四年级下册数学试题-奥数讲练：第七讲 应用问题综合强化 竞赛篇（解析版）全国通用

第七讲应用问题综合强化

编写说明

本讲将要分成：和差倍分问题、年龄问题和盈亏问题三个方面进行讲解.这三个方面按照

小学奥数的一般进度，都在四年级上半期的前半期进行系统学习，我们在此讲解的目的主

要是帮助孩子“温故”，防止他们遗忘，同时帮助之前没有学习过奥数的同学把这部分知识

补习上！教师根据本班孩子学习接受的情况，进行适当的基础知识讲解.

内容概述

从三年级到最后的小升初、分班考试中，很多学生都会问学了那么多专题（行程问题、

年龄问题，植树问题，鸡兔同笼，盈亏问题，牛吃草问题等等），到底应该怎么去记忆和具

体解答呢，这也是许多听课的家长所迷惑的问题.

其实这所有的专题都不是平行的，也就是划分标准不同，一般是按照三类来划分：

第一：按照题目内容，行程问题、年龄问题、时钟问题等；

第二：按照题目本质，和差倍分问题、盈亏问题、鸡兔同笼等，涉及的是思想，可以

变成第一类的任何一种问题；

第三：按照解题思想，从反面考虑问题、还原问题等.

本讲是对原来学过和差倍分、年龄、盈亏问题进行总结强化，同时帮助你不断回顾已

有知识，更加深刻体会做题的思路方法！

和差倍分问题

【例1】有5堆苹果.较小的3堆平均有18个苹果.较大的2堆，苹果数之差为5个.又

较大的3堆平均有26个苹果，较小的2堆苹果数之差为7个.最大堆与最小堆平均有22

个苹果.问：每堆各有多少个苹果？

分析：最大堆与最小堆共22X2=44个苹果.较大的2堆与较小的2堆共44X2+7-5=90个

苹果.

所以中间的一堆有：(18X3+26X3—90)+2=21个苹果

较大的2堆有:26X3—21=57个苹果；

最大的一堆有:(57十5)+2=31个苹果;

次大的2堆有:57—31=26个苹果；

较小的2堆有:18X3—21=33个苹果；

次小的一堆有:(33+7)4-2=20个苹果；

最小的一堆有:20—7=13个苹果.

【前铺】小明、小红、小玲共有73块糖.如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多；

如果小红给小明2块糖，那么小明的糖就是小红的糖的2倍.问小红有多少块糖？

分析：如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多，说明小玲比小红多3块；如果

小红给小明2块糖，那么小明的糖就是小红的糖的2倍，即小明加2是小红减2后的2倍,

说明小明是小红的2倍少6(2X2+2).小红的颗数=(73-3+6)4-(1+1+2)=19块.

【例2】某项竞赛分一等奖、二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2

倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍.如果评出一、二、三等奖各2人，那么

每个一等奖的奖金是308元.如果评出1个一等奖，2个二等奖，3个三等奖，那么一等奖

的奖金是多少元？

分析：我们把每个三等奖奖金看作1份，那么每个二等奖奖金是2份，每个一等奖奖金则

是4份.当一、二、三等奖各评2人时，2个一等奖的奖金是(308X2)元，2个二等奖的奖

金等于1个一等奖的奖金308元，2个三等奖的奖金等于1个二等奖奖金(308+2)元.所以

奖金总数是：(308X2+308+308+2)元.当评1个一等奖，2个二等奖，3个三等奖时，1

个一等奖奖金看做4份,2个二等奖奖金2X2=4(份)，3个三等奖奖金的份数是1X3=3(份)，

总份数就是:4+4+3=11(份).这样，可以求出1份数为98元，一等奖的奖金:98X4=392(元).

【例3】有8只盒子，每只盒内放有同一种笔.8只盒子所装笔的支数分别为17支、23

支、33支、36支、38支、42支、49支、51支.在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的

2倍，钢笔支数是铅笔支数的1,只有一只盒里放的是水彩笔.这盒水彩笔共有多少支？

3

分析：铅笔数是钢笔的3倍，圆珠笔数是钢笔的2倍，因此这三种笔支数的和是钢笔数的

6(=1+3+2)倍.17+23+33+36+38+42+49+51除以6余1,所以水彩笔的支数除以6余1,在

上述8盒的支数中，只有49除以6余1,因此水彩笔共有49支.

【前铺】盒中有黄、红、蓝三种颜色的棋子共66粒，其中黄色棋子数是红色棋子数的4倍,

蓝色棋子数的2倍等于黄色棋子数的3倍.这个盒中三种颜色的棋子各有多少粒？

分析：把红棋子数看作1份，则黄棋子为4份，蓝棋子为6份，红、黄、蓝棋子数分别为:

6、24、36粒.

【例4】有长短两支蜡烛（两支蜡烛同样时间燃烧的长度相同），它们的长度之和为56厘

米.将它们同时点燃一段时间后，长蜡烛同短蜡烛点燃之前一样长，这时短蜡烛的长度又

恰好是长蜡烛的士.点燃前，长蜡烛有多长？

3

分析：我们要注意发掘题目中真正的不变量，实际上这个题目中两根蜡烛的长度差是不变

的.（为什么？由于两根蜡烛燃烧的速度一样）.把原来短蜡烛的长度看作3份，那么后来长

蜡烛的长度也为3份，后来短蜡烛的长度为2份，差值为1份，那么原来长蜡烛长度为4

份，所以1份为56+（4+3）=8（厘米），原来长蜡烛为4X8=32（厘米）.

【前铺】某日停电，房间里燃起了长短两根蜡烛，它们燃烧速度是一样的.开始时长蜡烛是

短蜡烛长度的2倍，当送电后吹灭蜡烛，发现此时长蜡烛是短蜡烛长度的3倍.短蜡烛燃烧

掉的长度是5厘米.问原来两根蜡烛各有多长？

分析：我们要注意发掘题目中真正的不变量，实际上这个题目中两根蜡烛的长度差是不变

的.（为什么？由于两根蜡烛燃烧的速度一样）.那么我们根据题意可知：原长蜡烛长度=2

倍原短蜡烛长度，差为1倍原短蜡烛长度；后长蜡烛长度=3倍后短蜡烛长度，差为2倍后

短蜡烛长度；所以原短蜡烛长度=2倍后短蜡烛长度，也就是说短蜡烛燃烧了1倍后短蜡烛

长度，为5厘米，所以原短蜡烛长10厘米，原长蜡烛长20厘米.

【巩固】某日停电，房间里同时点燃了两支同样长的蜡烛.这两支蜡烛的质量不同，一支

可以维持3小时，另一支可以维持5小时，当送电时吹灭蜡烛，发现其中一支剩下的长度

是另一支剩下长度的3倍.这次停电时间是多少小时？

分析：设停电x小时，可得：1—』x=3x（l—解得：x=2.5（小时）.

53

【例5】有三堆棋子每堆棋子一样多并且都只有黑白两色棋子.已知第一堆里的黑子和第

二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占到三堆棋子里黑子总数的上，如果把三堆棋子集

5

中到一起，那么白子占全部棋子的几分之几？

分析：第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，那么我们不妨把第一堆里的黑子与第二

堆里的白子调换一下，那么第一堆全白子，第二堆全黑子，且每堆总数不变.因为第三堆里

2

的黑子占到三堆棋子里黑子总数的一，我们不妨把第三堆里的黑棋子看作2份，那么剩下

5

的3份都是第二堆的黑子，所以每堆都是三份，白子共（1+3）份，白子占全部棋子的9分

之4.

【例6】有一个分数，如果分子减1,那么这个分数就变成!；如果分母减少1,那么这

3

个分数变成那么这个分数是多少？

2

分析：把分母看成一个3倍量，那么分子就是1倍量+1,根据：如果分母减少1,那么这个

分数变成,，那么分母就是：（2倍量+2）+1=2倍量+3,所以1倍量代表3,所以分数为：

2

4

9,

【例7】一批工人到甲乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的巳3.

2

每天分成上午和下午两段，每人在上午和下午所完成的工作量相等，上午去甲工地的人数

是去乙工地人数的3倍；下午这批工人中有」的人去甲工地，其他的人到乙工地.到晚上

12

时，甲工地的工作已完成,乙工地的工作还需要4名工人再做1天.那么这批工人有多少名？

分析：我们定义一个单位量：一个单位工人工作半天所完成的工作量称作1个单位量.

假设一共有12单位个工人，那么上午分成4份，每一份有3个.去甲工地的工人是

3份9个，完成的工作量是9个单位；去乙工地的工人是1份，3个单位.因此乙工地完成

的工作量是3个.

下午是这样子的：'•的人去甲工地，其他的人到乙工地.所以去甲工地的人有

12

12X'7=7个单位，完成了7个单位工作量，乙工地完成的工作量是（12—7）=5个.

12

这样一天和起来：甲工地完成了（9+7）=16个工作量，乙工地完成了（5+3）=8个工作量.甲

工地的工作量全部完成了，所以甲工地的任务工作量是16个.甲工地的工作量是乙工地的

工作量的士3，所以乙工地的任务工作量是16+3X2=3丝2个.

23

乙工地完成了8个工作量，这样乙工地剩下的工作量是（丝-8）=-个工作量，这2

333

QQ

个工作量需要4个人工作1天也就是需要8个人工作半天.而-是一个单位的工人作半天

33

QQ

完成的工作量，因此2个单位的工人有8个.所以1个单位的工人有8+2=3（个）.这批

33

工人一共是12个单位，所以一共有工人：3X12=36（个）.

年龄问题是小学数学中常见的一类问题.例如：已知两个人或若干个人的年龄，求他们

年龄之间的某种数量关系等等.年龄问题又往往是和倍、差倍、和差等问题的综合.它有一

定的难度，因此解题时需抓住其特点.

年龄问题变化关系的三个基本规律：

1、两人年龄的差是不变的量；

2、两人年龄的倍数关系是变化的量；

3、每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量.

、

年龄问题的解题要点是：

1、入手：分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系.

2、关键：抓住“年龄差”不变.

3、解法：应用“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式.

年龄问题的解题正确率保证：验算！

7

【例8】女儿今年（2007年）12岁，妈妈对女儿说：“当你有我这么大岁数时，我已经60

岁喽！”问：妈妈12岁时，是哪一年？

分析：画线段图分析.母女年龄的差是（60-12）+2=24,2007-24=1983（年）.

【巩固】（第一届祖冲之杯数学邀请赛）甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你

才5岁.”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将50岁.”那么，甲现在（）

岁，乙现在（）岁.

分析：画图分析.年龄差=（50-5）+3=15,乙现在的岁数为：15+5=20（岁），甲现在的岁数

为：20+15=35（岁）.

【前铺】兄弟二人的年龄相差5岁，兄3年后的年龄为弟4年前的3倍.问：兄、弟二人今

年各多少岁？

分析：根据题意，作示意图如右：5岁3岁

由上图可以看出，兄3年后的年龄比弟4年前的年龄大兄।-----------1——L

5+3+4=12（岁），由“差倍问题”解得，弟4年前的年龄弟I--------------------L__J

为（5+3+4）+（3-1）=6（岁）.由此得到，弟今年64岁

+4=10（岁），兄今年10+5=15（岁）.

【前铺】今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别为27、23、16岁.经过多少年后爷爷的年龄

等于三个孙子年龄和？

分析：三个孙子的年龄和是：27+23+16=66（岁），跟爷爷年龄差等于12岁，过一年两者的

年龄差减少2岁，所以6年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄和.

【拓展】已知祖孙三人，祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子年

龄之和为82岁，明年祖父年龄恰好等于孙子年龄的5倍.求祖孙三人各多少岁？

分析：“祖父和父亲年龄差与父亲和孙子年龄的差相同”

孙子年龄।----------1

这一条件较难理解，可作出示意图，从图中容易看出，।

।

祖父和孙子年龄之和恰为父亲年龄的2倍.父亲的年龄：父亲年舲।----------!____________।

I

824-2=41（岁），孙子的年龄：I

祖父年龄______________________________!____________

（82+1X2）4-（1+5）-1=13（岁），祖父的年龄：।

82-13=69（岁）.

【例9】五位老人的年龄互不相同，其中年龄最大的比年龄最小的大6岁，已知他们的平

均年龄为85岁，其中年龄最大的一位老人是谁？

分析：如果最小的比85只小一岁，那么由于这时其他人的年龄均不小于85,而最大的比

85大5（=6-1）岁，这样平均年龄必超过85；如果最小的比85小2,那么可能还有一人比85

小1,但最大的比85大4（=6-2）岁，而4>1+2,从而是年龄仍超过85；如果最小的比85小

3,那么最大的比85大3（=6-3）,两人的平均年龄正好是85,其他三人如果年龄是84、85、

86（或83、85、87）那么五人平均年龄正好是85；如果最小的比85小4或小5,这时平均年

龄必小于85（与开始两种情况的推理类似，只是将大、小互易）因此，最大的年龄一定是

88（=85+3）岁.

【例10】梁老师问陈老师有多少子女，她说：“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6

倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的

3倍。”问陈老师有多少子女。

分析：假设陈老师有x个子女，

由“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍”，

可得“陈老师和爱人的年龄和=子女年龄和的6倍”；

由“两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍”，

可得“陈老师和爱人的年龄和-4岁=10X（子女年龄和-2x）Q

由“六年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍”，

可得“陈老师和爱人的年龄和+12岁=3X（子女年龄和+6x）”

由上可得x=3.

人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或

亏所编成的应用题叫做盈亏问题.

所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同

的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量.解题的关键在于确定两次分配

数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：

分配总人数=盈亏总额+两次分配数之差.

需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、

两“亏”、_，，不盈不亏，，一“盈”或，，亏”等情况.

【例11】有一些糖，每人分5块则多10块，如果现有人数增加到原有人数的1.5倍，那

么每人4块就少两块，这些糖共有多少块？

分析：第一次每人分5块，第二次每人分4块，可以认为原有的人每人拿出一块糖分给新

增加的人，而新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分到2块糖果，这些

人每人还差4-2=2块，一共差了10+2=12块，所以新增加了12+2=6人，原有6X2=12人.糖

果数：12X5+10=70（块）.

【前铺】用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳子对折后垂到井水面，绳子超过井台9

米，把绳子3折（折成三段）后垂到水面，绳子超过井台2米.求绳长和井深.

分析：井深比,绳长少9米，比！的绳长少2米，所以绳长=（9-2）+（---）=42（米）.

2323

井深12米.

【前铺】东东从家去学校，如果每分走80米，结果比上课提前6分到校，如果每分走50

米，则要迟到3分，那么东东家到学校的路程是多少米？

分析：这道题看似行程问题，实质却可以用盈亏问题来解.先求出东东从家到学校路上要用

多长时间，根据已知，（80X6+50X3）+（80—50）=630+30=21（分钟），然后可求东东家

离校的路程为：80X（21-6）=1200（米）.

【前铺】苹果和梨各有若干只，如果5只苹果和3只梨装一袋，还剩4只苹果，梨恰好装

完，如果7只苹果和3只梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12只，那么苹果和梨共有多少

只？

分析：如果7只苹果和3只梨装一袋，那么12只梨搭配苹果12+3X7=28只.第二句的条

件“苹果恰好装完，梨还多12只”就可以转化为“梨装完了，还少28只苹

果”.（4+28）+（7-5）=16,如果把3只梨看成一组的话，现在有16组梨，也就是

16X3=48（只），苹果数：16X5+4=84（只）,所以，苹果和梨共有48+84=132（只）.

【前铺】少先队员植树，如果每人挖5个坑，那么还有3个坑无人挖；如果其中2人各挖4

个坑，其余每人挖6个坑，那么恰好将坑挖完。问：一共要挖几个坑？

分析：我们将“其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑”转化为“每人都挖6个坑，就

多挖了4个坑”.这样就变成了“典型”的盈亏问题.盈亏总额为4+3=7（个）坑，两次分

配数之差为6-5=1（个）坑.

[3+（6-4）X2]+（6-5）=7（人），5X7+3=38（个），一共要挖38个坑.

【例12]巧克力每盒9块，软糖每盒11块，要把这两种糖份发给一些小朋友、每样糖每

人一块，由于又来了一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖分发的盒数就一样多，现在

又来了一位小朋友，巧克力还要增加一盒，则最后共有多少个小朋友？

分析：新来了一位小朋友，就要增加一盒软糖，说明在此之前，软糖应该是刚好分完几整

盒，所以原来的小朋友人数是11的倍数.增加了第二位小朋友之后，巧克力糖也要再来一

盒了，说明原有的小朋友分几整盒巧克力糖之后还剩下一块，也就是说，原有的小朋友数

是9的倍数减1.符合这两个条件的最小的数是44,而且它刚好满足原有的巧克力比软糖

多一盒的条件，所以原有44个小朋友，最后有46个小朋友.

【附1】某校四年级有两个班，现在要重新分成三个班，将原来的一班的!和二班的,组

34

成新的一班，将原来的一班的，和二班的，组成新的二班，剩余30人全部编入三班，如果

43

新的一班比新二班人数多出」•，那么原来一班有多少人？

10

分析：新一班=，的一班+上的二班，新二班=L的一班+」的二班，还剩下二的（一班+二

344312

班）为30人，所以一班和二班的总人数=30+5X12=72（人），新一班和新二班的总人数为

42人，把新二班看作10份，那么新一班为11份，所以新一班22人，新二班20人.

113

新一班人数的3倍=（上的一班+人的二班）X3=一班的人数+2的二班人数=22X3：

344

114

新二班人数4倍=（—的一班+-的二班）X4=一班的人数+—的二班人数=20X4.

433

两式相减可得二班人数为24人，一班人数为48人.（不带“新”字样的，均表示原班级状

态）

【附2】李叔叔下午3点要工厂上班，他估计快到上班时间了，到屋子里看钟表，可是钟

早在12点10分就停了，他上足发条忘记拨针，匆匆离家到工厂一看，离上班时间还有10

分钟。夜里11点下班，李叔马上回到家里，一看钟点才9点整。假定李叔叔上下班走路用

的时间相同，那么他家的钟表停了几分钟？

分析：由题知，李叔叔家的钟表停的时间与上班走路的时间之和是14点50分-12点10分

=160分；

李叔叔家的钟表停的时间与下班走路的时间之差是11点-9点=120分；

因此李叔叔上班走路的时间是（160-120）+2=20分；

因此当他到工厂的时候，他家的表应该是12：30,而准确时间为14：50,因此表停了140

分钟.

【附3】甲、乙两位学生原计划每天自学时间相同.若甲每天增加自学时间半小时，乙每天

减少自学时间半小时，则乙自学6天的时间仅相当于甲自学1天的时间.问：甲乙原定每

天自学的时间是多少？

分析：改变后，甲每天比乙多自学1小时，即60分钟.它是乙五天自学的时间，即乙现在

每天自学：60+（6-1）=12（分），原来每天自学的时间是：12+30=42（分）.

【附4】小华爷爷的年龄是一个两位数，将这个两位数的数字交换得到小华爸爸的年龄，又

知道他们的年龄差是小华年龄的4倍.求小华的年龄？

分析：设小华爸爸的年龄为瓦，那么小华爷爷的年龄为布，b>a,且都为1到9的自然

数.

小华爷爷和爸爸的年龄差为：而-痴=9X（b-a）,为小华年龄的4倍，所以（b-a）是4

的倍数，可能为4或者8.

若b-a=4,那么b可能取6、7、8、9,a对应取2、3、4、5,均有实际意义（b取5,a取

b不符合实际情况），小华年龄是9岁；

若b-a=8,那么b只可能取9,a对应取1,无实际意义，所以小华年龄为9岁.

【附5】幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给小孩分枣，甲班

每

个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，结果甲班

比乙班共多分3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣.问：三个班总共分了多少个枣？

分析：设丙班有x个小孩，那么乙班就有（x+4）个小孩，甲班有（x+8）个小孩.

乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，那么x个小孩就少分5x个枣，而乙班比丙

班总共多分5个枣，所以多出来的那4个小孩分了（5x+5）个枣.

同样的道理，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，那么（x+4）个小孩就少分

（3x+12）个枣，而甲班比乙班总共多分3个枣，所以多出来的那4个小孩分了3x+12+3=3x+15

个枣.

甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，4个小孩就少4X3=12个枣，因此我们得到

方程：

5x+5=3x+15+12.

解得：x=ll.

所以，丙班有11个小朋友，乙班有15个小朋友，甲班有19个小朋友；甲班每人分12

个枣，乙

班每人分15个枣，丙班每人分20个枣.

一共分了12X19+15X15+20X11=673个枣.

1.甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为1999,已知甲校学生人数的2倍，乙校学生人数

减3,丙校学生人数加4都是相等的，问：甲、乙、丙各校的人数是多少？

分析：（1999-3+4）+（1+2+2）=400,400x2+3=803.400X2-4=796.甲、乙、丙三校的人数分

别为400,803,796.

2.丁丁和宁宁各有一只盒子，里面都放着棋子，两只盒子里的棋子一共是270粒.丁丁从

自己的盒子里拿出’的棋子放入宁宁的盒子里后，宁宁盒子里的棋子数恰好比原来增