2024届江苏省苏州市实验中学教育集团高二数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析

2024届江苏省苏州市实验中学教育集团高二数学第二学期期末质量检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（）A． B．C． D．2．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是()A．[－3,3] B．C． D．[－1,1]3．已知集合，集合，则（）A． B．C． D．4．若定义域为的偶函数满足，且当时，，则函数在上的最大值为（）A．1 B． C． D．－5．已知向量，，则（）A． B． C． D．6．已知下列说法：①对于线性回归方程，变量增加一个单位时，平均增加5个单位；②甲、乙两个模型的分别为0.98和0.80，则模型甲的拟合效果更好；③对分类变量X与Y，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大；④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近1．其中说法错误的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知命题若实数满足，则或，，，则下列命题正确的是()A． B． C． D．8．已知直线与双曲线分别交于点，若两点在轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为（）A． B． C．4 D．9．设为方程的解.若，则n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．有个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（）A． B． C． D．11．随机变量，且，则（）A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.8012．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知随机变量，若，则__________．14．引入随机变量后，下列说法正确的有：__________（填写出所有正确的序号）.①随机事件个数与随机变量一一对应；②随机变量与自然数一一对应；③随机变量的取值是实数.15．已知集合，，则_______.16．一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为，则3秒后，这只蚂蚁在x=1处的概率为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知点是双曲线上的点．（1）记双曲线的两个焦点为，若，求点到轴的距离；（2）已知点的坐标为，是点关于原点的对称点，记，求的取值范围．19．（12分）从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.(Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.(ⅰ)分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；(ⅱ)求抽到红球次数的数学期望及方差.(Ⅱ)若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数的分布列.20．（12分）已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求的值.21．（12分）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若在处取得极大值，求的取值范围.22．（10分）如图1，等边中，，是边上的点（不与重合），过点作交于点，沿将向上折起，使得平面平面，如图2所示．（1）若异面直线与垂直，确定图1中点的位置；（2）证明：无论点的位置如何，二面角的余弦值都为定值，并求出这个定值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

设连线的中点为,再表示出动点的坐标,代入圆化简即可.【题目详解】设连线的中点为,则因为动点与定点连线的中点为,故,又在圆上,故,即即故选：B【题目点拨】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.2、D【解题分析】

根据充分、必要条件的定义，可知当时，恒成立，解一元二次不等式即可。【题目详解】依题意可知，当时，恒成立，所以，解得，故选D。【题目点拨】本题主要考查充分、必要条件定义的应用以及恒成立问题的解法。3、C【解题分析】

根据对数函数的定义域，化简集合集合，再利用交集的定义求解即可.【题目详解】因为集合，集合，所以由交集的定义可得，故选C.【题目点拨】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.4、A【解题分析】

根据已知的偶函数以及f（2﹣x）＝﹣f（x）可以求得函数f（x）在[﹣2，2]上的解析式，进而得到g（x）在[﹣2，2]上的解析式，对g（x）进行求导可知g（x）的增减性，通过增减性求得最大值【题目详解】根据,得函数关于点(1,0)对称,且当时,,则时，，所以当时，;又函数为偶函数,所以当时，则,可知当，故在[-2，0)上单调递增,时，在[0,2]上单调递减,故.故选：A【题目点拨】本题考查函数的基本性质：对称性，奇偶性，周期性．同时利用导函数的性质研究了函数在给定区间内的最值问题，是中档题5、C【解题分析】

由已知向量的坐标运算直接求得的坐标．【题目详解】∵向量（-2，﹣1），（3，2），∴.故选C.【题目点拨】本题考查了向量坐标的运算及数乘运算，属于基础题.6、B【解题分析】

根据回归分析、独立性检验相关结论来对题中几个命题的真假进行判断。【题目详解】对于命题①，对于回归直线，变量增加一个单位时，平均减少个单位，命题①错误；对于命题②，相关指数越大，拟合效果越好，则模型甲的拟合效果更好，命题②正确；对于命题③，对分类变量与，随机变量的观测值越大，根据临界值表，则犯错误的概率就越小，则判断“与有关系”的把握程度越高，命题③正确；对于命题④，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系的绝对值越接近于，命题④错误.故选：B.【题目点拨】本题考查回归分析、独立性检验相关概念的理解，意在考查学生对这些基础知识的理解和掌握情况，属于基础题。7、C【解题分析】由题意可知，p是真命题，q是假命题，则是真命题.本题选择C选项.8、A【解题分析】

由直线与双曲线联立，可知x=为其根，整理可得.【题目详解】解：由．，两点在轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，．．故选：．【题目点拨】本题考查双曲线的离心率，双曲线的有关性质和双曲线定义的应用，属于中档题．9、B【解题分析】

由题意可得，令，由，可得，再根据，即可求解的值.【题目详解】有题意可知是方程的解，所以，令，由，所以，再根据，可得，故选B.【题目点拨】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及函数的零点的判定定理的应用，其中解答中合理吧方程的根转化为函数的零点问题，利用零点的判定定理是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.10、C【解题分析】总排法数为，故选C．点睛：本题是排列中的相邻问题，用“捆绑法”求解，解决此问题分两步，第一步把要求相邻的三人捆绑在一起作为一个人，和其他3人看作是4人进行排列，第二步这三人之间也进行排列，然后用乘法原理可得解．11、B【解题分析】分析：由及可得．详解：∵，∴．故选B．点睛：本题考查正态分布，若随机变量中，则正态曲线关于直线对称，因此有，（）．12、C【解题分析】

根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得.【题目详解】依题意正四棱柱的体对角线是其外接球的直径,的中点是球心,如图:依题意设,则正四棱柱的体积为:,解得,所以外接球的直径,所以外接球的半径,则这个球的表面积是.故选C.【题目点拨】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0.8【解题分析】

直接根据正态分布的对称性得到答案.【题目详解】随机变量，故.故答案为：.【题目点拨】本题考查了正态分布，意在考查学生对于正态分布对称性的灵活运用.14、③【解题分析】

要判断各项中对随机变量描述的正误，需要牢记随机变量的定义.【题目详解】引入随机变量,使我们可以研究一个随机实验中的所有可能结果，所以随机变量的取值是实数，故③正确.【题目点拨】本题主要考查随机变量的相关定义，难度不大.15、【解题分析】

集合，是数集，集合的交集运算求出公共部分.【题目详解】，，故答案为：【题目点拨】本题考查集合交集运算.交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.16、【解题分析】

3秒后，这只蚂蚁在x=1处的概率即求蚂蚁三次移动中，向右移动两次，向左移动一次的概率，由次独立重复试验的概率计算即可。【题目详解】3秒后，这只蚂蚁在x=1处的概率即求蚂蚁三次移动中，向右移动两次，向左移动一次的概率，所以【题目点拨】本题主要考查独立重复试验概率的计算，属于基础题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析.(2).【解题分析】分析：（1）证，.即可由线面垂的判定定理得出结论；（2）通过建系，分别求出面DSC和面SCA的法向量，进行计算，观察图中二面角的范围得出余弦值的符号（1）证明：因为平面平面，平面平面，且，所以平面，所以.又因为，，所以，即.因为，且平面，所以平面.（2）解：如图，建立空间直角坐标系，令，则，，，，.易得，，.设为平面的一个法向量，则，取，则，，所以.又因为为平面的一个法向量，所以.所以二面角的余弦值为.点晴：空间立体是高考必考的解答题之一，在做这类题目时，正面题大家需要注意书写的步骤分，判定定理的必要点必须要有；另外在求角等问题时我们可以利用向量法进行解决问题，注意角的范围问题．18、（1）（2）【解题分析】

(1)利用，结合向量知识，可得的轨迹方程，结合双曲线方程，即可得到点到轴的距离．(2)用坐标表示向量，利用向量的数量积建立函数关系式，根据双曲线的范围，可求得的取值范围．【题目详解】(1)设点为，，而，，则，，，．，，即，整理，得①又，在双曲线上，②联立①②，得，即因此点到轴的距离为.(2)设的坐标为，，则的坐标为，，．的取值范围是，．【题目点拨】本题主要考查向量的运算，考查双曲线中点的坐标的求法和范围问题的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19、(1)①;②见解析;(2)见解析.【解题分析】分析：（1）(ⅰ)放回事件是独立重复试验，根据独立重复试验概率公式求结果，(ⅱ)抽到红球次数服从二项分布，根据二项分布期望与方差公式求结果，（2）先确定随机变量取法，再根据组合数求对应概率，列表可得分布列.详解：（1）抽1次得到红球的概率为，得白球的概率为得黑球的概率为①所以恰2次为红色球的概率为抽全三种颜色的概率②～B(3,),则，（2）的可能取值为2，3，4，5,,，即分布列为：2345P点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.20、（1）见解析；（2）【解题分析】

分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式;(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.详解：（1）当时，等价于．设函数，则．当时，，所以在单调递减．而，故当时，，即．（2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i）当时，，没有零点；（ii）当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.21、（1）增区间为，减区间为；（2）【解题分析】

（1）将代入函数解析式，求出，利用导数值判断的单调区间即可；（2