大学课程《微积分》课件微积分

大学课程《微积分》课件微积分汇报人：AA2024-01-25BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA目录CONTENTS微积分基本概念与性质一元函数微分法一元函数积分法多元函数微积分法常微分方程初步知识微积分在实际问题中应用举例BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA01微积分基本概念与性质微分学的思想起源于古代，如中国的庄周所著的《庄子·天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的极限思想，以及古希腊时期阿基米德利用穷竭法计算圆周率等。微分学的起源17世纪，牛顿和莱布尼茨在前人工作的基础上，分别独立地建立了微分学。他们通过引入无穷小量、导数等概念，建立了微分学的基本定理和公式，为微积分学的发展奠定了基础。微分学的发展微分学起源与发展微分的定义微分是函数改变量的线性部分，即在一个数集中，当一个数靠近某个数值时，函数值的变化率。它反映了函数在某一点附近的变化趋势和变化快慢。微分的性质微分具有线性性、可加性、乘法法则、链式法则等基本性质。这些性质使得微分运算可以方便地进行，并可以应用于各种实际问题中。微分定义及性质积分是微分的逆运算，即已知一个函数的导数，求原函数的过程。它表示一个函数在某个区间上与x轴围成的面积或体积等。积分具有可加性、积分区间可加性、常数倍可提出、积分不等式性质等。这些性质使得积分运算可以方便地进行，并可以应用于各种实际问题中。积分定义及性质积分的性质积分的定义微分和积分是互逆的两种运算。微分是求导数的过程，而积分则是已知导数求原函数的过程。因此，它们之间存在一种紧密的联系和互逆关系。微分与积分的互逆关系微分和积分在实际问题中有着广泛的应用。例如，在物理学中，微分可以用来描述物体的运动状态，而积分则可以用来计算物体的位移、速度等；在经济学中，微分可以用来分析边际效应和弹性等概念，而积分则可以用来计算总收益、总成本等。微分与积分在解决实际问题中的应用微分与积分关系BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA02一元函数微分法导数的计算方法掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，能够熟练计算一元函数的导数。高阶导数的定义与计算理解高阶导数的概念，掌握高阶导数的计算方法和常见函数的n阶导数公式。导数的定义通过极限思想定义函数的导数，反映函数在某一点处的切线斜率。导数定义及计算方法03泰勒公式通过泰勒公式将函数展开为幂级数，进而求得高阶导数的近似值。01归纳法通过归纳法推导高阶导数的通项公式，适用于具有规律性的高阶导数计算。02莱布尼兹公式利用莱布尼兹公式计算复合函数的高阶导数，简化计算过程。高阶导数求法隐函数求导法则掌握隐函数求导的方法和步骤，能够熟练求解隐函数的导数。参数方程求导法则理解参数方程求导的原理和方法，能够计算参数方程所表示函数的导数。相关变化率问题应用隐函数和参数方程求导法则解决相关变化率问题，如速度、加速度等。隐函数和参数方程求导法则微分中值定理理解微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的几何意义和物理背景，掌握其证明方法和应用技巧。洛必达法则掌握洛必达法则求解未定式极限的方法和步骤，能够熟练应用洛必达法则解决相关问题。泰勒公式及其应用理解泰勒公式的几何意义和物理背景，掌握泰勒公式的证明方法和应用技巧，能够利用泰勒公式进行近似计算和误差估计。微分中值定理及其应用BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA03一元函数积分法01020304不定积分的定义与几何意义原函数与不定积分的关系不定积分的性质基本积分公式与直接积分法不定积分概念与性质02030401换元积分法和分部积分法第一类换元积分法（凑微分法）第二类换元积分法分部积分法的原理与步骤常见函数的积分方法有理函数和三角函数积分方法01有理函数的积分方法02三角函数的积分方法03三角有理式的积分方法04某些特殊函数的积分方法01定积分的性质微积分基本定理与定积分的计算广义积分的概念与计算定积分的定义与几何意义020304定积分概念、性质及计算BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA04多元函数微积分法多元函数定义设D为一个非空的n元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组(x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。与一元函数的极限类似，多元函数的极限描述了函数在某一点附近的行为。当自变量趋近于某一点时，如果函数值趋近于一个常数，则称该函数在该点有极限。多元函数在某一点连续是指函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值。如果函数在定义域内的每一点都连续，则称该函数在定义域内连续。多元函数的极限多元函数的连续性多元函数概念、极限与连续偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率。对于二元函数z=f(x,y)，其关于x的偏导数记为∂z/∂x或fx(x,y)，关于y的偏导数记为∂z/∂y或fy(x,y)。全微分是多元函数在某一点的全增量与自变量增量之间的线性关系。如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全增量Δz可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A和B是与Δx和Δy无关的常数，ρ=(Δx2+Δy2)1/2，则称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，且AΔx+BΔy称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分。它们在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。例如，在物理学中，偏导数可以用来描述物体的运动状态；在工程学中，全微分可以用来近似计算函数的增量；在经济学中，偏导数和全微分可以用来分析成本、收益等经济指标的变化情况。偏导数全微分偏导数和全微分的应用偏导数、全微分及其应用与一元函数的极值类似，多元函数的极值是指在某一点附近，函数的值达到最大或最小。对于二元函数z=f(x,y)，如果在点(x0,y0)的某个邻域内，对于任意一点(x,y)，都有f(x,y)≤f(x0,y0)（或f(x,y)≥f(x0,y0)），则称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值（或极小值）。条件极值是指在满足一定条件下的多元函数的极值问题。常见的条件极值问题包括拉格朗日乘数法和约束优化问题等。它们在优化问题、经济学、工程学等领域有着广泛的应用。例如，在优化问题中，可以通过求解多元函数的极值来找到最优解；在经济学中，可以通过分析多元函数的极值来研究成本最小化或收益最大化等问题；在工程学中，可以通过求解多元函数的极值来设计最优的结构或系统等。多元函数的极值条件极值多元函数极值的应用多元函数极值问题二重积分的概念二重积分是定积分概念的推广，它描述的是二元函数在某个区域上的积分。与定积分类似，二重积分也可以理解为面积或体积的计算。二重积分的性质二重积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式等性质。这些性质在计算二重积分时非常有用，可以帮助我们简化计算过程。二重积分的计算计算二重积分时，通常需要先确定被积函数和积分区域，然后选择合适的坐标系（直角坐标系、极坐标系等）进行计算。常用的计算方法包括直接法、换元法、分部积分法等。在实际应用中，还需要注意积分的存在性、收敛性等问题。二重积分概念、性质及计算BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA05常微分方程初步知识常微分方程概念及分类常微分方程定义含有未知函数及其导数（或微分）的方程，且导数（或微分）的阶数是常数。分类根据方程中未知函数的最高阶导数（或微分）的阶数，可分为一阶、二阶等常微分方程；根据方程是否线性，可分为线性常微分方程和非线性常微分方程。一阶线性常微分方程的解法通过常数变易法，将一阶线性常微分方程转化为可分离变量的形式进行求解。恰当方程与积分因子对于某些不能直接分离变量的方程，可通过寻找恰当的积分因子，将其转化为恰当方程进行求解。分离变量法适用于可化为g(y)dy=f(x)dx形式的一阶常微分方程。一阶常微分方程解法01y''+py'+qy=0，其中p、q为常数。二阶常系数线性齐次方程标准形式02通过求解特征方程r^2+pr+q=0得到特征根，进而得到方程的通解。特征方程与特征根03当特征根为重根或共轭复根时，需采用特殊方法构造方程的通解。特殊情况处理二阶常系数线性齐次方程解法欧拉方法一种数值求解常微分方程的近似方法，通过逐步迭代得到方程的近似解。具有简单直观的优点，但精度相对较低。龙格-库塔方法一种高精度的数值求解常微分方程的方法，通过多步迭代和加权平均得到方程的近似解。具有精度高、稳定性好的优点，但计算量相对较大。欧拉方法和龙格-库塔方法简介BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA06微积分在实际问题中应用举例利用微积分可以计算平面或空间中曲线的长度，如圆弧、抛物线等。计算曲线长度计算图形面积计算立体体积通过定积分可以计算平面图形的面积，如三角形、矩形、圆等。利用二重积分或三重积分可以计算立体图形的体积，如长方体、球体、圆柱体等。030201在几何问题中应用举例通过微积分可以描述物体的运动状态，如速度、加速度、位移等。运动学问题利用微积分可以分析物体的受力情况，如牛顿第二定律、动量定理等。动力学问题通过微积分可以计算电场强度、磁感应强度等物理量。电磁学问题在物理问题中应用举例边际分析利用导数可以分析经济量之间的边际关系，如边际成本、边际收益等。弹性分析通过微积分可以计算经济量之间的弹性系数，如需求弹