圆的基本性质-2022年中考数学一轮复习帮(浙江专用)（解析版）

考点19圆的基本性质

【命题趋势】

圆的基本性质是中考数学中“个人色彩”比较明显的一类考点，当其他的考点和圆结

合的时候，很多结论的产生可能会更依赖与圆的基本性质。在中考数学中，该考点通常会从

圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理等方向考察，还可以和相似、三角形函数等结合，难

度中等或偏上。在整个中考中的占比也不是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在3~13

分左右，属于中考中的中档考题。

【中考考查重点】

一、圆的有关概念

二、垂径定理及其推论

三、圆周角定理及其推论

四、圆内接四边形及其综合

考向一：圆的有关概念

1.圆的有关概念

弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径经过圆心的弦叫做直径。

弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

优弧大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧小于半圆的弧叫做劣弧。

2.圆的有关计算公式

常用公式：_rc〃兀/i

L=

，§扇形==LrJ弓形一J扇形二角形

1o2OnJoU2

1.已知。。的半径为3,点P到圆心。的距离为4,则点P()

A.在内B.在00上C.在。。外D.无法确定

【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点p与oo的位置关系.

【解答】解：的半径分别是3,点P到圆心。的距离为4,

...点P与。。的位置关系是：点在圆外.

故选：C.

2.下列说法错误的是（）

A.直径是圆中最长的弦B.长度相等的两条弧是等弧

C.面积相等的两个圆是等圆D.半径相等的两个半圆是等弧

【分析】根据直径的定义对A进行判断：根据等弧的定义对8进行判断：根据等圆的定

义对C进行判断；根据半圆和等弧的定义对。进行判断.

【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；

8、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以8选项的说法错误；

C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；

。、半径相等的两个半圆是等弧，所以。选项的说法正确.

故选：B.

3.已知O。中最长的弦为16”〃，则。。的半径为cm.

［分析］。。最长的弦就是直径从而不难求得半径的长.

【解答】解：；O。中最长的弦为16c，"，即直径为16。〃，

」.。。的半径为3cm.

故答案为：8.

考向二：垂径定理及其推论

三垂径定理及其推环

垂径定理垂直于弦的直径必平分弦，并且平分弦所对的弧

推论平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

平分弧的直径。垂直于弧所对的弦。。

【方法提炼】

二圆中模型“知》得同

由图可得以下5点：

/\①AB_LCD；②AE=EB；③AD过圆心O;④*=方3⑤

AD=BD

以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结

论使用。

2.常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角

【同步练习】

1.如图，。。中，半径0C=2,弦AB垂直平分0C,则A8的长是（）

A.3B.4C.2V3D.473

【分析】连接。4,OC交A8于。点，如图，利用弦A8垂宜平分OC得到O£）=CZ）=1,

则利用勾股定理可计算出AD=M，然后根据垂经定理得到AD=BD,从而得到AB的

长.

【解答】解：连接。4,OC交AB于。点，如图，

•.•弦AB垂直平分OC,

：.OD=CD=1.OC=\,

2

在RtZVIOD中，40=,22-]2=«,

•.*OD±AB,

:.AD=BD,

：.AB=2AD=2y[3-

2.如图所示，一圆弧过方格的格点AB,试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标

【分析】连接AC,作出A8、AC的垂直平分线，其交点即为圆心.

【解答】解：如图所示，

连接AC,作出A8、AC的垂直平分线，其交点即为圆心.

:点A的坐标为（0,4）,

该圆弧所在圆的圆心坐标是（-1,1）.

故选：C.

3.如图，CD是。0的直径,AB是弦，CDYAB,若0B=10,48=12,则AC的长为

【分析】根据垂径定理求出AE=BE=6,根据勾股定理求出OE,求出CE,再根据勾股

定理求出AC即可.

【解答】解：设AB和CQ交于E,

；CDLAB,CD过圆心。，AB=12,

：.AE=BE^6,NOEB=NCEA=90°,

由勾股定理得：OE=GB2_BE2r1。2_62=8,

CE=OC+OE=10+8=18,

由勾股定理得：AC—{CE2+卜区2—V182+62=6AHi，

故答案为：6VIo.

4.如图，在。0中，半径r=10,弦AB=16,P是弦AB上的动点，则线段。尸长的最小值

【分析】过。点作于”，连接08,如图，根据垂径定理得到A"=8//=8,再

利用勾股定理计算出OH,然后根据垂线段最短求解.

【解答】解：过。点作O//LAB于H,连接。B,如图,

：.AH=BH=1AB=^X16=8,

22

在RtZ\BO〃中，CW={OB2_BH2=4］。2_82=6,

线段。。长的最小值为6.

5.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中,

不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形

木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道A8长

1尺，则圆形木材的直径是（）（1尺=10寸）

【分析】连接。A、OC,由垂径定理得AC=8C=LB=5寸，连接。A,设圆的半径为

2

x寸，再在RtZkOAC中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径，进而直径可求.

【解答】解：连接OA、0C,如图：

由题意得：C为A8的中点，

则0、C、力三点共线，0C_L48,

.,.AC=8C=」A8=5（寸），

2

设圆的半径为x寸，则0C=（x-1）寸.

在Rtz^OAC中，由勾股定理得：52+（x-1）2=/,

解得：x=13.

圆材直径为2X13=26（寸）.

故选：D.

6.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CO=6c/n,

444

【分析】设球的平面投影圆心为0,过点。作ONLAD于点N,延长NO交BC于点M,

连接0尸，由垂径定理得：NF=EN=LEF=3(cm),设OF=xaw,则0M=(4-x)cm,

2

再在RtAMOF中由勾股定理求得OF的长即可.

【解答】解：设球的平面投影圆心为。，过点。作。NLAO于点N,延长N。交BC于

点例，连接。尸，如图所示：

则(cw),

2

•••四边形A8C。是矩形，

.•.ZC=ZD=90°,

四边形CDNM是矩形，

:.MN=CD=6cm,

设OF=xcm,则OM=OF,

：.ON=MN-OM=(6-x)cm,

在RtZ^ON尸中，由勾股定理得：0解+加尸=0产，

即：(6-x)2+32=A2,

解得：x=生，

4

即球的半径长是至。布，

4

7.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的

算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大

小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”

译为：”今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸(ED

=1寸)，锯道长1尺(AB=1尺=10寸).问这块圆形木材的直径(AC)是多少？”如

图所示，请根据所学的知识解答上述问题.

【分析】设。。的半径为x寸.在RtAA。。中，AQ=5寸，OD=(x-1)寸，O4=x

寸，则有/=(x-1)2+52,解方程即可.

【解答】解：设。。的半径为x寸，

"：OEA.AB,A8=l0寸，

：.AD=BD=1AB^5寸，

2

在Rt/^AOD中，OA=x,。力=x-1,

由勾股定理得了=(x-1)2+52,

解得x=13,

.••OO的直径AC=2x=26(寸)，

答：这块圆形木材的直径(AC)是26寸.

8.诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州.小勇要

帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度

16"?时，拱顶高出水平面4m，货船宽12根，船舱顶部为矩形并高出水面3瓶.

(1)请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；

(2)小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？

说说你的理由.

【分析】(1)根据垂径定理和勾股定理求解；

(2)连接OM利用勾股定理求出EM得出MN的长，即可得到结论.

【解答】解：(1)如图，连接。艮

'：OC±AB,

.♦.£＞为A8中点，

'：AB=l6m,

：.BD=1AB=S(/n),

2

又,.•cn=4"?,

设OB=OC=r,则。力=(r-4)m.

在RtZXBOD中，根据勾股定理得：J=(,--4)2+82,

解得r=10.

答：此圆弧形拱桥的半径为10/n.

(2)此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：

连接ON,

•；CO=4m,船舱顶部为长方形并高出水面3m,

，CE=4-3=1(〃?)，

；.OE=r-CE=10-1=9(m),

在Rt^OEN中，由勾股定理得：Eyv=^0N2-0E2=V102-92,

：.MN=2EN=2<12m.

此货船B不能顺利通过这座拱桥.

N

考向三：圆周角定理及其推论

一.圆周角定理及其推论

圆周角定顶点在圆周上并且两边都和圆相交的角叫做圆周角

圆周角定一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半

理____________________________________________________________________________________

圆周角定—半径(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径

理的推论在同圆或等圆同同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相

拓展提示圆的一条弧(弦)只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度

____________数只有两个，这两个度数和为180°

【方法提炼】

一圆甲模亶“知i得不厂

由图可得以下5点：〃

①AB=CD；®AB=CD-,③OM=ON；④ZE=NF；⑤ZAOB=NCOD：

以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。*

•_【同步练习】

1.下列有关圆的一些结论：①与半径长相等的弦所对的圆周角是30°或150。；②圆是轴

对称图形，对称轴是直径；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦.其

中正确的是（）

A.①②③B.①③④C.①③D.②④

【分析】利用圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质分别判

断后即可确定正确的选项.

【解答】解：与半径长相等的弦所对的圆周角是30。或150。，故①正确，符合题意；

圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线，故②错误，不符合题意；

垂直于弦的直径平分这条弦，故③正确，符合题意；

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故④错误，不符合题意；

故选：C.

2.如图，AB为。。的直径，点C在。。上，弦CO与AB相交于点E,连接A。，OC,若

A.63°B.72°C.84°D.86°

【分析】连接4C,连接。。并延长交4c于点F,根据等腰三角形的性质得到

ZADO=ZDCO=ZODC,根据三角形外角性质得出NAOO=2I°,根据圆周角定理即

可得解.

【解答】解：连接AC,连接。。并延长交AC于点凡

"：OA=OD,OD=OC,

，ZDAO=ZADO,ZDCO=NODC,

'：ZDAO=ZDCO,

：.ND4O=2AD0=/DCO=NODC,

VZBED=ZDAO+ZADE=3ZADO=63°,

.•.NAOO=21°,

，NA£)C=2/AOO=42°,

AOC=2NADC=84°,

故选：C.

3.如图，ZXABC中，ZA=60°,以A8为直径作。。，分别交AC、BC于点、。、E,若AQ

=C3,则NAOE的度数是（）

【分析】连接BO,根据圆周角定理求出/AE>8=90°,求出AB=8C,根据等边三角形

的判定得出△ABC是等边三角形，求出NA8C=60°,求出NOE8=NA8C=6（）°,再

求出答案即可.

是。。的直径，

:.NADB=90°,

即BD1AC,

,:AD=CD,

：.AB=BC,

；NA=60°,

.,.△ABC是等边三角形,

ZABC=60°,

'：OE=OB,

.,./OE3=N4BC=60°,

AZAOE=ZABC+ZOEB=600+60°=120°.

故选：A.

4.如图，AB,BC为。。的两条弦，连接04、OC,点。为AB的延长线上一点，若NCBD

=62°,则NAOC的度数为（)

B.124°C.114D.100°

【分析】根据NCBO的度数可先求出弧AC所对应的圆周角的度数，进而可得答案.

【解答】解：如图，在优弧AC上取点P,连接以，PC,

:NCBD=62°,

：.ZCPA=62°,

NA0C=2124°,

故选：B.

考向四：圆内接四边形及其综合

圆内接四边形的性质

圆内接四圆内接四边形对角互补

边形的性圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角

质

圆内接正

,।、".360。

多边形圆的半径为r,边长为a的正n边形的边心距为、r2--,中心角为-----

3n

【方法提炼】

「圆幕定理.

如图I,若圆内任解AB、弦CD交于点正；则：P^xPB=PCXPD

二.割线定理

如图n,连接AD、BC,亦可证：p>PB=PC>PD

三.切割线定理

弦切角：与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角；

弦切角性质：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧

所对的圆周角度数。

图IU,连接AC、AD.NPAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，

贝ij：/XPAC^/XPDA（母子△）•

PA2PC>PD

【同步练习】

I.如图，四边形ABC。内接于NC=100°,那么/4是（）

A.

A.60°B.50°C.80°D.100°

【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可.

【解答】解：・.•四边形A8CO内接于O。，

AZA+ZC=180°,

VZC=100°,

ZA=1800-ZC=180°-100°=80°,

故选：c.

2.如图，四边形A5CD内接于OO,对角线3。垂直平分半径OC,若NA&)=45°,则N

ADC=()

A.100°B.105°C.110°D.115°

【分析】连接OD,如图，根据线段垂直平分线的性质得到拉。=。。，则可判断△8C

为等边三角形，所以NCOO=60°,再根据圆周角定理得到NC8O=30°,然后利用圆

内接四边形的性质计算N4OC的度数.

【解答】解：连接。£>,如图，

〈BO垂直平分半径OC,

:・DO=DC,

*:OD=OC,

：.OD=OC=DC,

•••△OOC为等边三角形，

ZCOD=60°,

AZCBD=AZCOD=30°，

2

AZABC=ZABD+ZCBD=450+30°=75°,

•・・/4DC+/A8C=180°,

AZADC=IS()°-75°=105°.

故选：B.

3.如图，四边形ABC£)内接于E是BC延长线上一点，若/54。=105°,则NQCE

的度数是________

【分析】由圆的内接四边形的性质，可得N8AO+/8CZ)=18(r,又由邻补角的定义可

得：ZBCD+ZDCE=\SOQ,可得/OCE=NBAD

【解答】解：；/区40=105°,

.".ZBCD=180°-N840=75°,

；.NDCE=180°-ZBCD=105°.

故答案为：105.

4.如图，四边形ABC。内接于。。，AB=AC,BD±AC,垂足为£.

(1)若/R4C=40°,则NADC=°；ZDAC=°

(2)求证：N8AC=2NZMC；

(3)若AB=10,CD=5,求BC的值.

【分析】(1)利用等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质写出答案即可；

(2)根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；

(3)过A作A”J_BC于”，根据等腰三角形的性质得到N54H=NC4"=工NC48,CH

2

=BH,过C作CGJ_4D交AC*的延长线于G,根据全等三角形的性质得到AG=AH,CG

=CH,根据相似三角形的性质得到E3」，设BH=k,AH=2k,根据勾股定理即可得

AH2

到结论.

【解答】(1)ft?：'：AB=AC,ZA=40°,

AZABC=ZACB=70°,

.*.NADC=180°-/ABC=180°-70°=110°；

,：AC±BD,

.\ZCBD=90"-ZACB=20°,

：.ZDAC=ZDBC=20°；

故答案为：110,20；

(2)证明：'JBDLAC,

：.ZAEB=ZBEC=90Q,

：.ZACB=90a-NCBD,

'：AB=AC,

：.NABC=NAC8=90°-NCBD,

：.NBAC=1800-2ZABC=2ZCBD,

■:NDAC=NCBD,

:.NBAC=2NDAC；

(3)解：过A作AHJ_8c于H,

'：AB=AC,

：.ZBAH=ZCAH=^ZCAB,CH=BH,

2

'：ZBAC^2ZDAC,

：.ZCAG=ZCAH,

过C作CGJ_A。交AD的延长线于G,

.•.NG=NA，C=9(T,

"：AC=AC,

：./\AGC^/\AHC(AAS),

：.AG=AH,CG=CH,

ZCDG^ZABC,

-CGCD=5_=1

"AH"ABIO~2

••BH=—1»

AH2

设BH=k,AH=2k,

.""五评+人十二遍2I。，

:.k=2娓,

:.BC=2k=4后

5.如图，圆内接四边形A8OC中，AB=AC=4,AD=5,E为弧CD的中点，AE交CD于

点凡“为A。上一点，且4M=4.

(1)求证：NDBM=NDAF；

【分析】(1)设ND4E=a,NAOC=0,根据圆周角定理得到ND4E=NE4C=a,ZADC

=NADB=B，再利用圆内接四边形的性质得到/8DC+/BAC=180°,则ZBAM=I80

-2a-20,接着利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到N8A7A=a+B，然后根据三

角形外角性质得到/CBM=a,从而得到结论：

(2)证明△8£>MSA4OF,利用相似比得到BD・DF=5,再根据角平分线的性质得到

AD=DF_^,则。/=ScF,所以。尸=^QC,于是可计算出8D・DC=9.

ACCF449

【解答】(1)证明：设ND4E=a,ZADC=^,

为弧C。的中点，

：.ZDAE=ZEAC=a,

'：AB^AC,

...引RAB=S<AC,

'：ZBDC+ZBAC=}SO°,

.*.ZBAA/=180-2a-2p,

"：AB=AM,

...NBMA=L(1800-NBAM)=a+0,

2

而ZBMA=ZDBM+ZADB,

；.NDBM=a,

：.ZDBM=ZDAF；

(2)解：:NDBM=NDAF,NADC=NADB,

:ABDMs/\ADF,

•BPDA

；.BD-DF=DM・DA=1X5=5,

平分ND4C,

•ADDF5

"AC'CF"7

：.DF=^-CF,

4

.\DF=^-DC,

9

：.BD-DF=BD*^-DC=5,

9

?尽跟踪训练.

1.如图，A8是。。的直径，/。=40°,则/AOC=()

A.80°B.100°C.120°D.140°

【分析】根据圆周角定理求出/80C,然后由邻补角的定义即可解决问题.

【解答】解:：/。=40°,

...NBOC=2/£>=80°,

，N4OC=100°.

故选：B.

2.如图，在△A8C中，已知/ACB=130°,N8AC=20°,BC=2,以点C为圆心，CB

为半径的圆交AB于点D,则BD的长为()

A

A.MB.2V3c.xlD.4

3

【分析】连接。C,过点C作CEL8。交8。于点E,根据三角形内角和定理求出/B,

根据直角三角形的性质求出CE,根据勾股定理求出BE,根据垂径定理计算.

【解答】解：连接DC,过点C作CE工BD交8。于点E,

则DE=EB,

ZB=180°-ZACB-ZBAC=180°-130°-20°=30°,

.•.CE=LC=I,

2

由勾股定理得，5印=椒2小2=代,

:.BD=2BE=2M，

3.如图，A2是半圆。的直径，四边形CDMN和OEFG都是正方形，其中点C,D,E在

AB上，点F,N在半圆上.若半圆。的半径为10,则正方形CDMN的面积与正方形DEFG

的面积之和是()

【分析】连接ON,OF,设正方形CQMN的边长为“，正方形DEFG边长为b,OD=c.

根据正方形的性质DE—EF-b,根据勾股定理得出＜?+22

CN=CZ)=a,(o+c)=10@,

222

b+(b-c)2=1。2②,①-②得出/+(a+c)-b-(b-c)2=0,把等式的左边分解

因式后得出2(a+b)(«-b+c)=0,求出8=“+c,再代入①，即可求出答案.

【解答】解：连接OMOF,设正方形COWV的边长为“，正方形OEFG边长为从OD

=c,则CN=CD=a,DE=EF=b,

四边形CDMN和O£FG都是正方形，

：,ZNCD=90°,ZFED=90°,

•・•半圆。的半径为10,

・•・ON=OF=]09

由勾股定理得：NC2+CO2=ON2,OE?+E产=OF2,

/.d2+(a+c)2=102@,h2+(b-c)2=102(2),

①-②，得J+(一+c)2-h2-(h-c)2=0,

(d2-Z?2)+[(〃+c)2-(b-c)2)]=0,

(a+b)(a-b)+(a+c+b-c)(a+c-b+c)=0,

(a+b)(a-b)+(a+b)(a-b+2c)=0,

(a+b)(a-h+a-b+2c)=0,

2(〃+〃)(a-b+c)=0,

•・・〃+0W0,

:,a-b+c=0,

即b=a+c,

把b=q+c代入①，得42+/=102=]00,

即正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是100,

故选：C.

4.如图，拱桥可以近似地看作直径为250〃?的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连,

其正下方的路面AB长度为150优，那么这些钢索中最长的一根的长度为()

、桥拱

A.50〃？B.40/7?C.30niD.25m

【分析】设圆弧的圆心为。，过。作。CLA8于C,交源于。，连接04,先由垂径定

理得AC=8C=LB=75(w),再由勾股定理求出。C=1006”)，然后求出CO的长即

2

可.

【解答】解：设圆弧的圆心为。，过。作。CLA8于C,交源于。，连接04如图所

示：

则0A=0Q=•1x250=125(，”)，AC=5C=2A8=-lx150=75(m),

=22=22=1

OCVOA-ACV125-75O°。力

：.CD=OD-OC-=\25-100=25(m),

即这些钢索中最长的一根为25m,

故选：D.

o

5.如图所示，已知中，弦A8的长为10a〃，测得圆周角/AC8=45°,则直径AO为

()

C

A.55/2c/nB.C.I5y[2cmD.20^/2c/n

【分析】连接B£),如图，根据圆周角定理得到NA8Z)=90°,/4£>B=/ACB=45°,

然后根据等腰直角三角形的性质求AD的长.

【解答】解：连接8力，如图，

为直径，

ZABD=90Q,

；乙408-8=45°,

：./\ABD为等腰宜角三角形,

：.AD^=y/2AB,

\'AB的长为10c/n,

."£>=10企(cm),

故选：B.

6.如图，四边形A8CD内接于。。，48为直径，BC=CD,连接AC.若/D48=40°,则

ZD的度数为（)

B.120°C.140D.110°

【分析】根据圆周角定理求出/BAG根据圆内接四边形的性质计算即可.

【解答】解：：BC=CD,

•••BC=CD.

VZDAB=40°,

NBAC=」NZM8=20°,

2

•••A8为直径，

.'./AC"90°,

：.ZS=900-NBAC=70°,

•••四边形A8CZ)内接于。。，

.,.ZD=180°-NB=I10°,

故选：D.

7.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样

的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）

~~~_

A.第一块B.第二块C.第三块D.第四块

【分析】要确定圆的大小需知道其半径.根据垂径定理知第①块可确定半径的大小.

【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂

直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长.

故选：A.

8.如图，△ABC是。。的内接三角形，AB=AC,NBAC=40°,过点B作8O〃AC,交

于点£＞，连接CD,则/OCB的大小为（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解NAC8=70°,利用圆周角

定理可求得N8OC=40°,结合平行线的性质可求解NACQ=40°,进而可求解.

【解答】解：-：AB^AC,

：.ZABC=ZACB,

VZABC+ZACB+ZBAC=ISO°,ZBAC=40Q,

AZ/\BC=ZACB=70°,ZBDC=ZBAC=40°,

'：HD//AC,

：.ACD=ZBDC=40°,

/.ZDCB=ZACB-ZACD=10°-40°=30°,

故选：B.

9.如图，。。是△ABC的外接圆，NB=60°,OPLAC于点P,0P=2立，则。。的直径

【分析】由圆周角定理得出/AOC=2NB=120°,由等腰三角形的性质和三角形内角和

定理得出/O4C=NOC4=30°,在RtZLAOP中可求出半径AO,进而得到答案.

【解答】解：VZB=60°,

.•.NAOC=2NB=120°,

又OA=OC,

，NQ4C=/OCA=30°,

OPA.AC,

...NAPO=90°,

在Rt^AOP中，OP=2炳,ZOAC=30°,

：.OA=2OP=4如,

...圆。的直径为8ds.

故选：B.

10.如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB=3.2米，拱高CD=0.8米(C为

AB的中点，。为弧A8的中点).

(1)求该圆弧所在圆的半径；

(2)在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF,求支撑杆EF的高度.

D

【分析】(1)设弧48所在的圆心为O,。为弧AB的中点，CDLAB于C,延长。C至

。点，设。。的半径为R,利用勾股定理求出即可：

(2)利用垂径定理以及勾股定理得出“下的长，再求出所的长即可.

【解答】解：(1)设弧48所在的圆心为O,。为弧A8的中点，CDJ_A8于C,延长0c

经过。点,

则HC=1AB=1.6（米），

2

设OO的半径为七

在RtZkOBC中，OB2=OC2+CB2,

/./?2=（R-0.8）2+1.62,

解得R=2,

即该圆弧所在圆的半径为2米；

（2）过。作OHLFE于H,

则0〃=CE=1.6-0.4=1.2=2（米），。尸=2米，

5

在Rtz\。“尸中，^=VoF2-OH2=J22-（y）2=16（米），

\'HE^OC=OD-CD^2-0.8=1.2（米），

/.EF=HF-HE=1.6-1.2=0.4（米），

即支撑杆E尸的高度为0.4米.

II.已知：RtzXACB中，NC=90°,以AC为直径的。。交AB于E,点F为弧EC的中点,

OF的延长线交CB于D

(1)求证：CD=BD；

(2)连接EC交0。于G,若AC=6,CZ)=4,求GF的长.

CDB

【分析】（1）根据圆周角定理得到NAEC=90°,F为弧EC的中点得到NOGC=90°,

从而得到OD//AB,从而根据平行线分线段成比例即可得证：

（2）在RtZXOCO中，勾股定理得出0。长，等面积法得到CG长，从而可在RtZiOCG

中勾股定理求出0G,即可得GF的长.

【解答】（I）证明是直径，

.•./AEC=90°,

•.•尸为弧EC的中点，

：.0FVCE,

；.NOGC=90°,

/.ZAEC=ZOGC,

：.OD//AB,

：.CD=BD-.

(2)解：VAC=6,

：.0C=3,

在RtAOCD中,°£>=62+42=5,

..11

•yX3X4=yX5XCG>

.rr-12

5

在RtaOCG中，OG=j32_(丝)2=9

V55

:.GF=0F-OG=&.

5

:脸真题再现

1.（2021•浙衢州）已知扇形的半径为6,圆心角为150°,则它的面积是（）

A.—ITB.3TTC.5TTD.15n

2

【分析】把己知数据代入扇形面积公式计算，即可得到答案.

【解答】解：扇形面积=国工2SA—=15冗，

360

故选：

2.（2021•浙江温州）若扇形的圆心角为30°,半径为17,则扇形的弧长为

【分析】根据弧长公式代入即可.

【解答】解：根据弧长公式可得:

-n兀r_30•兀・1717”

1801806

故答案为：马.

3.（2021•浙江绍兴）如图，正方形ABCD内接于。0,点P在篇上，则/8PC的度数为

（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】根据正方形的性质得到8c弧所对的圆心角为90°,则/BOC=90°,然后根

据圆周角定理求解.

【解答】解：连接02、OC,如图，

:正方形ABCD内接于。。,

前所对的圆心角为90。，

.♦.NBOC=90°,

：.ZBPC=AZBOC=45°.

故选:B.

4.（2021•浙江丽水）如图，A8是。。的直径，弦C£）J_OA于点E,连结。C,OD.若。0

的半径为相，ZAOD=Za,则下列结论一定成立的是（）

A.OE=fn*tanaB.CD=2m9s\na

C.AE=m*cosa

【分析】根据垂径定理和锐角三角函数计算则可进行判断.

【解答】解：是。。的直径，弦CZ5_LOA于点E,.,.OE=』C£>,

在RtZ\E£>0中，OD=m,NAOO=Na,

・・lana=±*,

OE

OE=-_DE_=_CD_,

tanCI2tanCL

故选项4不符合题意：

是O。的直径，CDLOA,

，CD=2DE,

YOO的半径为NAOO=Na,

99

/.DE=ODsina=ms\naf

CD=2DE=2m•sina，

故选项8正确，符合题意；

；cosa=匝，

OD

OE—OD•cosa=m9cosa,

'：AO=DO=mt

.\AE=AO-OE=m-/z?*cosa,

故选项c不符合题意；

VCD—2m,sina,OE=m*cosa,

SACOD=—CDXOE——X2，"•sinaXm*cosa=m2sina,cosa,

22

故选项力不符合题意；

故选：B.

5.（2021•浙江金华）如图，在RtZVIBC中，ZACB=90°,以该三角形的三条边为边向外

作正方形，正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上.记该圆面积为S,△

S,

A8C面积为S2,则一L的值是()

s2

尸、一YE

C.5ixD.H2L

A.B.3n

22

【分析】先设Rt^ABC的三边长为a,b,c,其中c为斜边，设。。的半径为r,根据图

形找出a,b,c,厂的关系，用含c的式子表示S1和S2,即可

告

F----

求出比值.

【解答】解：如图，

设AB=c,AC=b,BC=a,

则a2+b2=cz,①

取AB的中点为0,

•••△ABC是直角三角形，

：.OA=OB=OC,

•..圆心在MN和HG的垂直平分线上，

，。为圆心，

连接0C,0G,0E,W.0DLAC,则0G,0E为半径,

由勾股定理得：

222

r2=(a+y)+(y)=c2+(>|-)'②

由①②得a=b,

・飞奇兀。2,

故选：C.

6.(2021•浙江湖州)如图，已知AB是。。的直径，ZACD是俞所对的圆周角，ZACD

=30°.

(1)求ND48的度数；

(2)过点。作垂足为E,OE的延长线交于点凡若AB=4,求力F的长.

【分析】(1)连接BQ,根据A8是。。的直径，可得NA£)8=90°,进而可以求ND48

的度数；

(2)根据直角三角形3()度角所对直角边等于斜边的一半可得AD的长，再根据垂径定

理和特殊角三角函数值可得EF=DE的值，进而可得DF的长.

【解答】解：(1)如图，连接80，

.,.NB=NACD=30°,

是。。