边形是解题关键.

21.如图所示，把一个四边形纸片ABC。的四个顶角分别向内折叠，折叠之后，4个顶点不

重合，那么图中/1+N2+N3+N4+N5+N6+/7+N8的度数是720°

【分析】由折叠可知NI+N2+N3+N4+N5+N6+N7+N8=NB+N8'+NC+NC+NA+N

A'+ZD+ZD',又知NB=NB',ZC=ZC,ZA=ZA',ND=ND;故能求出N1+N2+

Z3+Z4+Z5+Z6+Z7+Z8的度数和.

【解答】解：由题意知，

Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7+Z8=ZB+ZB'+ZC+ZC+ZA+ZA,+ZD+ZD',

•：NB=NB\ZC=ZC,ZA=ZA',ZD=ZD',

.,.Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7+Z8=2(ZB+ZC+ZA+ZD)=720°.

故答案为：720°.

【点评】本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了三角形、四边形等几何基本知识.

22.如图，正方形ABC。中，截去/A,NC后,Zl,Z2,Z3,N4的和为540°.

【分析】根据多边形内角和为(«-2)X1800,再根据正方形性质即可得出答案.

【解答】解：根据多边形内角和为(n-2)X180°,

...截得的六边形的和为(6-2)X180°=720°,

VZB=ZC=90°,

AZI,N2,N3,N4的和为720°-180°=540°.

故答案为540°.

【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及正方形性质，难度适中.

23.如图，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5=540°.

1

h$a

【分析】连接/2和N5,N3和N5的顶点，可得三个三角形，根据三角形的内角和定理

即可求出答案.

【解答】解：连接N2和N5,/3和N5的顶点，可得三个三角形，

根据三角形的内角和定理，/1+/2+/3+/4+/5=540°.

【点评】本题主要考查三角形的内角和为180°定理，需作辅助线，比较简单.

24.三角形的三边长分别为5,1+级，8,则x的取值范围是l〈x<6.

【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

【解答】解：由题意，有8-5<l+2x<8+5,

解得：14V6.

【点评】考查了三角形的三边关系，还要熟练解不等式.

25.一个四边形的四个内角中最多有3个钝角,最多有3个锐角.

【分析】四边形的四个内角和是360度，在这四个角中可以有3个钝角，如都是92度，

则第四个角是一个锐角，但如果有四个钝角，则这四个角的和就大于360度，就不符合

内角和定理.如果有三个角是锐角，如都是80度，第四个角是120度，满足条件，但当

四个角都是锐角时，四个角的和就小于360度，不符合内角和定理.

【解答】解：如图，

一个四边形的四个内角中最多有3个钝角，最多有3个锐角.

【点评】解决本题的关键是理解四边形的内角和，以及每个内角都是大于。度，并且小

于180度.

三.解答题(共14小题)

26.如图，已知在AABC中，与/C的平分线交于点P.

(1)当/A=70°时，求/BPC的度数；

(2)当NA=112°时，求NBPC的度数：

(3)当NA=a时，求NBPC的度数.

【分析】(1)8P根据BP和CP分别是与NC的平分线，Z1=Z2,Z3=Z4,故可

得出/2+/4=工(180°-/A)=90°-AZA,由三角形内角和定理可知，NBPC=

22

90°+L/A,序分当/A=70°

2

代入即可得出结论；

(2)、(3)根据(1)中的结论把/A的值代入进行计算即可.

【解答】解：(1)和CP分别是与/C的平分线，

.*.Z1=Z2,Z3=Z4.

/.Z2+Z4=A(180°-ZA；=90°-工/A,

22

/.ZBPC=90°+AZA.

2

...当N4=70°时，ZBPC=900+35°=125°.

(2)同(1)可得，当/A=112°时，ZBPC=90°+56°=146°.

(3)同(1)可得，当NA=a时，ZBPC=90°+A.a

2

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知“三角形的内角和等于180°”是解答此

题的关键.

27.如图，已知六边形ABCOEF的每个内角都相等，连接AO.

(1)若Nl=48°,求/2的度数;

(2)求证：AB//DE.

【分析】(1)依据六边形ABCDEF的各内角相等，可得一个内角的大小为

(6-2)X180°,即可得到/E=NF=NBAF=120°,再依据四边形内角和为360°,

6

即可得到/2的度数；

(2)先证明N1=N2,再根据平行线的判定即可得到AB〃E>E.

【解答】解：(1)•••六边形ABCCEF的各内角相等，

一个内角的大小为(6-2)X180°,

6

AZE=ZF=120°.

VZMB=120°,Zl=48°,

：.ZFAD=ZFAB-ZDAB=120°-48°=72°.

VZ2+ZMD+ZF+ZE=360°,ZF=Z£=120°,

.•./AZ)E=360°-AFAD-ZF-ZE=360°-72°-120°-120°=48°.

(2)证明：VZ1=12O°-ZDAF,

Z2=360°-120°-120°-ZDAF=\200-ZDAF,

/.Z1=Z2,

【点评】本题主要考查了多边形内角，解题时注意：多边形内角和=(n-2)-180°(〃

23且〃为整数).

28.如图，四边形ABCQ中，已知NB、NC的角平分线相交于点O,ZA+ZD=200°,求

ZBOC的度数.

D

【分析】根据80、CO分另I」是/ABC、/BC。的平分线可知/08C=」NABC,ZOCB

2

=L/BCD,从而可转化为N08C=2（/A8C+/BC£>）,容易求出/ABC+/BCD的值，

22

进而得到NOBC的度数.

【解答】解：四边ABCQ中，NA+NABC+/BC£>+N£>=360°…（1分），

VZA+ZD=200°,

AZABC+ZBCD=360a-200°=160°—（2分），

•；BO、C。分别是NABC、NBC£）的平分线，

ZOBC=^ZABC,NOCB=L/BCD,

22

/.ZOBC=A（ZABC+ZBCD）=工义160°=80°—（3分），

22

NBOC+NOBC+NOCB=180°,

AZBOC=180°-80°=100°,

二/BOC的度数为100°…（4分）.

【点评】此题考查了多边形的内角和外角及三角形内角和定理，在解答时利用整体思想

可以提高解题效率.

29.如图，将六边形纸片A8CDEF沿虚线剪去一个角QBCD）后，得到/1+N2+/3+N

4+/5=400°,求NBGO的度数.

【分析】由多边形的内角和公式，即可求得六边形ABCQEF的内角和，又由N1+N2+N

3+Z4+Z5=400°,即可求得/GBC+/C+NCOG的度数，继而求得答案.

【解答】解：；六边形4BCDEF的内角和为：180°X(6-2)=720°,且N1+N2+N

3+Z4+Z5=400°,

AZGBC+ZC+ZCDG=720°-400°=320°,

，/G=360°-(/GBC+/C+/COG)=40°.

【点评】此题考查了多边形的内角和公式.此题难度不大，注意掌握整体思想的应用.

30.已知：三角形的两个外角分别是a°,0°,且满足(a-50)2=-收+0-200|.求此三

角形各角的度数.

【分析】根据非负数的性质分别求出a、。，根据三角形的外角的概念计算即可.

【解答】解：；(a-50)2=-a+0-200|,

:.(a-50)2+|a+p-200|=0,

，a-50=0,a+0-200=0,

解得，a=50,0=150,

则三角形的两个内角分别是130°、30°，

180°-130°-30°=20°,

则此三角形各角的度数分别为130°、30。、20°.

【点评】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质，掌握三角形内角和等于

180°是解题的关键.

31.如图，已知△ABC,。在BC的延长线上，E在CA的延长线上，尸在AB上，试比较N

1与N2的大小.

【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角解答即可.

【解答】解：根据三角形的外角性质，在AAE尸中，ZBAOZ1,

在△ABC中，Z2>ZBAC,

所以，Z2>Z/.

【点评】本题考查了三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角的性质，熟记性

质是解题的关键.

32.如图：NACD是△ABC的外角，BE平分/ABC,CE平分NAC。，且BE、CE交于点E.

(1)求证：ZE=—ZA.

2

(2)若BE、CE是△ABC两外角平分线且交于点E,则/E与/A又有什么关系？

【分析】(1)由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得/ACO=/A+/

ABC,Z4=Z£+Z2；由角平分线的性质，得/3=工(NA+/A8C),Z2=AZABC,

22

利用等量代换，即可求得N4与NE的关系：

(2)根据题意画出图形，由于BE、CE是两外角的平分线，故/2=L/CB。，Z4=1

22

ZBCF,由三角形外角的性质可知，ZCBD=ZA+ZACB,NBCF=NA+NABC,由角

平分线的定义可知，Z2=l(ZA+ZACB),Z4=l(ZA+ZABC),根据三角形定理

22

可知NE+N2+N4=180°,故可得出NE+工乙4+2(NA+NACB+NABC)=180°,再

22

由/A+/ACB+/A8c=180°即可得出结论.

【解答】(1)证明：•.•/4C£>=NA+NABC,

；.N3=2(ZA+ZABC).

2

又•:Z4=ZE+Z2,

/.ZE+Z2=A(NA+/ABC).

2

：BE平分NABC,

Z2=1ZABC,

2

.•」/A8C+/E=」(/A+N4BC),

22

ZE——ZAi

2

(2)如图2所示,

；BE、CE是两外角的平分线，

.•.Z2=AZCB£>,

22

Jf0ZCBD=ZA+ZACB,ZBCF=ZA+ZABC,

.\Z2=A(ZA+ZACB),Z4=A(ZA+Z/IBC).

22

VZE+Z2+Z4=180°,

Z£+A(ZA+ZACB)+A(NA+NABC)=180°,BPZE+AZA+A(ZA+ZACB+

2222

/ABC)=180°.

VZA+ZACB+ZABC=\S0°,

AZE+AZA=90°.

2

【点评】本题考查的是三角形外角的性质，在解答此类问题时往往用到三角形的内角和

是180°这一隐藏条件.

33.如图，ZVIBC中，A。是高，AE、BP是角平分线，它们相交于点。，NCAB=50°,

ZC=60°,求NDAE和NBOA的度数.

【分析】先利用三角形内角和定理可求/A3C,在直角三角形AC。中，易求/D4C；再

根据角平分线定义可求/CBRZEAF,可得//ME的度数；然后利用三角形外角性质，

可先求NAEB,再次利用三角形外角性质，容易求出NBQ4.

【解答】解：VZCAB=50°,ZC=60°

AZABC=180°-50°-60°=70°,

又是高，

AZADC=90°,

；./£>4c=180°-90°-NC=30°,

,：AE,BF是角平分线，

；.NCBF=NABF=35°,ZEAF=25°,

：.ZDAE^ZDAC-ZEAF=5Q,

/AF8=/C+/CBF=60°+35°=95°,

AZB0A=ZEAF+ZAFB=25o+95°=120°,

AZDAC=30°,NBOA=120°.

故/ZME=5°,ZBOA=\20°.

【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质.关键是利用

角平分线的性质解出NEAF、NCBF,再运用三角形外角性质求出NAF8.

34.在△ABC中，AB=AC,AC上的中线BD把三角形的周长分为24c”?和30c,"的两个部

分，求三角形的三边长.

【分析】分两种情况讨论：当48+40=30,BC+£>C=24或A8+4£>=24,BC+DC=30,

所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为16,16,22或20,20,

14.

【解答】解：设三角形的腰AB=AC=x

若AB+AD=24cm,

则：X+L=24

2

•»x=16

三角形的周长为24+30=54(cm)

所以三边长分别为16。%,16c772,22cm；

若A5+A£)=30cm,

则：X+L=30

2

：.x=20

・・,三角形的周长为24+30=54(cm)

・'.三边长分别为20cm,20c/w,14cm