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文档简介
精做01数列
一、等差数列与等比数列
(一)利用方程思想求等差数列与等比数列的通项公式
【例1】(2021.陕西省咸阳市高三模拟)设数列{4}是公差大于零的等差数列,已知4=3,
a;=4+24.
(1)求数列{%}的通项公式;
sina“乃(〃为奇数)
(2)设数列也}满足人=<…小〃为偶数)‘求…+...+%「
(1)设等差数列{q}的公差为d,•••0;=4+24
二(6+=(4+34)+24,又•••4=3,
(3+d『=(3+3d)+24,解得4=一6或d=3,
>0,:.d=3,=3+3(〃-1)=3〃.
sina“zr(〃为奇数)
(2),/b=<
n"[cosa/(〃为偶数)
二当“为奇数时,=sin3〃%=sin-=0,
,当〃为偶数时,bn-cos3n7r-cosO=1,
故{%}是以2为周期的周期数列,且4+打=1,
瓦+Zz,+,—F"⑼=1010(4+仇)+伪=1010+0—1010.
反对策略
给出数列是等差仕匕)数列求通项一般是利用方程思想把问题转化为关于功和d(g)的方程组,通过
解方程求以和d(q),再利用等差(比)数列的通项公式求通项.
【对点训练1】(2021.浙江省竦州市高三期末)
1.已知数列{《,}中,«,=|,而向=a,+3(〃eN*).
(1)证明:数列{4一1}是等比数列,并求{为}前〃项的和S,;
11113
(2)+++<
令么=2q,求证:2Z?I+32Z>2+3-"2/?„+340,
答案:(1)证明见解析,S”=〃+;-/;(2)证明见解析.
。+1-11/x11
(1)将4。,m=。“+3变形为即可证明数列{a,「1}是以I为首项,(为公比
的等比数列,然后求得。“=1+5,然后利用分组求和法可算出S.;
12"
(去)可得2^+3-2(22n+l)+3-2n
2'_______2"_11一—
-(2n+l)(2n+,+l)+l<(2n+l)(2n+1+l)-2"+12,,+|+1,然后可证明.
【详解】(1)因为4。用一4=%-1,所以区m_1=;(4一1).
1a]—11
又4-1二00,所以a〃一IwO,从而」、=
4一14
所以数列{为-1}是以:为首项,:为公比的等比数列.
所以4-1=9,即4=1+京;
(111、4I4n)1
所以5“=4+%+…+”“=〃+[[+不■+•••+.)=〃+-----\=n+3
1----
4
(2)由⑴可知,凡=1+城,所以"=2"。=2"+&.
1__]_2"_________T_______
所以乃“+3-2(2"+1)+3—2(2"'+1)+3・2"-2"•2,,+|+2"+'+2"+2,
(2n+l)(2,,+1+l)+l(2n+l)(2H+1+l)-2"+l2n+1+r
1113
当〃=1时-----=一<—
2々+3840,
当〃22时,
_j__j_...^_<ip___qp___o...p__L_
24+3+2%+3++2a+38+U2+l23+l;+123+124+l)++[2"+l2n+1+l
1I113
-.1------:--<--
852,,+l+l40
点评:结论点睛:常见数列的求和方法:公式法(等差等比数列)、分组求和法、裂项相
消法、错位相减法.
(二)等差数列与等比数列的判断与证明
t/iI2
【例2】(2021.山西省吕梁市高三第一次模拟)数列{4}满足4=2,a=^—a.
n+]2nn
(1)求证:数列\八\为等比数列;
1〃(〃+1)J
(2)设,求2前〃项和T..
/1、rh_〃+24〃+l_J_X4
n+l2n++2+
又言j所以[就d为首项为1‘公比为3的等比数列.
ci1a几
(2)由(1)得‘^1)^'即〃,=萧=声.
123n-1n
所以<=西+尹7+西+…尸?+声①
1,123n-\n
/=耍+及+少+…广+^②
,八〜01Tli111n
由①-②得,/=1+]+齐+>+L+尹万
1__L
n
-11T—------2-"--------=Lc-----〃--+---2-
2",12"2"
2
n+2
所以<=4一
2"T
及对策略
(1)证明数列{a}是等差数列的两种基本方法
①利用定义,证明品+i—a〃5ef0为一常数;
②利用等差中项,即证明2a〃=a〃-i+a〃+i(〃N2,〃WN*).
(2)证明数列{a}是等比数列的两种基本方法
①利用定义,证明智为一常数;
②利用等比中项,即证明品=劣-g„+1(〃22,AGN*).
【对点训练2](2021.浙江省杭州市高三期末)
2.在数列{q}中,q=1,。21,。2*,4*(攵6%*)成等比数列,公比为%>0.
(I)若/=2,求4+%+。5+…+a2k-\;
(H)若%,。2*+”%+2(%6乂)成等差数列,公差为",设4=,?.
%—1
①求证:也,}为等差数列;
②若4=2,求数列{4}的前&项和&.
答案:(I)£『;(II)①证明见解析;②D』“:).
(I)根据题中条件,得到咏=d=4,求出的通项,利用等比数列的求和公式,
a2k-\
即可求出结果;
(II)①先由条件,得到2%=a2k+a2k+2,推出2=—+4日,得出bM-bk=\,即可证
明数列是等差数列;
②根据4=2,由①的结论,根据等差数列的通项公式,求出4,推出%=1+!,得到
k
咏=,根据4=。2川-。2.,求出{4}的通项,判断其是等差数列,由等差数列
a2k-y'k)
的求和公式,即可得出结果.
【详解】(I)由已知,外=幻=4,所以4*T=4i,
a2k-\
又4=1,所以数列{%1}是以1为首项,以4为公比的等比数歹U,
1x(1-4。4*-1
所以%+%+…+/I
1-4-3
(II)①对任意的后eN*,a2k,a1M,a2t+2成等差数列,
所以24kM=%«+4«+2,即2=9+咏,即2=一+%5,
a2k+\a2k+\%
1二1二1।]
所以为+1-1i_±-1+,即4+1-4=1,
纵
所以M}成等差数列,其公差为i.
②若4=2,则出=4|,。3=端,%-“2=2,
所以W-5一2=0,又%>°,所以?=2,
即%=1+1
从而r=7+k-l=k,
/T"1K
所以咏=(红1],可得…x3=/,
。2"11^74。3a2k-3
则a2A=a2k-\^k=以攵+1),
2
所以4=*一a2k=(k+l)-k(k+l)=k+l,即⑷为等差数列,
所以%(4+4)=3.
“22
点评:思路点睛:
求解等差数列与等比数列的综合问题时,一般需要根据等差数列与等比数列的通项公式,
以及求和公式,进行求解.(有时需要根据递推公式,先证明数列是等差数列或等比数列,
再进一步求解)
二、数列求和
(一)裂项求和
【例3】(2021.宁夏固原高三期末)等比数列{a,,}的各项均为正数,且2科+3a2=1,a/=9a2a.
(1)求数列{&}的通项公式.
(2)Z>„=logai+log3^+---+loga„,求数列“丁,的前A项和.
33也J
(1)。;=9g“6,即d=9诏,所以q2=g,又因为《〉0,4〉0
所以q=g
又因为2a[+34=1,所以24+3%X;=1,所以q=g.
n(〃+1)
(2)因为logs。”=-〃,所以=(-l)+(-2)+L+(—〃)=——'----
则
\n+1)71+1
一2〃
所以,7->的前〃项和为
n+l
反对策略
(1)裂项求和的基本思想就是把通项为分拆成劣=4+*—4("21,A6N*)的形式,从而在求
和时达到某些项相消的目的,在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{4}的通项公式,
使之符合裂项相消的条件.要适用于或(其中{&,}为等差数列)等形式的数列
求和.使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏
写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与
目的.
(2)常用的裂项公式
①若{a}是等差数列,则」一=界一-一),—^=£(小--一);
(lnCln+\u\/^ndn+\)ClnCln+22d\^nOn\2)
②〃(〃+A)-£〃+)
(2〃一1)(2〃+1)—2^2^—
2〃+1
④5+高=5不5+斤W(屈-疯
⑤小+J(“+2)]__J_________]
2+(n+l)(/?+2)
[(〃+2)(“++1)〃(“-1)]
3
n+21_______]
⑦/?(/?+l)2n+,-nF-(〃+l)2"+i
【对点训练3】(2021.安徽省芜湖市高三期末)
3.设数列{4}的前〃项和为S,,已知$2=3,㈤=S,,+l(“eN*).
(1)求数列{为}的通项公式;
7an,、1
(2)设)=(.+[/:_+]),记数列也}的前〃项和为小求证:Tn<-.
答案:(1)a,=T-'-(2)证明见解析.
(1)利用%=S“-S"T消去S",得到{a,,}为等比数列,公式法求通项公式;
(2)把。“=2~代入々=(”+])自+]),用裂项相消法求出7,,再证明(〈于
【详解】解:(1)•••%+I=S,,+l,.•.《,=S,i+1(〃22)
%+|一%=an,即•••4+1=2%(〃>2).
又。2=S]+1=4+1,S2=4+%=3
,q=1,w=2,/.a2=2al也满足a〃+]=2atl(n>2).
••.{凡}是以1为首项,2为公比的等比数列,.•.4=2"T
,4_2"T_1__1_
(2)由(1)知"—+])(矶+1)—(2-+1乂2"+1)-2"T+]-2"+1・
1—b.+/??+•—Fb—-----------:+—:-----------------+…+:-----------------
"12"(2°+12'+1)V2'+l22+lJ(2"T+12"+1)
11111
-------------------------------------<---
2°+12"+122"+12'
点评:(1)证明等差(比)数列的方法:定义法和等差(比)中项法;
(2)数列求和的方法:公式法、分组求和法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法.
(二)错位相减法求和
2
[例4](2021.湖北省高三模拟演练)在①5〃二口2;②《川=2a”—%,S?=4%=28;③
2
U+l
,S3=6这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并加解答.
问题:设数列{4}的前"项和为S”,,若匕=枭,求数列{2}的前〃项和.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一解答计分.
2
若选①S“二号
当%=1时;q=S[=1;当〃之2时,an-Sn-S〃_]=n,
又由当"=1满足。“=〃,所以%=〃,所以25
\、2
fl+3x()+一.+呜)
则7;=lx+2x
72)
、2
;7;=lx|:1+2x]_fl
+•••+(J7—1)十〃•
2727J7
所以坊=出+出+(\3
+,,,+〃・
2”7
、“+1
2=1一(〃+2>《
7
、
所以数列也}的前〃项和7;=2-+2)・1
7
若选②4+12。〃一%,57=4%=28,
由a„+1=2«„-a„_,,即an=/,可得数歹!I{4}是等差数歹U,
5=74+214=28
设数列{4}的公差为4,贝卜1=4+61=7'解得%=3=1,所以
所以=.En-=—=n.
〃242〃5
1-(〃+2)1)rt+1
所以数列也}的前〃项和7;=2—(“+2).(;、],
7
an.,〃+1-,
若选③---=-----,=6,
an〃
由"^=但,可得乙=%,所以工=幺,即a“=〃q,
a
n〃n+lnn1
又由S3=4+%+%=6q=6,所以6=1,所以aa=〃,
所以仇=2=2=〃.
"T"2"2
+3x[£|+…+〃•出,
则7;=lx+2x
2)1
1、2、3£、〃+l
/=冈:+2xH---F(n-1)+〃•
2727272;
、3XM+l
所以,7,=
+・・・+n-
2"727
I
2fln+l1-(〃+2)]£|M+l
~1〃'
I--5
2
所以数列也}的前w项和7;=2-(〃+2)],、
\27
应对策暗
错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列
{4•4}的前A项和,其中{a},{4}分别是等差数列和等比数列.写出“S,”与“qSj的
表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“S-qS”的表达式.同
时注意的是相减后得到部分求等比数列的和,此时一定要查清其项数.为保证结果正确,
可对得到的和取n=l,2进行验证.
【对点训练4】(2021.黑龙江省齐齐哈尔市高三期末)
4.设数列{4}的前〃项和为S“,已知4=1,S.x—2S,,=l(〃eN*).
(1)求证:数列{%}为等比数列
⑵若数列也}满足:4=1,%吟+」-,求数列也}的通项公式及数列也}的前〃
项和却
/]、〃-1、
答案:(1)证明见解析;(2)bn=n--,7;=4-(2〃+4>-.
(1)由S,,+「2s“=1,得S”一2S“T=1(〃N2),两式相减得。,用=2%,结合%=1,计算
出的,确定4=2%,从而证明出等比数列;
(2)由(1)求得。用,对{〃,}的递推关系式变形得数列{2"-%“}是首项为1,公差为1的
等差数列.,从而求得2"-也,,得出。“后用错位相减法求得和T”.
【详解】(1)证明:由q=1,S,l+l-2Sn=\,得S“—2S,i=l(〃N2),
两式相减,得见+1-=0,
因为q=l,由(4+出)一%!=1,得。2=2,所以£=2,
ci.
所以3=2对任意乃eN*部成立.
4
所以数列{%}为等比数列,首项为1,公比为2;
b112、
⑵由⑴知,…I,%寸=二人
27
即2"%=2"飞+1,
因为4=1,所以数列{2"-%“}是首项为1,公差为1的等差数列.
]_
所以2"也=1+〃一1=〃,所以"=〃•
27
②设数列也}的前n项和7;=l+2.g+3.;+…
相减可得31=1+3+;+…+(£|-»{1)=寸一〃({I,
~2
化简可得数列也}的前〃项和为北=4-(2〃+4).2.
点评:本题考查求等差、等比数列的通项公式,错位相减法求和.数列求和的常用方法:
设数列{6,}是等差数列,{d}是等比数列,
(1)公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和;
(2)错位相减法:数列他也』的前〃项和应用错位相减法;
,1、
(3)裂项相消法;数列{-----1(攵为常数,的前〃项和用裂项相消法;
(4)分组(并项)求和法:数列{pa“+q〃}用分组求和法,如果数列中的项出现正负相
间等特征时可能用并项求和法;
(5)倒序相加法:满足金+。…“=A(A为常数)的数列,需用倒序相加法求和.
三、数列与不等式等知识的交汇
[例5](2021.浙江省绍兴市高三质量调测)已知正项数列{。“}的前〃项和为S“,
4S“=an-an+}+1,q=l.
(1)求。“和S〃;
(2)若a=24,数列也}的前〃项和为7;.记4=音+音r+#r+…+#-
n11115
B,=—+—+—+'"+—'求证:4+B<~,rteN*.
l□,2%2n
(1)V4S„=an-an+i+l,q=1,
/.4S]=6•。2+1,;・%=3,
当〃22时,有4S,I=4MI+1,
.•.4S„-4S„+1=anan+l-an_yan,:.4a“=a„(arl+l-a,,,,),
•.♦4w0,.・.a,+|_a,i=4
数列{4}的奇数项是以1为首项,4为公差的等差数列,
*=1+4(〃-1)=2(2〃-1)-1,
偶数项是以3为首项,4为公差的等差数列,
%“=3+4(n-1)=2-2n-l,
a=
•'*n271-1,nGZ*,
Jl+2n-l)n
,,□„——rl.
"2
(2)因为a=2乐,所以J=22"T,7;=21+23+25+---+22n-'=|(4n-l),
%_22__94"_3(1_1]
石=2(4"_1)2(4"+)=2(4«-l)(4n+'-l)=4-.
25
/2=i时,A=g,B[=1,4+4<万.
443(1113(11)3f1T)
〃之2时,7ruJ+/|jr7r百
=-3n---1------i----I、=--i----3-----i------<—i
2134,,+|-1)224,,+1-12,
B”=1+J+3++++-+^」]=2」<2.
2n\2)123JkH-1n)n
A)+4+纥<5,rtGN*
应对策略
数列与不等式的交汇问题主要有数列不等式的证明、比较大小、数列中的最大(小)项、恒
成立问题,不等式的证明一般是把所给数列放缩为可以求和的数列,求和后再利用不等式
知识证明,比较大小、数列中的最大(小)项、恒成立问题,常利用数列(或函数)的单调性
求解,若卜沁…则为最大;若归"i则&最小.
an^an-\,1:
【对点训练5】(2021.江苏省南通市高三一模)
5.已知等差数列{4}满足%+2”,用=3〃+5.
(1)求数列{%}的通项公式;
(2)记数列[」一]的前〃项和为S“.若V〃eN*,5,<-万+奴仪为偶数),求义的值.
3,4+1J
答案:(1)an=n+l;(2)4=2.
(1)在已知式中令〃=1和〃=2,可解得为和公差d,得通项公式小;
(2)由裂项相消法求得和S“,得出S”的范围后,可由不等式恒成立得出X的不等关系,
求得其范围,从而得结论.
【详解】(1)设等差数列{4}的公差为&
a,+2a.=8,
因为。〃+2。,用=3〃+5,所以{-
a2+2〃3=11,
+2d=8,
即〔3q+5d=ll,
解得q=2,d=l,所以%=2+(〃-1)=〃+1.
经检验,勺=〃+1符合题设,
所以数列{4}的通项公式为4=〃+1.
1111
(2)由(1)得,-----=,加=~T7一一77-
anan+l(〃+1)(〃+2)〃+1〃+2
nGN*,S<—,
"2
2
因为V〃wN*,Sn<—A+42,
i7
所以+4/1.弓,即(丸—2)2”J
因为4为偶数,所以4=2.
点评:方法点睛:本题考查求等差数列的通项公式,裂项相消法求和,及数列不等式恒成
立问题.其中数列求和的常用方法有:公式法,错位相减法,裂项相消法,分组(并项)
求和法,倒序相加法等等.
(2021.山东省荷泽市高三期末)
6.已知数列{4}的前〃项和是S“=〃2.
(1)求数列{«,}的通项公式;
(2)记包=一二一,设色}的前"项和是,,求使得7;>的最小正整数
4A+12021
答案:(1)an=2n-l;(2)1011.
(1)利用%=S“-S,I可得答案;
(2)求出瓦=二二一丁二利用裂项相消可得答案.
2〃一12〃+1
【详解】(1)%=&=1,
当〃22时,a“=Sn—%=—(〃—Ip=2“-1,
a\符合上式,
所以勺=2〃-1.
,211
(2)
"一(2〃-1)(2〃+1)2〃-12〃+1
H-------------=1-------
2n-l2〃+12/1+1
12020
令1一>----解--得〃>1010,
2n+l2021
所以最小正整数〃为1011.
点评:数列求和的方法技巧:
(1)倒序相加:用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.
(2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和.
(3)分组求和:用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.
(4)裂项相消法:用于通项能变成两个式子相减,求和时能前后相消的数列求和.
(2021.江苏省南通市高三期末)
7.已知数列{%}的前〃项和为S“,首项q=l,5„+1=2S„+1.
(1)求数列{为}的通项公式;
(2)设a=〃%,记数列也}的前〃项和为1,是否存在正整数〃,使得7;=2021?若存
在,求出〃的值;若不存在,说明理由.
答案:(1)?=2"\(2)不存在,理由见解析.
(1)根据田=S"-S”以及等比数列的通项公式可求得结果;
(2)利用错位相减法求出分别对〃=1,〃=2和讨论等式是否成立可得答案.
【详解】⑴由S,用=2S“+1①,知〃22时,S,=2S.T+1②,
①一②得4+i=2。,,(〃22),
在①式中令“=1=4+“2=24+1=>。2=2,-=2,
•••对任意〃eN",均有等=2,.•.{4}为等比数列,4=1X2"T=2"T,
(2)由(1)得。=〃-2"'
所以7;=l-2°+22+3-22+...+(〃—l).2"-2+〃.2"T,
所以27;=l-2i+2・22+…+5-2)-2"-2+(八一i).2"T+〃-2",
所以—7;=1+2+2?+…+2”T一〃-2"=1;)-+2"=2"-1_〃-2”,
所以7;=(〃-1)-2"+1,
令(W-1)•2"+1=2021=>(〃-1)•2"=2020,
当〃=1和〃=2时,等式显然不成立;当〃23时,方程化为5-1>2"-2=505,左边为偶
数,右边等于505为奇数,等式也不成立,故不存在正整数〃,使得7;=2021成立.
点评:关键点点睛:利用用=S“M-S”求出通项公式,根据错位相减法求出7;是解题关键.
(2021.江西宜春市高三期末)
8.已知等差数列{%},且%=5,$5=15,首项为1的数列也}满足2%4=瓦《用
(1)求数列{氏,}的通项公式及前〃项和S”;
(2)求数列出}前〃项和&
答案:(1)a„=n,5,,=号2(2)(=4—崇♦
(1)设等差数列{q}的公差为。,结合%=5,S.5=15列出关于首项与公差的方程组,
求出首项和公差,可得数列{4}的通项公式及其前〃项和s.;
(2)先求得上=上4(〃21),得到[%]是包=1为首项,工为公比的等比数列,可得
数列出}的通项公式:5=3,再用错位相减法可得数列也}的前“项和小
【详解】(1)依题意,设数列{4}的公差为△
因为S5=5q=15,所以《=3,故"=四二?=1.
故%=%+(〃-3)1=〃,=~(/y-1)
⑵依题意,2%4=3用,A±L=1A(„>I)
n+\In
所以1%]是4=1为首项,4为公比的等比数列,组=口■『,从而”=
"J12n⑶
123n-\n
・・
=F2°+—21F+F22+,+2"-之+2〃_]
1123n-\n
/二喳+初+初+…+产+吩
T
1nn-n+2
立N+N+..・_|-------------—=2-----
22'222〃一|T2”2"
"+2
所以(=4—
2"-'
点评:关键点点睛:本题考查的知识点是等差数列通项公式与求和公式、等比数列前〃项
和公式、错位相减求和,综合性强,难度中档.“错位相减法”求数列的和是重点也是难
点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点:
(1)掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件(一个等差数列与一个等比数列对应项
的积构成的新数列);
(2)相减时注意最后一项的符号;
(3)求和时注意项数别出错;
(4)最后结果一定不能忘记等式两边同时除以
(2021.豫南九校高三11月联考)
9.已知正项等比数列{〃“},满足azaFl,热是12al与5al的等差中项.
(1)求数列{4}的通项公式;
(2)设2=+(一)””求数列也}的前〃项和S.
(%-2)(%-1)
1n2
1-.4—,n=2k
2n+l-12
答案:(1)凡=2"3;(2)S,,=,
\-n1
,n=2k-\
I22n+,-l
(1)运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质,解出公比q,即可求出通项公式;
(2)求得2=不工-不;工+(-1)-〃,对〃分奇偶项讨论,运用裂项相消法求和.
【详解】(1)设等比数列{4}的公比为q,
因为。5是124i与5%的等差中项,
所以2a4=12q+54d,解得d=4或/=-不(舍去),
因为数列{4}为正项数列,所以4>。,所以4=2,
因为a2a4=1,所以d=l,
又因为a”>0,所以的=1,
所以a“=%q"3=2"7.
(2)由(1)得a“=2"-3,所以4M=2向,
因为"院£立一)+(可"所以
,2用(2"(11
h=------------r+(-11)V(•n=-------------+(-1)V(•ri---------;----F(z-11)V•n
(2,,+|-2)(2,[+|-1)((2"-1)(2,,+|-1)[2"-12,,+1-1''
所以S“=U(g_g)+(3W/..+(^7_^J^y)+[_]+2_3+4_5+_+(-l)”T,
当"为偶数时,S„=l--!—+^,/?eN\
2—12
当〃为奇数时,=1-=J--^-=^-7^-,J,neN".
z—11ZJZ-1ZZZ-1
n
-+—,n=2k
12
所以s"二:
1
,n=2k—\
22n+l-l
点评:(1)等差(比)数列问题解决的基本方法:基本量代换;
(2)数列求和的方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法.
(2021.浙江省绍兴市高三期末)
10.已知正项数列{为}、{2},记数列{《,}的前〃项和为S.,若%+4=?2s“+%=1,
应-她「5+1)殳1=0
(1)求数列{4}、也}的通项公式;
(2)求数列{2a,Q“}的前〃项和Ta.
答案:(1)%=5,勿=等;(2)7;=:〃+1
(1)由〃=1求得q,再凰4,然后由。向=5,用-5.得到数列仅“}的递推关系,知其为等
比数列,从而得通项公式,由4的递推关系得〃%=(〃+1应一,用累乘的方法求得/;
(2)用错位相减法求和T..
|4
【详解】(1)由题意知:2SI+q=2%+%=1,4=§,.•.4=§—q=1,
,/25.+。“=1,25,用+%+|=1
…11
••=a“=4=§=>%=3
又•••(2+如〉H-(«+1)%]=。也>o
bbn+ln3.n+l
.•.必=(〃+1)%=>昔・产b•;="=三一(白也适合),
如hn-2h\nn—\
(2).北。也=今?
234〃+1
-+—+—+-■-+
332333"
23n〃+1
=—+—+•■•+—+
32333"
.1=5__1__n+1
**11-4-4-3),_|-2-3"'
点评:本题考查求等比数列的通项公式,累乘法求通项公式,错位相减法求和.数列求和
的常用方法:
设数列{/}是等差数列,{勿}是等比数列,
(1)公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和;
(2)错位相减法:数列伍/〃}的前“项和应用错位相减法;
1,
(3)裂项相消法;数列{r-----}(攵为常数,4NO)的前〃项和用裂项相消法;
4%・
(4)分组(并项)求和法:数列{“4+4〃}用分组求和法,如果数列中的项出现正负相
间等特征时可能用并项求和法;
(5)倒序相加法:满足册=A(A为常数)的数列,需用倒序相加法求和.
(2021.陕西省咸阳市高三模拟)
11.设数列{q}是等差数列,已知4=3,%=9.
(I)求数列{%}的通项公式;
,3
(II)设a=,求5+b,T----Fa02i.
44+1
2021
答案:(I)%=3〃;(II)
6066
(1)利用等差数列通项公式求公差,再求通项公式;(2)由(1)可知
再利用裂项相消法求和.
3〃・3(〃+1)3〃,(几+1)
【详解】(I)设等差数列&}的公差为&则由题意有%=%+2d,
T=3,
/.an=3+3(〃-1)=3n,
3n-3(n+1)3〃•(〃+1)3(〃n+\J
___也
4+2+4+,,•+^2021=-
2)(23j(20212022)\3(2022J6066
(2021四川省蓉城名校联盟高三第二次联考)
12.已知数列{。.}的首项q=2,若向量a=(a“+],2),,〃wN*,且£_1_儿
(1)求数列{6,}的通项公式
(2)已知数列也},若a=唾2。“,求数列{。a}的前〃项和S,.
答案:(1)“,=2";(2)S„=(n-l)x2"+l+2.
(1)由向量垂直可得数量积等于0,即。e=2可,数列{4}是以2为首项,2为公比的等
比数列,即可得数列{6,}的通项公式;
(2)由(1)可得"=〃,所以%d=〃x2",利用乘公比错位相减即可求和.
【详解】(1)由£_!_〃,则—2々〃=0,〃eN*,
所以。〃+1=2%,NGN*
数列{4}是以2为首项,2为公比的等比数列,
则%=2X2"T=2",
(2)由d=log?4=n,
则。也=〃x2",neN*
由5„=1x2+2x22+3x2?+…-1)X2"T+〃x2”①
由①x2,Pj^25„=lx22+2x23+3x24+---+(n-l)x2,,+nx2,,+l(2)
由①一②可得,-5“=1x2,+22+23+…+2"—〃x2"i
2(1-2")
-nx2,,+l=(l-n)x2,,+l-2,
1-2
则
S,=(〃—1)X2"T+2,NEN\
所以数列{ae,}的前〃项和S“=(〃-1)x2"7+2.
点评:方法点睛:数列求和的方法
(1)倒序相加法:如果一个数列仅“}的前〃项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同
一个常数,那么求这个数列的前〃项和即可以用倒序相加法;
(2)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积
构成的,那么这个数列的前〃项和即可以用错位相减法来求;
(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中间的一些项可相互抵消,
从而求得其和;
(4)分组转化法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列
组成,则求和时可用分组转换法分别求和再相加减;
(5)并项求和法:一个数列的前〃项和可以两两结合求解,则称之为并项求和,形如
%=(一1)"/(〃)类型,可采用两项合并求解.
(2021.辽宁省大连市高三期末)
3
13.在①5“-析+l(〃eN*,左为常数),②a“+j=a“+d(〃eN,",d为常数),③
。,用=4a"(4>°,〃wN*M为常数)这三个条件中任选一个,补充到下面问题中,若问题中
的数列存在,求数列,三一卜〃wN*)的前10项和;若问题中的数列不存在,说明理由.
问题:是否存在数列{%}(〃£”),其前〃项和为S,,,且q=l,%=4,?注:
如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
答案:答案见解析
选择①,由S,求出外和生,常数上不存在,数列不存在;
选择②,得数列为等差数列,求出通项公式。“,用裂项相消法结果;
选择③,得数列为等比数列,从而{」一}也是等比数列,由等比数列前〃项和公式可得
结论.
【详解】解.如果选择①,由'°
口3=\一工,
\=--k+\
即|4
27
4=上-3"3+2%
4
4
解得
k=-'
4
该方程组无解,
所以该数列不存在.
如果选择②/M=4+d(neN*,d为常数),即数列{4}为等差数列,
由%=1,q=4,可得公差1=牝幺=9,
所以4=;〃—万
…1112rli1111)5
所以----1------------F…H-----------=---------------1----------------F•••4----------------=一
aa
axa2iow31a1a2a2a3aiQanJ8
如果选择③>0,“eN*,q为常数),即数列{4}为等比数列,
由6=1,.3=4,可得公比q=J^=2,
11=%〃》
所以
44+1
所以数列」一是首项为公比其的等比数列,
IA4+J2
2
所以其前10项和为]
点评:关键点点睛:本题考查由前〃项和S“求通项公式%,解题时要注意
4=S“-S,i(〃N2),而4=5,是两种不同的求法,如果要求通项公式,注意最后的结
论能否统一,否则写成分段函数形式.
(2021.浙江省绍兴一中高三期末)
14.已知公差为2的等差数列{%},且%,%,牝成等比数列.
(1)求数列{4}的通项公式;
(2)若数列{|%|}的前〃项和为S“,求数列{彳}的最小项.
29
答案:(1)Ctn=2/?-11;(2)最小项为第7项为~y.
(1)由等比中项的性质以及等差数列的通项公式求出数列{4}的通项公式;
(2)当〃W5时,由以|=11-2〃得出S“,由二次函数的性质得出数列{手}的最小项,当
〃>6时,由4=2〃-11得出S“结合导数数列的最小项.
【详解】(1)由题知:1=%•%,则(12+aj2=q.(%+8)得:a,=-9
即an=q+(n—V)d=2n-11
(2)当〃<5时:同=11-2〃,S”=9+1;2.x.=]0九一〃之
则&=.10"-2=10—即〃=5时,f—"I=5
nn\n7min
1+2wH2
当“26时,an=2n-U,S„Ss+~x(n-5)n-10n+50,则2=〃+留—10
2
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