《高等数学微积分》

《高等数学微积分》汇报人：AA2024-01-24微积分基本概念与性质一元函数微分学及应用一元函数积分学及应用多元函数微积分学及应用无穷级数理论及应用微积分在经济学等领域应用举例目录01微积分基本概念与性质微分学起源于17世纪，主要为了解决曲线的切线问题和函数的极值问题。从牛顿和莱布尼兹的初创时期，到柯西、魏尔斯特拉斯等人的严格化，微分学逐渐发展成为一个严密的数学分支。微分学起源与发展微分学的发展微分学的起源微分与导数定义微分定义微分是函数在某一点处的局部变化率，即函数值的增量与自变量增量的比值在自变量增量趋于0时的极限。导数定义导数是函数在某一点处的切线斜率，即函数在该点处的局部变化率。微分性质微分具有线性性、可加性、乘法法则等基本性质。运算规则包括常数规则、幂函数规则、三角函数规则、指数函数规则等。微分性质及其运算规则积分学起源于17世纪，主要为了解决面积、体积等问题的计算。积分学起源从牛顿和莱布尼兹的初创时期，到柯西、黎曼等人的严格化，积分学逐渐发展成为一个严密的数学分支。积分学的发展积分学起源与发展定积分是函数在某一区间上的面积，即该函数在该区间上与x轴所围成的面积。定积分定义不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程，其结果是一个函数族。不定积分定义定积分与不定积分定义积分性质积分具有线性性、可加性、乘法法则等基本性质。运算规则包括常数规则、幂函数规则、三角函数规则、指数函数规则等，以及分部积分法、换元法等常用方法。积分性质及其运算规则02一元函数微分学及应用通过极限的概念定义导数，理解导数的几何意义，即切线斜率。导数的定义及几何意义掌握常见函数的导数公式，如多项式、三角函数、指数函数等，以及导数的四则运算法则。导数的基本公式和运算法则理解复合函数和反函数的导数计算方法，如链式法则和反函数的导数公式。复合函数和反函数的导数一元函数导数计算方法隐函数和参数方程求导法则掌握隐函数求导的方法，通过对方程两边同时求导，解出隐函数的导数。隐函数的求导法则理解参数方程求导的方法，通过参数方程中各个变量之间的关系，求出参数方程所确定的函数的导数。参数方程的求导法则高阶导数的定义及计算理解高阶导数的概念，掌握常见函数的高阶导数计算方法。要点一要点二高阶导数的应用举例通过举例说明高阶导数在实际问题中的应用，如加速度、jerk等物理量的计算。高阶导数计算及应用举例VS理解微分中值定理的内容和意义，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。微分中值定理的应用掌握微分中值定理在证明不等式、求解方程等方面的应用方法。微分中值定理微分中值定理及其应用洛必达法则的内容和意义理解洛必达法则的内容和意义，即在一定条件下通过分子分母分别求导来简化极限的计算。洛必达法则的应用举例通过举例说明洛必达法则在极限计算中的应用方法。洛必达法则在极限计算中应用理解泰勒公式的内容和意义，即将一个函数在某点附近展开成无穷级数的形式。通过举例说明泰勒公式在近似计算中的应用方法，如求函数的近似值、估计误差等。泰勒公式的内容和意义泰勒公式的应用举例泰勒公式在近似计算中应用03一元函数积分学及应用通过凑微分，将复杂的不定积分转化为简单的基本积分公式进行计算。凑微分法换元法分部积分法通过变量代换，将不定积分转化为另一种易于计算的形式。利用乘积的微分公式，将不定积分拆分为两个易于计算的积分进行计算。030201不定积分计算方法

定积分计算方法牛顿-莱布尼兹公式通过求解被积函数的原函数，并利用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的值。定积分的换元法通过变量代换，将定积分转化为另一种易于计算的形式。定积分的分部积分法利用乘积的微分公式，将定积分拆分为两个易于计算的积分进行计算。无穷限广义积分通过变量代换或分部积分等方法，将无穷限广义积分转化为定积分或易于计算的形式进行计算。瑕积分通过分析被积函数在瑕点附近的性质，将瑕积分转化为定积分或易于计算的形式进行计算。广义积分计算方法利用定积分计算平面图形的面积，如直线、圆、椭圆等。平面图形的面积利用二重或三重定积分计算空间立体的体积，如长方体、球体、圆柱体等。空间立体的体积利用定积分计算物理量，如质心、转动惯量、引力等。物理量的计算积分在几何和物理中应用举例分离变量法微分方程求解方法通过分离变量，将微分方程转化为可求解的常微分方程进行计算。一阶线性微分方程求解法通过求解一阶线性微分方程，得到通解或特解。通过求解高阶常系数线性微分方程，得到通解或特解。高阶常系数线性微分方程求解法通过求解一阶齐次线性微分方程，得到通解或特解，并举例进行验证。一阶齐次线性微分方程通过求解一阶非齐次线性微分方程，得到通解或特解，并举例进行验证。一阶非齐次线性微分方程一阶线性微分方程求解举例04多元函数微积分学及应用03多元函数的间断点与分类01多元函数极限的定义与性质02多元函数连续性的定义与判定多元函数极限与连续性01020304偏导数的定义与计算高阶偏导数的计算全微分的定义与计算多元复合函数的求导法则偏导数与全微分概念及计算多元函数极值问题求解方法010203条件极值的拉格朗日乘数法最小二乘法在极值问题中的应用多元函数的极值定义与判定二重积分的定义与性质二重积分的计算方法（直角坐标与极坐标）二重积分的应用（面积、体积、质心等）二重积分计算方法三重积分的定义与性质三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标与球面坐标）三重积分的应用（质量、质心、转动惯量等）三重积分计算方法010204曲线曲面积分计算方法第一类曲线积分的定义与计算第二类曲线积分的定义与计算第一类曲面积分的定义与计算第二类曲面积分的定义与计算0305无穷级数理论及应用正项级数收敛性判别法比较判别法、比值判别法、根值判别法等任意项级数收敛性判别法莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法等常数项级数收敛性判别法幂级数展开与收敛域确定幂级数展开泰勒级数、麦克劳林级数等收敛域确定根据幂级数的性质，通过求解不等式来确定收敛域一致收敛性定义及性质一致收敛性判别法：魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法等函数项级数一致收敛性判别法无穷乘积的定义及性质无穷乘积与无穷级数的关系：通过取对数等方法将无穷乘积转化为无穷级数进行处理无穷乘积与无穷级数关系探讨无穷级数在近似计算中应用举例利用已知的无穷级数展开式进行近似计算，如计算圆周率、自然对数的底等无穷级数在近似计算中的应用通过截断误差、舍入误差等分析近似计算的精度近似计算的误差分析06微积分在经济学等领域应用举例边际分析微分在经济学中常用于边际分析，如计算边际成本、边际收益等，以帮助企业做出最优决策。弹性分析微分可用于计算需求弹性、供给弹性等，以分析市场价格的变动对需求和供给的影响。最优化问题微分可用于求解经济学中的最优化问题，如最大化利润、最小化成本等。微分在经济学中应用举例总收益与总成本计算积分可用于计算总收益和总成本，进而分析企业的盈利状况。长期经济增长模型积分可用于构建长期经济增长模型，分析经济增长的趋势和影响因素。消费者剩余与生产者剩余积分可用于计算消费者剩余和生产者剩余，以衡量市场的效率和公平性。积分在经济学中应用举例微积分可用于求解Black-Scholes等期权定价模型，以确定股票期权的合理价格。股票期权定价微积分可用于求解投资组合优化问题，如马克维茨均值-方差模型，以实现风险最小化和收益最大化。投资组合优化微积分可用于构建利率期限结构模型，分析不同期限债券的收益率和风险。利率期限结构模型微积分在金融领域应