试卷作业线性代数习题-矩阵

第一章矩阵

§1.1、L2矩阵的概念及运算

1.判断正误，正确的画J,错误的画X。

(1)对矩阵A与5,若满足AB=BA,则AB与B4必为同阶方阵。(J)

解由A与B能乘可知”=s,由B与A能乘可知p=%,A8是znxp矩阵，8A是

sx",由AB=BA可知，"=s,p=n,从而有％=〃=p=s,故A8与BA必为同

阶方阵

(2)A与B为”阶方阵，(AB)*=A"B’(keN).(x)

(AB)k=(AB)(AB}---(AB)=ABAB---AB,矩阵乘法不满足交换率，故一般情况

'----------J----------''工'

(AB)*丰A*B"

(3)A与B为”阶方阵，(A±8『=A°±248+8?。(X)

(A+B)2=(A±B)(A+B)=A2+AB±BA+B2,矩阵乘法不满足交换率，即一般情况

AB^BA,故(A±5)、A2±248+8?

(4)A为”阶方阵，(A±£)2=A2±2A+E.(J)

(A±Ey=(A±E)(A+E)=A2+AE±EA+B2=A2±A±A+B2=A2+2A+E

(5)A与8为"阶方阵，(A+8)(A-8)=A2-B2。(X)

(A+B)(A-B)A2-AB+BA+B2,矩阵乘法不满足交换率，即一般情况ABHBA,故

一般情况(A+8)(A-B)*

(6)A为"阶方阵，(A+E)(A-E)=A2-E。(J)

(A+E)(A-E)=A2-AE+EA-E2=A2-A+A-E=A2-E

(7)若w阶方阵A满足4=0,则A=O。(X)

例如A=(；；)=0,但A2=0。

（8）若"阶方阵A满足A?=A,则A=O,或者A=E。X)

例如有4=4,但ANO且AHE。

（0oj

（9）若矩阵满足A8=AC且ArO,则有B=C。（X）

10

（f00°人Y°10（）=（j0i0°人Y°10°）\oIf〕°ojLp（oo）

（10）每一个方阵都可以写成对称矩阵与反对称矩阵的和。（V）

对方阵A有

A=g（A+A『）+gD

而

；（A+W'）=；（A，+A）=；（A+A'）,表明g（A+A.）对称矩阵；

「~|7,

|（A-Ar）=3（_4+47）=_3（4_47）表明:（A—A，）对称矩阵；

故每一个方阵都可以写成对称矩阵与反对称矩阵的和。

2.选择题

（1）设A8,C均为"阶方阵，AB=BA,AC=CA,则A8C=（C）。

（A）ACB（B）CBA（C）BCA（D）CAB

ABC=（AB）C=（BA）C=BAC=B（＜AC）=B（CA）=BCA

(2)设A为方阵，f(x)=x2-x-2,则/(A)为(B)

(A)A1-A-2(B)A2-A-2E

(C)(A+2E)(A-E)(D)不能确定

,计算：(l)，A-33；(2)AB7：(3)。

3.设A

2

£I=(£Z【)【——=(£Z

<9tZ7

I

(£1I)I-(£I)I-(£Z

：iY£z

(£ZI)I-£一z-(£)

9-

610八610八L

zI'【、

z-I-=(£ZI)I-«)

L%

l

I-(£ZI)(I)

%

Z

z-(£)(£IIl)(l)篇收市

t-

4«n生•••

5.设。=A

(1)计算D4,AD：

（2）若&K/l霜打）证明ZJ4=4）的充分必要条件是A为对角矩阵。

（2）由（I）可知ZM的第i行第/的元素为4%,A。的第i行第j的元素为乙%,

若ZM=A£＞则4%.=4与，又当时有4片%，于是当i=/时传=0,故A为对

角矩阵。若A为对角矩阵显然有D4=AZX

6.设4为实对称矩阵，若42=。，证明A=。，其中。表示零矩阵。

证明：设A=（%）,B=A2=（&-.）

故

0=%=+%%+,••+44gV"）

由A为实对称矩阵可知

%二孙，

故

。=瓦=谥+京+…+匕（1金。）

4i=%=,・・=%=0(1W〃)

故

A=0

7.设A,8是“方阵且A+B=E,证明AB=BA。

证明A+5=E=A=E-5,所以

AB=EB-B2=B-B2

BA=BE-B-=B-B2

故AB=8A

8.设A8都是对称矩阵，证明：A8为对称矩阵的充要条件是A8=54。

证明A,B都是对称矩阵，故A'=A,Br=B

AB为对称矩阵=>AB=(AB)r=>AB=BrA1=BA;

另一方面(A8)r=BrA，=84,若A8=84,则有(AS)「=AB,即A8为对称矩阵.

9.设〃阶方阵A=(附)，8=(%),且A与8的各行元素之和为I,a是"xl矩阵，且每

个元素都为I,求证：

(1)Aa=a；(2)A5的各行元素之和都等于I：

(3)若4,8各行元素之和分别为k,r,则4B的各行元素之和都等于什么？

%“+42+…+4,](1、

'TUBAa2l+a22+'"+a2„1~

证明Aa=.=.-a

4+。”2+,,,+4)lb

同理有

Ba-a

⑵设AB=(%)

C+C+--+C

一方面(AB)a=2i222tl

+C“2+...+/」

另一方面(AB)a=A(Ba)=Aa=a=

故

<CI1+Q+…+5](「

。21+%+…+。2〃=1

<Cn\+%+・一+曦」V>

这表明AB的各行元素之和都等于1。

(3)由AB各行元素之和分别为玄zAa=Aa,Ba=，a,可知

^AB)a=A^Ba)=A[ta)=t[Aa)=tka

这表明A4的各行元素之和都等于七o

§1.3矩阵的分块

1.,利用分块矩阵计算AB。

解

f-l2iol00]0002、

4110：100003

A05,ol01B=21-30

3OEOE001-20

1035

0?00;<0140,

fAi0。以2fo2x3%

其中

记4=^2x1E2B=0，4=(T2)

[3刍

02x|02x2/1402力

1-21

B?i=(21一3),区=

&=:;1-9014

'A,oM+os2l+olx2fi„A,B12+0X0+01X2X02X,'

ABA+OB+£，fi

=2l02x32«l2l23l&|B|2+02X1X0+E202Kl

、3E?02x3+02xlB2,+02x2Bit3E2fil2+0^0+0^,(>

%A风、

=4^21^12

1°2x3342,

2）讣4,4风

W（7

（0X

，0004、

‘024稣、1-2111

故48=“41%二01415

<03%；0006

J）009,

'3410、

4-301

2.设4二计算Al

0020

、0022,

AiE3

解记4=，其中4=

o/

力2=（41YAiE］=（A：Ai+/］

一［。%）。&r（。名）

X4=fA1+&2］（由A1+^22_fA*14：+A~|&2+A1&2+组

一［。$2人。为厂I。心

A：=254,父=625E

&2=&242=2j

凰+爪+A小为=25（：stH；:

_p77116)

一1166-29J

r6250177116、

国+宙%+。考+£)_0625166-29

A4A：

o卷)00160

<006416,

3.设A为〃阶方阵，若对任意的"维列向量a均有Aa=O,证明A=O

证明设A=(A，&,…4),今取列向量e,=(0,…0」,0…O)',lViV”

则Ag=A,14iW〃，又^ei=0,1<z<n,故4=O,lWiW〃，所以A=O。

§1.4方阵的行列式

1.填空

(1)排列6427531的逆序数为15,该排列为奇排列。

(2)i=_8—,j=3时,排列1274156/9为偶排列。

⑶在6阶行列式中，含45%3432。44%得66的项的符号为，含。32%3。14%陷66a25的

项的符号为一+

(])r(5324l6)_(^4+2+1+1

([)r(341562)+r(234165)_(])(2+2+1+1)+(1+1+1+1)_+]或

。32。4344。51。66。25=014a25丹2。43。51。66

3x2x31

\x\-2

(4)多项式/(x)=32］中-的系数为9,/的系数为__6

101x

行列式展开式能提供/的项仅有(_1)璟2刈4&。334t

行列式展开式能提供V的项仅有(—lyS34)%%6%=(-Dr(2,34)2xxlx3xxx=-6x3

00

00

(5)::

解行列式值=Z(T)""

hh…八

«"T)

=(_］严时")%%1...%+0+...+0=(-1)24小-1一4

201111

(6)1-4-1=,abc=

-183a1b1c2

=2x(-4)x3+0x(-l)x+lxlx8

解-1x(-4)x(-1)-1x0x3-2x(-l)x8

=-4

=lxZ7xc,2+lxcxa2xlx«xZ?2

-Ix/?x6f2-lxdxc2-lxcx/?2

=(c-a)(c-b)(b-a)

(7)方阵A按列分块为4=(A，4,A，a),且detA=2,则

det（A+4,2A，A，Aj=4o

解det（A+4,2A，A，4）=2det（A+4,&4,4）

=2det（&，A，A，A）=-2det（A，W4）=2det（A，&，4，A）=4

（8）方阵A是奇数阶反对称矩阵，MdetA=。

解detA=detA1=det（-A）=（一1）“detA=-detA故detA=0

（9）已知四阶行列式。的第三行元素分别为：-1,0,2,4；第四行元素的对应的余子式依

次是2,10,a,4,则〃二，

解第四行线数余子

4+,4+2

A41=(-l)x2=-2AI2=(-1)X10=10

4+34+4

A43=(-l)xa=-aA44=(-1)X4=4

・•・(-l)x(-2)+0X10+2X(-6Z)4-4x4=0

得。二9

ax+byay-^-bzaz+hxxyz

2.证明下列恒等式O=ay+bzaz+bxax+by=(/+6)yZX

az+bxax+byay+bzZ

axbzbx

。分第一行ay+bzaz+bxax+by\+\ay+bzaz+bxax+by

az+bxax+byay+bz\\az+bxax+byay+bz

axayazbybzbx

记D[=ay+bzaz+bxax+byD2=ay+bzaz+bxax+by

az+bxax+byay+bz\az+bxax+byay+bz

XyzXyz

D、=aax+bzaz+bxax+by4一Ma2ax+bzaz+bxax+by

az+bxax+byay+bzazax

xyzxyzxyz

23

ax+bzaz+bxax+byr2-br3aayazax=ayzx

zxyzxyzxy

xyz

同理可得。2=〃yzx

zxy|

一般情况不能同时拆几行

12345

22211

3.已知D5=31245=27,计算(1)342+242+2432+442+42；

11122

43150

(2)A41+乙+43和A44+%；(3)&+4+A33和4+A35。

(1)3A]2+2A22+2A32+A42+&2=413Al2+a23A22+。33432+443A42十。5342

=0(第3列的元与乘以第2列的代数余子式)

(2)A4|+A42+43+2A3+2A4s=。414]+a42A42+。4343+。444+^45^45=27

即

(An+42+4)+2(4|+4)=27(*)

2A4I+2A42+2A43+A44+A45=a,1A41+凡2A4,+劣劣人叫+a,4A44+45A45=0

即

2(41+A12+&3)+(41+45)=。(**)

由(*)(**)得

A+A43=444+

A41+42-9,A»5=18

(3)24引+2AR)+2A“+Ay+A*=出141+a,2A3，+423A33+a24A3+=0

即

2(43]+$2+&)++4=。(*)

41+A.32+43+24j4+2人5=。4]41+〃42A32+&A33+“44Au+〃454.5=。

即

(4+A.2+A„)+2(A34+^5)=0(**)

由(*)(**)得

41+A?2+&3=。»+4$=o

4.若A为鹿阶方阵，且满足AA—E。若|A|<0,求但+H。

解怪+北⑷丁+人卜+⑷+同卜|A|W+E|=|碗与+£：)]=|川A+£|

I碗47+@]=阳忸+4即

|E+A|=MM+A|

得

(同+1)|E+A|=O

|A|+I>O^O

可得

|E4-A|=O

OA

5.已知〃阶方阵A、B、。的行列式值分别为2、3、4,计算del

BD

解按行列式的前〃行展开，只有取”+1列至2〃列，子式中才没有零列，即只有子式

detA可能不为零，而对应的代数余子式为

(_])S…附"W*®detB=(-ifdetB

由laplace定理可得

OA

det=detA(_1)(”2-detB+0+…+0=(-1)"：6

BD

1234

234

6.计算下列行列式（1）

3412

4123

123410234

23411()341

仇+c,q+q，4+c

3412241()412

(1)41231()123

2341234

34101-3

104.c4一小勺一斗♦一G。

41402-2

123-1

11-3

11

102-2-24+公02-2-2=-40=160

2-2

-1-1-100-4

-2-2

-2-2

0-2

7.利用三角行列式的结果计算下列九阶行列式

xy0…00

Oxy…00

(1)；；；

000…xy

v00•••0x

解：按第•列展开

%yo…o0xy0.­•00

oxy…00Oxy…00

；；；（上三角行列式）

oo0•••xy000…xy

_vo0…0x00

yooo0

Xy0…00

+(-Dn+,y；：（下三角行列式）

o00…y0

o00•••x

=xr,,-,-yyfy"

1+q1...1

〃22+Q,…2

(2)设n。产0，D“=.

nn…n+an

i

0

原式〃/（2工女工/?）（箭形行列式）

0

1+«i+Z—

1q

G+幺G(2VZK〃)o0（上三角形行列式）

ak

00

=(i+q+^,)°2…%

xa

ax

8.2=axa，(〃一I)a+XHO,求A”+A“2+•..+4〃

A

Xaa…a

a-xx-a0..0

aG一<na-x0x-a•••0

a-x00.•x-a

x+(n-\)aaa…a

0x-a0...0

c,+tc.

00x-a…0=[x+(〃-l)a](x-a产

，=2

000…x-

Xaaa

ii-aXa

aaX

。/+w

____1=

x+(a-\)ax+(n-V)a…x+(n-1)a

a

Xa…aa

=［x+(n-\)a::

aaa-xa

111••11

=［x+(〃-1)。］(A》+A”？+…+A”“)

故［x+(〃—I)4(AH+A?t—4〃)=［元+(〃-1)。］(工一。产

=A“］+…A〃“二-

9.用数学归纳法证明:

cos。1000

12cos61...00

012cos。…00

D〃==cosnO

000…2cos夕1

000・••12cos®

证明：(1)n=1时，等式显然成立；

（2）假定等式对于小于九阶的行列式成立；

（3）（下证〃阶行列式成立）

cos.10...00

12cos6?1...00

p|yi+n-l012cos。…00

D〃=

000...2cos6>0

1

0001n-l

cos6>10..00

12cos<91...00

012cos。…00

+(-l)"+"2cos。

0002cos61

00o...12cos，

n-l

由于，Dn=2cosODll{-Dn_2（注：按最后一行（列）展开）

=2cosGcos(n—1)0—cos(n—2)0

=cosnO

所以，Dn=cosnO

10.利用范德蒙行列式的结果计算卜一列行列式

3-D"…(a-ri)n

(a-ir'...("〃尸

⑴Dm=,工0,1,2,…

解:

3—D"

(a-1)"…(a-n)n("1产...(a-n)n-]

(a-ir'…(a-n)n-l

r„—(-1)(TPa3(a-l)3...(a-M)3

11

2

a-\a-nad)2(a-〃K

a(。一1)(a-n)

I

(a-1)"…(a-n)n

—1尸…Si严

.、

(a-1尸(〃_〃)_2

a-\(a-n)

1

a-\…a-n

(a-iy…(a—〃)”

交换〃一l次将第”行变至第2行

1("1尸...3—〃尸

(«-D2…(a-n)2

111

aa-1(〃-n)

(a-l)2•••(a-h)~范德蒙行列式

an3-1)"…(a-n)n

=(T)n[(a-j)-(a-i)]

204i<j£n

n(n+1)

(-1)n(一)

20<r<jSn

=(-D-1)-(-1)]x[-(n-1)•..(-I)]--[(-2)(-1)]x[(-1)]

〃5+l)〃(〃+l)

=(-1)-------(-1)-------iv.(n一1)!…2!

22

=〃!(〃-1)…2!

解：在i行中提出因子,

11.用递归法计算

a+bah0・•000

1a+bab-・000

01a+b-・000

(1)已知aw。，计算D„=

000•■1a+bab

000•01a+b

D2

解：按第一行展开，有递推公式a=(a+b)Dn,+(-ab)n-L得递推

公式:

a+bab

D==a2-^b1+ab

21a+b

=(a+b)

D“-aD“_]=b——(-a%).......

=空(&_叫)=竺©

同理可得：D“_bD“_、=《_②

n+1_»n+1

联立①与②，解方程组得：Di",

a-b

2100…000

1210­••000

(2)D„=\\\\\\\

0000•••121

0000...012

解：按第一行(列)展开，得递推公式：Dt=——1+22一于是

D„-_LDnl=D“_「J_D,”2=…=D]-J_D、=I.

由此得：D„=_2_P„.1+(-D„,,)

=3.D,^2+(-2D„.3).........

=(n-l)D,+[(-lXn-2)]D,,

=n+1。

§1.5逆矩阵

1.填空

(1)方阵A,8,C满足A3=BC=G4=E,则乐+B?+C2;

解由AB=8C=C4=E可知A,B,C可逆，AB,C互为逆矩阵

BC二EnBC二E

nAB=CB,B可逆A=C,同理可知A二C二B

AB=BC

于是万+3，C2=AB+BC+C4=3E

’213'

⑵设4=012,则网=,4"=,A'=.

J01,

’213)(o1r

解A=012>B=012

JboL

J()

(i-i-r

W=|8|=(T)"[；=1，A,=2-1-4

I-'12J

工A“=E,即A-'=工4〕，故本题中

由AA*=|A|E,可得A

同)UAIJ

(3)设AB为3阶方阵，且网=-2,恸=2,“卜,"A尸卜

|24，+84-'|=，|-2(4*B)2I=。A'(A')'=

解|A|=-2知A可逆，且又

AA"=^A=\A\E=-2E,可得A*=_2A]于是|A♦卜卜2A1=(_2)]A]=4

I(4A)T|=M=[刖=-2

|2A*+8A[=|TAT+8A「,卜J4A[=43甲卜-32

卜2(48)[=(-2升4,忸F=-29

A*(A*)*=[A]E=4E

2.给出对角矩阵diag(q,…,4)可逆充分必要条件，在可逆的情况下给出其逆矩阵.

解detdiag(«,,---,an)=al---an,故diag(q,…,a“)可逆当且仅当q,…,q,不为零。

(diag(q，…,q)[=diag同,…1)

3.若A为奇数阶方阵，且满足AAr=E,|4|=1，证明E-A不可逆。

证明怪-小阳丁-小卜⑷-可卜同卜丁-目m⑷-针卜恒-目

=|(-l)(E-A)|=(-l)n|(E-A)|=-|(E-A)|,即

即有

|E-A|=-|(E-A)|

这表明

|E-A|=O

故E-A不可逆。

4.设A是”阶方阵，如有非零矩阵B使43=0,证明阿=0。

证明若|A|KO,则A可逆。由AB=。可得4'(48)=A'0,即

B=0

这与B是非零矩阵矛盾，故|A|=0。

5.设”阶非零方阵A的伴随矩阵为A",且A"=A.，求证A可逆。

证明若网=0，由A4*=|A|E可得A4*=O,故有44r=。。

设A=(%),B=A4，=(%)

则

0=%=4+—+…+4(1</<«)

故

%=%=,,,=%=。(1</<n)

故

A=O

这与A是非零方阵矛盾，故|A|wO.

6.设A是”阶方阵，证明：⑴若|A|=0,则|/=0；⑵⑷=M/T：(3)当A可逆时

有(A*)*=|A「Z.

（提示：凡是与伴随矩阵有关的结论，可先考虑等式4A，=|A|E）

证明：（1）（反证）若当同=0时次卜0,则A*可逆；

另一方面由AA*=|A|E可得44*=0,由A"可逆可得A=O（A"[=0

即A是零矩阵，故A'=O,这与A'可逆矛盾。所以若阳=0,则|A[=0

(2)当忸=0时有⑷=0,故有同=|A「'；

当|4|r0时,由A4*=|4E可得|A4[=M@n]A[|A|=|A|"|E|=|A|",故也有

=综上所述有

可知4.可逆，且由A4*=|4但可知向A卜

（3）由同工0及⑴E,故

另一方面注意到A*（A*）*=|A[E,可得

（A*）*=|A[⑷

加上（2）的结论可得

（Ay=\A\-2A

7.设A*=O,证明：(E-A)-'=£+4+4?+…+4"-1

证明(E-AXE+A+A，+…+A'T)

=E(E+A+A2+■■■+Ak-')-A(E+A+A2+■■■+

=(E+A+A?+…+A"')-(A+A?+…+A”)

=E-A*=E

即

(E-AX'=E+A+A2+■■■+Ak

8.设方阵A满足ze-A-2E=O,证明：A及A+2E都可逆，并求其逆矩阵。

证明由A2-A-2E=0可得A(A-E)=2E,即有A；(A-E)=E,故

A可逆，且4T=g(A-E)；

注意到(A+2E)(A-3E)=A、A-6E,又A、A-2E=0可得

(A+2E)(A-3E)=TE,即(A+2E)-g(A-3E)=E,即

(A+2E)-'=_#_3E)

法二由A2-A-2E=0可得A+2E=At由前可知A可逆，且A—=g(A-E),可知

A+2E可逆，且

(4+2£尸=(A?)'=(41=g(A-E)=^(A-E)2

=；(A2-2A-E)=；(4+2E-2A+E)=；(3E-A)

'10O'

9.已知4”区4=2班-12£,4=0-20,求B。

、。0b

解同=-2

由A'BA=2BA-12E,可得A'BA-2BA=-12E=

(A*-2E)BA=-12E,

由于-12E可逆，故4-2E与A可逆，故由(4,-2E)BA=-12E可得

8=T2(A*-2E[A-'=-12[A(A--2E)『

计算

[A(A*-2E)J'=(M*-2A)-'=(-2E-2A)-，

、

OY'00

02

=[-2(E+A)['=-g(E+A)”

0-10=--0-10

2

021

z00

I2;

故

工工

0000

2200、

_1

B=—1