微分几何练习题库及答案

微积分几何复习题本科

第一局部：练习题库及答案

一，填空题(每题后面附有关键词;难易度;答题时长)

第一章

1.a=(l,l,-l),b=(l,O,-D，那么这两个向量的夹角的余弦cos。二日

2.a=(0,l,-l),b=(l,0,-l),求这两个向量的向量积axb=(T,T,T).

3.过点且及向量a=(l,0,-1)垂直的平面方程为左左2

4.求两平面《：x+y+z=0及/2：x-y+2z=l的交线的对称式方程为士口=上=

3—1—2

5.计算lim[(35+l)i-/j+k]=13i-8j+k.

-2____________

6.设f(f)=(sinf)i+/j,g(f)=(/+l)i+dj,求lim(f(»g⑴)=0.

r->0

7.r(w,v)=(w+v,w-v,uv)9其中〃=J,v=sinZ,那么史=(2，+cos，,2f-cosf,2iY+〃cos/)

dr----------------------------

2

8.(p=t90=t9刃口么=(一Qsin°cos。-2〃cos°sin。,一。sin°sin。+2"cos°cos6,。cos°)

dt------------------------------------------------------------

46

9.jr(r)dz=(-l,2,3),Jr⑺dr=(—2,1,2),求

24

46

Jaxr(^)dr+b-jarQ)df=(3-9,5)9其中a=(2,1,1),b=(1,-1,0)

22

10.r'(Z)=a(a为常向量〕，求rQ)=Za+c

11.r«)=fa,(a为常向量)，求rQ)=L、+c

2

4人

12.f(r)=(2+z)j+(logr)k,g(r)=(sinr)i-(cos/)j,r>0?刀口么!而*)山=2-6cos4.

弟一早

13.曲线r⑺=(2而,力在随意点的切向量为(2,3产,d)

14.曲线r(f)=(acoshf,asinhf,af)在t=0点的切向量为(0,a,a)

15.曲线r(r)=(acost,asin初)在Z=0点的切向量为(0,a,b)

1

y——

16.设有曲线C:x=d,尸二/=r，当时的切线方程为三£=—=0

e2

e

17.设有曲线x=，cosf,y=dsinf,z=—,当£=0时的切线方程为x-1=y=z-1

弟二早

18.设r=r(〃#)为曲面的参数表示，假如r.x/o,那么称参数曲面是正那么的；假

如r:Gfr(G)是----的,那么称参数曲面是简单的.

19.假如"-曲线族和l曲线族到处不相切，那么称相应的坐标网为正规坐标网.(坐

标网；易；3分钟)

20.平面r(M,v)=(M,v,0)的第一根本形式为d"2+",面积兀为dndv

22

21.悬链面r(w,v)=(coshucosv,coshusinv,w)的第一类根本量是E=coshwJ_F=0J_G=coshu

2

22.曲面z=ary上坐标曲线x=x(),y=」的交角的余弦值是

7(l+a\2)(l+a2V)

23.正螺面1*3,丫)=(〃(：051>,“$吊丫,切)的第一根本形式是d〃2+(〃2+^2)(1/.

24.双曲抛物面r(u,V)^(a(u+v),b(u-V),2uv)的第一根本形式是

22

(a2+〃2+4，)d〃2+2(Q2-b+4wv)dwdv+(tz2+b+4w2)dv2

25.正螺面%/)=(〃—,“出”回)的平均曲率为3(正螺面，第一根本量，第二根

本量；中；3分钟)

26.方向(d)=d”:dv是渐近方向的充要条件是£,(d)=0或Adi?+2MdMdu+丽=0

27.两个方向(d)=d〃:dv和(3)=3”:3V共辆的充要条件是II(dr,5r)=0更

LduSu+M(dw8v4-dv8w)+7Vdv8v=0

AE-LAF-M

28.函数；l是主曲率的充要条件是=0

XF-MXG-N

Edu+FdvLdu+Mdv

29.方向(d)=da:du是主方向的充要条件是=0

Fdu+GdvMdu+Ndu

30.依据罗德里格定理，假如方向(d)=(d〃:du)是主方向，那么dn=-K.,dr,其中K,,是沿

史方向的法曲率

31.旋转微小曲面是平面或悬链面

第四章

kJ

32.高斯方程是％=+3j=1,2,魏因加尔吞方程为n：=-^Likgri，=

kM

33.g"用g,7表示为d)=7^-产-心.

det(gp(-&2gj

34.测地曲率的几何意义是曲面叫上的曲线g在p点的测地曲率的肯定值等于g在

p点的切平面口上的正投影曲线色)的曲率

35.K,Kg,K.之间的关系是*=Kj+K,2.

36.假如曲面上存在直线，那么此直线的测地曲率为—0.

37.测地线的方程为吗.皿叱=0,4=1,2

dsdsds

38.图斯-波涅公式为JJKdcr+qK0+Z(乃-aj=2%

GdG9

39.假如3G是由测地线组成，那么高斯-波涅公式为JjKdb+i>r-%)=2万.

Gi=1

二，单项选择题

AA*___

弟一早

40.a=(-l,0,-l),b=(l,2,-l),那么这两个向量的内积a.b为(C).(内积;易;

2分钟)

A2B-1C0D1

41.求过点P(l,l,l)且及向量a=(T,O,T)平行的直线［的方程是(A).(直线方程;

易；2分钟)

X=Zx-1

AB=z+,

y=if

x=y

Cx+1=y=z+1D

z=1

42.那么混合积为D).(混合积；较易；2分钟〕

A2B-1C1D-2

那么r"(0)为(A).1导数;易；2分钟)

A(1,0,1)B(-1,0,1)

C(0,1,1)D(1,0,-1)

44.4(/)=&。)，2为常数,那么r⑺为(C).(导数；易;2分钟)

A力aB/laCD/a

上述a为常向量.

r(x,y)=(x,y,Ay),求dr(1,2)为1D).(微分;较易；2分钟)

A(dr,dy,dx+2dy)B(dr+dy,dx—dy,0)

弟一早

46.圆柱螺线r=(8Sf,sinf,/)的切线及z轴(C).(螺线，切向量，夹角；较易,

2分钟)

A平行B垂直

C有固定夹角卫D有固定夹场

4

47.设有平面曲线C:r=r(s),s为自然参数，a,0是曲线的根本向量.以下表达错误

的选项是(C).

Aa为单位向量Ba±d

Cd=-KPDP=-Ka

48.直线的曲率为(B).(曲率；易；2分钟)

A-1B0C1D2

49.关于平面曲线的曲率C:r=r（s）不正确的选项是（D）.（伏雷内公式；较易；2

分钟）

AK（S）=网s）|BK（S）=|0（S）］,0为a（s）的旋转角

C7C（5）=-«PDK（s）=|『（s）|

50.对于平面曲线，”曲率恒等于0”是“曲线是直线〃的（D）.1曲率；易；2

分钟）

A充分不必要条件B必要不充分条件

C既不充分也不必要条件D充要条件

51.以下论述不正确的选项是（D）.1根本向量；易；2分钟）

Aa,p,y均为单位向量Balp

Cp±YDa//p

52.对于空间曲线C,“曲率为零〃是“曲线是直线〃的［D）.（曲率；易；2分钟）

A充分不必要条件B必要不充分条件

C既不充分也不必要条件D充要条件

53.对于空间曲线C,“挠率为零〃是“曲线是直线〃的1D）.（挠率；易;2分

钟）

A充分不必要条件B必要不充分条件

C既不充分也不必要条件D充要条件

54.x=-sinf）,y=a（l-cosf）,z=4asin；在点/■=5的切线及z轴关系为（D）.

A垂直B平行

C成三的角D成王的角

34

第二早

222

55.椭球面「+与+-=1的参数表示为（C）.1参数表示；易；2分钟）

a~b~c

A(x,y,z)=(cos℃os仇cossin0.sin°)B(x,y,z)=(acoscos9,bcos0sin0.sincp)

C(x,y,z)=(acos^?cosff.hcos(psin0.csincp)D(x,y,z)=(«cos^?cos^,Z?sin^>cos0,csin20)

222

56.以下为单叶双曲面%+}-3=1的参数表示的是(D).(参数表示；易;2分钟)

A(x,y,z)=(acoshwsinv,Z?coshucosv,sinhu)B(x,y,z)=(coshucosv,coshusinv,sinhu)

C(x,y,z)=(asinhucosv,bsinh〃sin%ccoshw)D(x,y,z)=(acoshucosv,bcoshusinv,csinh〃)

229

57.以下为双叶双曲面:+5_==—i的参数表示的是U).(参数表示；易；2分

a2b-c

钟)

A(x,y,z)=(asinhucosv,hsinhusinv,ccosh〃)B(x,y,z)=(acoshucosv,hsinhusinv,ccosh〃)

C(x,y,z)=(acoshucosv,/?coshusinv,csinhu)D(x,y,z)=(coshucosv,coshusinv,sinhu)

72

58.以下为椭圆抛物面，+A=2z的参数表示的是(B).(参数表示；易；2分钟〕

ab

22

A(x,y,z)=(wcosv,usinv,—)B(x,y,z)=(aucosv,businv,—)

〃2

C(x,y,z)=(aucoshv.businhv,—)D(x,y,z)=(acosv,Z?sinv,v)

22

59.以下为双曲抛物面T-2=2z的参数表示的是(C).(参数表示；易；2分钟)

ab

A(x,y,z)=(acoshu,hsinhu,u)B(x,y,z)=(coshu,sinhu,u)

C(x,y,z)=(a(u+v),b(u-v),2uv)D(x,y,z)={au,bv.u-v)

60.曲面r(〃,u)=(2〃-匕〃2+y2,〃3_/)在点/(3,5,7)的切平面方程为(B6(切平面方程;

易；2分钟)

A21x+3y-5z+20=0B18x+3y-4z-41=0

C7x+5y-6z—18=0D18x+5y—3z+16=0

61.球面r(〃,u)=(Reos〃cosy,Reos〃sinu,Rsin〃)的第一'根本形式为〔D〕.〔第一'根本形式；

中；2分钟)

AZ?2(dw2+sin2wdv2)B/？2(dw2+cosh2udv2)

CZ?2(dw2+sinh2udv2)DR2(du2+cos2wdv2)

62.正圆柱面r(〃,y)=(7?cos%Rsiny,〃)的第一根本形式为(C).(第一根本形式;中；2

分钟)

Ad»2+dv2Bdw2-dv2Cdu2+/?2dv2Ddir-/?2dv2

63.在第一根本形式为19",四）=（1"2+0皿112""的曲面上，方程为“=丫（匕4匹彩）的曲线段

的弧长为（B）.（弧长；中；2分钟）

Acoshv2-cosh%Bsinhv2-sinh匕

Ccosh匕-coshv2Dsinh匕-sinhv2

64.设/为屋中的2维0?正那么曲面，那么M的参数曲线网为正交曲线网的充要条

件是［B）.

AE=QBF=0CG=（）DM=0

65.以下正确的选项是1D).〔魏因加尔吞变换；较易；2分钟）

Adn=W(dr)Bdn=W（dr„）

Cdn„=W(drv)Ddn=-W（dr）

66.以下正确的选项是(C).（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）

AI(dr,W(8r))=-II(dr,5r)BI(dr,W(8r))=-1(W(Sr),dr)

CI(dr,W(8r))=1(W(dr),8r)DI(dr,W(5r))=II(W(dr),3r)

67.以下正确的选项是（A）.（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）

AI(dr,W(5r))=II(dr,5r)BI(dr,W(5r))=II(W(dr),8r)

CI(dr,W(5r))=-I(W(dr),8r)DII(dr,W(8r))=II(W(dr),8r)

68.高斯曲率为常数的的曲面叫(C).1高斯曲率；易；2分钟〕

A微小曲面B球面C常高斯曲率曲面D平面

第四章

B69.汇g"g户=.（第一根本形式；易；2分钟）

ij

1B2C0D-1

B

70.=.（第一根本形式；易；2分钟）

Ag

gkjBgklCkiDgiJ

A71.*=.（克氏符号；较易；2分钟）

AZ#（答+答-胃BZ#（答-答-鲁）

i2otiuuGUj2c）u（JUOU

c0嚅+等JI+D转&噜噜+鬻

A72.曲面上直线1假如有的话）的测地曲率等于

（）B1C2D3

B73.当参数曲线构成正交网时,参数曲线u-曲线的测地曲率为.（刘维尔

定理,测地曲率；中;4分钟）

A1SlnEB1SlnE

2y/Edu2VGdv

1OlnGD1dlnE

C

2y[Edvl4Gdu

A74.假如测地线同时为渐进线，那么它必为.（测地曲率，法曲率，曲

率；中；2分钟）

A直线B平面曲线C抛物线D圆柱螺线

B75.在伪球面（K三-1）上,任何测地三角形的内角之和—•（高斯-波涅定理;

中;4分钟）

A等于71B小于71C大于7I）不能确定

三,多项选择题

/rA*___

弟一早

勺⑴=(x,C),y,C),Zj(f)),i=L2,3为向量函数，那么以下论述正确的选项是(AD).(导数;

易；4分钟)

Ar：⑺=(x；⑺，乂(f),z；(/))

Br；⑴=(x；(/),x(t),zt(f))+(x,(t),乂(f),Z]⑴)+(%(f),x(t),z；«))

C&(f),j⑺,j(f))'=(r：(f),r；(f),r；(f))

D&(f),r2(r),j⑺丫=(r；(t),r2(t),r3(t))+(r,(f),r；(t),r3(/))+(r,r；(f))

f

E(Fj(0,r2(t),r3(z))=(r；(z),r2(t),r3(r))

77.m,n为常向量，rQ)为向量函数,那么下述正确的选项是1ABC).(积分的性

质；中；4分钟)

bbbb

AJin-rQ)dr=m•Jr(r)d^BJmxr⑺dr=mxJrQ)df

hbhh

Cj(m,n,r(z))dz=(mxn)jr(r)drDj(m,n,r(Z))dZ=(m-n)jr(/)dr

bb

EJ(m,n,rQ))dr=(mxn)xjr(力ck

第二章

78.以下曲线中为正那么曲线的有(ACDE)o(曲线的概念;易;4分钟)

323

Ar(x)=(x,x)9XG(-oo,+oo)Br(x)=(X,X),XG(-00,4-00)

Cr(x)=(x2,x3)?XG(0,+oo)Dr(x)=(cosx,x)9xG(-oo,+oo)Er(x)=(x,x)

xG(-1,2)

79.以下曲线中是正那么曲线的有(ABCDE)。(曲线的概念；易；4分钟)

Ar=(cost,sint,t),tG(-00,+oo)

Br=(sin3f,3/,0),tG(-00,+00)

Cr=(cost,cos21,sint),tG(-00,+oo)

Dr=(cos1-cost-sinZ,-sint),tG(-oo,+oo)

Er=（2sin2Z,2sin2Hant.t），te（-00,4-00）

80.以下式子正确的选项是（ABCE）.（伏雷内公式；中；4分钟）

Ay=axpBy±a

Cp=-ka+ryDYJ-P

Ey〃p.

第三章

81.曲面z=V+y3在点M（I,2,9）的［AD）.（切平面，法线；中；4分钟）

A切平面方程为3x+12y-z-18=O

B切平面方程为3x+14y-z+8=0

C法线方程为3=匕V=汇

312-1

D法线方程为曰=匕2=力

312-1

E法线方程为七U匕2=二

412-1

82.正螺面r=（“cosv,〃sin%av）的（AC）.〔切平面,法线；中;4分钟）

A切平面方程为xasinv—yacosv+zu-auv=0

B切平面方程为sinu-yacosu+zv-auv=0

c切平面方程为xasinu-yacosu-zv-auv=0

D法线方程为x-“cosy_y-usinv_z-av

«sinv-6ZCOSvu

E法线方程为x-su="-"sin:三型

asinu-acosuv

83.以下二次形式中，（ABD）不能作为曲面的第一根本形式.（第一根本形式；易;

4分钟）

AI(dw,dv)=dw2+4dwdv+dv2

BI(dw,dv)=du2+4dwdv+4dv2

CI(dw,dv)=du2-4dwdv+6dv2

DI(dw,dv)=du2+4dwdv-2dv2

EI（dw,dv）=d。/+4dwdv+5dv2

84.一般螺面3#）=（〃85%n11匕/（〃）+加）的第一类根本量是（BCD）.1第一根本量;

易；4分钟）

AE=I+（/（«））2BE=I+（/W

CF=I）G^a2+u2

EG=cr—u~

85.以下曲面中，（BCD）是旋转常高斯曲率曲面.（常高斯曲率曲面；易；4分

钟）

A正螺面B平面C球面D圆柱面E悬链面

第四章

ABC86.对于曲面上的正交坐标网，测地曲率K”〔设曲线的切方向及r“的夹

角为。）.

A-与=cos6+-sin0

ds2£VG2Gy/E

dO1ainE八1ainG.八

Dn-------,=----cos0+—,=-----sin0

ds2\JGdvEdu

rd0A.Q

C——+K“cos3+Ksin夕

dsg“U

nd。.n

u——+K“sin〃+K“cos®n

ds8u8v

da

E——+K“cosg—《sing

ds彘

87.曲面上的曲线是测地线的充分必要条件是阻（测地线的概念；中；4分钟）

A满意方程％+Z邛皿叱=0的曲线

ds由ds

B满意£=0的曲线

C除了曲率为零的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线

D满意K=0的曲线

E满意K“=O的曲线

四，表达题

第三章

88.曲面。［解］设G是初等区域，SuRh假如存在一个连续一一映射r:GfR3使得

r(G)=S,那么称S是一■张曲面，而r=r(x)叫S的参数表不.

89.坐标曲线。【解】曲面S:r=r(〃,y),Q,v)GG,的像叫”-曲线，r(%,v)的像叫丫-

曲线，”-曲线和吁曲线都叫坐标曲线.

?

90.第一根本形式。【解】称二次型1((1”,(1丫)=£'<1〃2+2/<1必+6(1/(其中6=£,.1；,F=ru-rv,

G=r„-rJ为曲面的第一根本形式.而E,F,G叫曲面的第一类根本量.

91.内蕴量。【解】由曲面的第一类根本量所确定的量叫曲面的内蕴量.

92.第二根本形式。【解】称二次型11(<1”,<110=L(1〃2+2冰1“(1丫+2丫2(其中/,=£,“.11,M=rHVn,

N=j.n)为曲面的第二根本形式.而L,M,N为曲面的第二类根本量.

93.【解】假设在P点有LN-M2〉O,那么称/>点为曲面的椭圆点.

94.法曲率。【解】给定曲面S上一点P处的一个切向量(d)=dM：du,那么P点沿方向(d)

的法曲率定义为(d)=II(dr,dr)/I(dr,dr).

95.主曲率。【解】使法曲率K“(d)到达极值的方向叫曲面在该点的主方向，而主方

向的法曲率叫该点的主曲率.

96.高斯曲率。【解】曲面的两个主曲率之积K=K/S叫曲面的高斯曲率.

97.微小曲面。【解】平均曲率以=()的曲面叫微小曲面.

五，计算题

弟一早

98.求旋轮线尤=a«-sin/),y=〃(1-cos/)的04/一^段的弧长.〔弧长；中；5分钟)

【解】旋轮线r(r)=(a(t-sint\a(l-cos0)的切向量为rz(r)=(a-acosz,asint),那么它的

0W/K2%一段的弧长为：

99.求曲线x=fsinf,y=tcosf,z=以在原点的切向量，主法向量，副法向量根本向

量；中；10分钟

【解】由题意知r'(f)=(sint+tcost,cost-tsint,e'+te'),

在原点时有r，(0)=(0,1,1),r"(0)=(2,0,2)o

又

所以有

100.圆柱螺线为r(/)=(acos/,asin/,初)。(根本向量，曲率，挠率；中；15分钟〕

①求根本向量a,p,y;

②求曲率K和挠率一

【解】①由题意有

又由公式a：!，”"'?,；。；3,尸陷有

MMIK卜*"|

②由一般参数的曲率公式皿)=富及挠率公式《)=富中有K=4,

卜［l^xrfa2+b-

b

T=------o

a2+b

AA--*

第二早

101.求正螺面1'(“,丫)=(〃85匕〃5山匕。丫)的切平面和法线方程.〔切平面，法线；中；5

分钟)

【解】r„=(cosv,sinv,0),r„=(-wsinv,ncosv,Z?),切平面方程为

法线方程为ic°sv=.—sinv=z-bv.

Z?sinv-Z?cosvu

102.求球面r(^7,0)={acos(pcos0,acos(psin0,asin(p)上任一\点处的切平面及法线方程.

【解】

・•.球面上随意点的切平面方程为

BPcosOcos夕・x+cos夕sinPy+siiiQz—Q=0，

法线方程为

gpx-acosocos。_y-acos(psin3_z-asin(p

cos9cos。cossinsin(p

103.求旋转抛物面Z=”(x2+y2)的第一根本形式.(第一根本形式；中；5分钟)

【解】参数表不为「(乂丁)=",)，,40?+/)),

104.求正螺面r(",v)=(〃cosv,Msinn必)的第一根本形式.(第一根本形式；中；5分钟)

【解】ru=(cosv,sinv,0),rv=(-usinv,wcosv,h),

105.计算正螺面rQ,v)=(MCOs%"sin%6)的第一,第二根本量.［第一根本形式，第

二根本形式；中；15分钟)

【解】ru=(cosv,sinv,0)，rv=(-usinv,ucosv,h),

106.计算抛物面Z=f+y2的高斯曲率和平均曲率.(高斯曲率，平均曲率；中；15

分钟)

【解】设抛物面的参数表不为「0,卜)=(羽、/+丁)，那么

107.计算正螺面式“,丫)=(“85丫,"11%瓦＞)的图斯曲率(局斯曲率;中；15分钟)

【解】直接计算知

第四章

=

108.求位于正螺面x=MCOsv,y=Msinv,z=au上的圆柱螺线x-“°cosv,y-“°sinv,z=av(w0

常数)的测地曲率.(测地曲率，刘维尔定理；中；15分)

【解】因为正螺面的第一根本形式为1=加2+面+m"，螺旋线是正螺面的V-曲线

u=un,由。=乙得煦=0.由正交网的坐标曲线的测地曲率得

2ds

六，证明题

第二章

109.证明曲线r=(/cosf,dsinf,0)的切向量及曲线的位置向量成定角.(切向量，夹

角；较易；5分钟)

【证】对曲线上随意一点，曲线的位置向量为r=(dcosf,dsinf,0),该点切线的切向量

为：rf=(e1(cost-sint),e'(sint+cosZ),0)?那么有：

故夹角为卫。由所取点的随意性可知，该曲线及曲线的切向量成定角.

4

110.证明：假设r，和对一切/线性相关，那么曲线是直线.(曲率；中；10分钟)

【证明】假设r，和r”对一切线性相关，那么存在恒不同时为0的/Q),gQ)使

那么r«)xr()=0Vfo

又K(/)=母口，故的)=0M。于是该曲线是直线.

111.证明圆柱螺线x=acosf,y=asinf,z=。/的主法线和Z轴垂直相交.〔主法线，夹

角；中；10分钟)

【证明】由题意有

由知B=(-eosf,-sint,0)。另一方面z轴的方向向量为a=(0,0,l),而

lrHrxrI

a.p=0,故a3,即主法线及z轴垂直.

112.证明曲线x=asin"y=asinfcosf,z=acosf的全部法平面皆通过坐标原点.(法平面;

较易；5分钟)

【证明】由题意可得-⑺虫酒!!?.,。­2.,-^!!/),那么随意点的法平面为

asin2fo(x-asin2to)+acos2fo(y-asinfocosfo)-asin%(z-acosf())=0将点(0,0,0)代入上述方

程有

左边