2023-2024学年高中数学人教A版2019课后习题6-4-3　第4课时　余弦定理正弦定理应用举例

第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理第4课时余弦定理、正弦定理应用举例课后篇巩固提升必备知识基础练1.如图,要测量某湖泊两侧A,B两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点间的距离的是()A.角A,B和边ACB.角A,B和边BCC.边BC,AC和角CD.边BC,AC和角A答案D解析根据正弦定理,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选D.2.如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12m,借助测角仪测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C处河面宽CD为()A.6(3+3)m B.6(33)mC.6(3+23)m D.6(323)m答案B解析由CDsin60°=BDsin(90°-60°),3.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别是β,α(α<β),则点A离地面的高度AB等于()A.asinαsinC.asinαcos答案A解析在△ADC中,∠DAC=βα.由正弦定理,得asin∴AC=asin∴AB=ACsinβ=asin4.一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,且与它相距82nmile,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,则此船的航速是()A.8(6+2)nmile/h B.8(C.16(6+2)nmile/h D.16(答案D解析由题意,得在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°75°=105°,∠BSA=45°.由正弦定理,得SAsin105°=AB解得AB=8(6-故此船的航速为8(6-2)125.如图所示,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20nmile的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则cosθ等于()A.217 B.2114 C.321答案B解析在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°.由余弦定理,得BC2=AB2+AC22AB·AC·cos120°=2800,所以BC=207.由正弦定理,得sin∠ACB=ABBC·sin∠BAC=21由∠BAC=120°,得∠ACB为锐角,故cos∠ACB=277.故cosθ=cos(∠ACB+30=cos∠ACBcos30°sin∠ACBsin30°=21146.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处,然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处,若A处与C处的距离为3nmile,则x的值为.

答案3或23解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC22AB·BC·cosB,即x2+92·x·3cos30°=(3)2,即x233x+6=0,解得x=23或x=3.7.已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10nmile,甲船以4nmile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛B出发以6nmile/h的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是h.

答案5解析如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为th,距离为snmile,此时甲船到达C处,则甲船距离B岛(104t)nmile,乙船距离B岛6tnmile,所以由余弦定理,得cos120°=(6t)2+(10-4t)2-s22·6t·(10-4t)=12,化简8.某人见一建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西70°方向行走了3km后到达C,则见A在其北偏东56°方向上,B在其北偏东74°方向上,试求这两个建筑物间的距离.解如图,在△BCO中,∠BOC=70°30°=40°,∠BCO=(180°70°)74°=36°,∴∠CBO=180°40°36°=104°.∵OC=3,由正弦定理,得COsin104则BO=3sin36°sin104°.在△ACO中,∠AOC=70°,∠CAO=56°,则∠ACO=54°.由正弦定理,得COsin56°=AOsin54°,则AO=3sin54°sin56°.在△ABO中,由余弦定理,得AB=AO2+B关键能力提升练9.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100m到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若CD=50m,山坡的坡角为θ,则cosθ=()A.32 B.31 C.23 D.答案B解析在△ABC中,由正弦定理,得BC=ABsin∠BACsin∠ACB=100sin15°sin(45°-15°)=50(由题图知cosθ=sin∠ADE=sin∠BDC=31,故选B.10.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°,且两条船与炮台底部的连线成30°角,则两条船之间的距离为m.

答案103解析设炮台顶部为A,两条船分别为B,C,炮台底部为D(如图),则∠BAD=45°,∠CAD=30°,∠BDC=30°,AD=30m.在Rt△ABD与Rt△ACD中,tan45°=DBAD,tan30°=则DB=30m,DC=103m.在△DBC中,由余弦定理,得BC2=DB2+DC22DB·DCcos30°,即BC2=302+(103)22×30×103×32,解得BC=10311.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60°方向相距20(3+1)nmile的海面上有一台风中心,影响半径为20nmile,正以102nmile/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3+1)h后开始影响基地持续2h.求台风移动的方向.解如图,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一条直线上,且AD=20nmile,AC=20nmile.由题意,得AB=20(3+1)nmile,DC=202nmile,BC=102(3+1)nmile.在△ADC∵DC2=AD2+AC2,∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC=AC2+AB2-BC22AC·AB=32.∴∠BAC=30°.∵B位于A的南偏东60°方向,且60°+30°+90°=180°,∴D位于A的正北方向学科素养创新练12.如图,A,B,C,D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B,D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC=1km,求点B,D间的距离.解(方法一)在△ACD中,∠ADC=60°∠DAC=60°30°=30°.由正弦定理,得AD=ACsin120在△ABC中,∠ABC=75°60°=15°,∠ACB=60°,由正弦定理,得AB=ACsin60