2024届广西南宁市数学高二第二学期期末调研模拟试题含解析

2024届广西南宁市数学高二第二学期期末调研模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，，，，则（）A． B． C． D．2．函数在上有唯一零点，则的取值范围为A． B． C． D．3．下列命题中，真命题是A．若，且，则中至少有一个大于1B．C．的充要条件是D．4．曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A． B． C．和 D．5．已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（）A． B． C． D．6．若a|a|＞b|b|，则下列判断正确的是（）A．a＞b B．|a|＞|b|C．a+b＞0 D．以上都有可能7．在含有2件次品的6件产品中任取3件，恰有1件次品的概率为（）A． B． C． D．8．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．9．已知，，，，且满足，，，对于，，，四个数的判断，给出下列四个命题：①至少有一个数大于1；②至多有一个数大于1；③至少有一个数小于0；④至多有一个数小于0.其中真命题的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③10．若复数的实部与虚部相等，其中是实数，则（）A．0 B．1 C．2 D．11．半径为2的球的表面积为（）A． B． C． D．12．已知集合，，则=（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)14．在复数集，方程的解为________.15．有3个兴趣小组，甲､乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲､乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______．16．已知函数f（x）＝e2x+2f（0）ex﹣f′（0）x，f′（x）是f（x）的导函数，若f（x）≥x﹣ex+a恒成立，则实数a的取值范围为__．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）（本小题满分12分）已知，函数．（I）当为何值时，取得最大值？证明你的结论；（II）设在上是单调函数，求的取值范围；（III）设，当时，恒成立，求的取值范围．18．（12分）已知A，B为椭圆上的两个动点，满足．（1）求证：原点O到直线AB的距离为定值；（2）求的最大值；（3）求过点O，且分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹方程．19．（12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．20．（12分）已知二项式，其展开式中各项系数和为.若抛物线方程为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点.（1）求展开式中最大的二项式系数（用数字作答）.（2）求线段的长度.21．（12分）盒子中放有大小形状完全相同的个球，其中个红球，个白球.（1）某人从这盒子中有放回地随机抽取个球，求至少抽到个红球的概率；（2）某人从这盒子中不放回地从随机抽取个球，记每抽到个红球得红包奖励元，每抽到个白球得到红包奖励元，求该人所得奖励的分布列和数学期望.22．（10分）在极坐标系中，圆的方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）.（1）求圆的标准方程和直线的普通方程；（2）若直线与圆交于两点，且，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据条件，令，代入中并取相同的正指数，可得的范围并可比较的大小；由对数函数的图像与性质可判断的范围，进而比较的大小.【题目详解】因为令则将式子变形可得，因为所以由对数函数的图像与性质可知综上可得故选：A.【题目点拨】本题考查了指数式与对数式大小比较，指数幂的运算性质应用，对数函数图像与性质应用，属于基础题.2、C【解题分析】分析：函数有唯一零点，则即可详解：函数为单调函数，且在上有唯一零点，故，解得故选点睛：函数为一次函数其单调性一致，不用分类讨论，为满足有唯一零点列出关于参量的不等式即可求解。3、A【解题分析】

逐一判断每一个选项的真假得解.【题目详解】对于选项A,假设x≤1，y≤1，所以x+y≤2，与已知矛盾，所以原命题正确.当x=2时，2x=x2，故B错误．当a=b=0时，满足a+b=0，但=﹣1不成立，故a+b=0的充要条件是=﹣1错误，∀x∈R，ex＞0，故∃x0∈R，错误，故正确的命题是A，故答案为：A【题目点拨】（1）本题主要考查命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假，考查充要条件和反证法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）对于含有“至少”“至多”的命题的证明，一般利用反证法.4、C【解题分析】

求导，令，故或，经检验可得点的坐标.【题目详解】因，令，故或，所以或，经检验，点，均不在直线上，故选C．【题目点拨】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．5、D【解题分析】

构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，在不等式两边同时乘以化为，即，然后利用函数在上的单调性进行求解即可.【题目详解】构造函数，其中，则，所以，函数在定义域上为增函数，在不等式两边同时乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集为，故选：D.【题目点拨】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下：（1）根据导数不等式的结构构造新函数；（2）利用导数分析函数的单调性，必要时分析该函数的奇偶性；（3）将不等式变形为，利用函数的单调性与奇偶性求解.6、A【解题分析】

利用已知条件，分类讨论化简可得.【题目详解】因为，所以当时，有，即；当时，则一定成立，而和均不一定成立；当时，有，即；综上可得选项A正确.故选：A.【题目点拨】本题主要考查不等关系的判定，不等关系一般是利用不等式的性质或者特值排除法进行求解，侧重考查逻辑推理的核心素养.7、A【解题分析】

求出基本事件的总数和恰有1件次品包含的基本事件个数即可.【题目详解】在含有2件次品的6件产品中任取3件，基本事件的总数为：恰有1件次品包含的基本事件个数为在含有2件次品的6件产品中任取3件，恰有1件次品的概率为故选：A【题目点拨】本题考查的是古典概型及组合的知识，较简单.8、C【解题分析】

由题意结合正态分布的对称性得到关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.【题目详解】随机变量服从正态分布，则正态分布的图象关于直线对称，结合有，解得：.本题选择C选项.【题目点拨】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.9、A【解题分析】

根据对，，，取特殊值，可得②，④不对，以及使用反证法，可得结果.【题目详解】当，时，满足条件，故②，④为假命题；假设，由，，得，则，由，所以矛盾，故①为真命题，同理③为真命题．故选：A【题目点拨】本题主要考查反证法，正所谓“正难则反”，熟练掌握反证法的证明方法，属基础题.10、D【解题分析】分析：根据复数乘法运算法则化简复数，结合已知条件，求出的值，代入后求模即可得到答案.详解：复数的实部与虚部相等，又有，解得，.故选D.点睛：本题考查复数代数形式的乘法运算和复数模的求法，属于基础题.11、D【解题分析】

根据球的表面积公式，可直接得出结果.【题目详解】因为球的半径为，所以该球的表面积为.故选：D【题目点拨】本题主要考查球的表面积，熟记公式即可，属于基础题型.12、B【解题分析】

利用集合的基本运算定义即可求出答案【题目详解】已知集合，，利用集合的基本运算定义即可得：答案：B【题目点拨】本题考查集合的基本运算，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】因为，所以令，解得，所以=15，解得.考点：本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档.14、【解题分析】

设复数是方程的解，根据题意列出等式，求解，即可得出结果.【题目详解】设复数是方程的解，则，即，所以，解得，所以.故答案为【题目点拨】本题主要考查在复数集上求解方程，熟记复数运算法则即可，属于常考题型.15、【解题分析】试题分析：由题意可知：.考点：随机事件的概率.16、（﹣∞，0]．【解题分析】

令，得到，再对求导，然后得到，令，得到，再得到，然后对，利用参变分离，得到，再利用导数求出的最小值，从而得到的取值范围.【题目详解】因为所以令得，即，而令得，即所以则整理得设，则令，则所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以所以的范围为，故答案为.【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了转化思想和函数思想，属中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).【解题分析】试题分析：（I）求得f’(x)=[-x2+2(a-1）x+2a]ex，取得-x2+2(a-1)x+2a=0的根，即可得到数列的单调性，进而求解函数的最大值.（II）由（I）知，要使得在[-1,1]上单调函数，则：，即可求解a的取值范围；（III)由，分类参数得，构造新函数（x≥1)，利用导数求得函数h(x)的单调性和最值，即得到a的取值范围.试题解析：（I）∵，，∴，由得，则，∴在和上单调递减，在上单调递增，又时，且在上单调递增，∴，∴有最大值，当时取最大值．（II）由（I）知：，或，或；（III）当x≥1时f(x)≤g(x)，即（-x2+2ax)ex，，令，则，∴h(x)在上单调递增，∴x≥1时h(x)≥h(1)=1，，又a≥0所以a的取值范围是.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力．导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(4)考查数形结合思想的应用．18、（1）证明见解析；（2）；（3）．【解题分析】

（1）当直线AB的斜率不存在时，将代入椭圆方程可得，即可得原点O到直线AB的距离为；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，，与椭圆方程联立，可得，又，则，利用韦达定理代入化简可得，则原点O到直线AB的距离，故原点O到直线AB的距离为定值；（2）由（1）可得，又且，即可得的最大值；（3）如图所示，过点O，且分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹满足：，，可得P，A，B三点共线.由（1）可知：原点O到直线AB的距离为定值，即可得点的轨迹方程.【题目详解】（1）证明：当直线AB的斜率不存在时，由代入椭圆方程可得：，解得，此时原点O到直线AB的距离为．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，．联立，化为，，则，，．，化为，化为，化为，原点O到直线AB的距离．综上可得：原点O到直线AB的距离为定值．（2）解：由（1）可得，，，又，当且仅当时取等号．的最大值为．（3）解：如图所示，过点O，且分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹满足：，．因此P，A，B三点共线．由（1）可知：原点O到直线AB的距离为定值．分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹方程为．【题目点拨】本题主要考查了椭圆与圆的标准方程及其性质，点到直线的距离公式，基本不等式的运用，考查了逻辑推理和运算求解能力，属于难题.19、（1）单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）最大值为6，,最小值为【解题分析】

（1）求出定义域和导数，由导数大于零，可得增区间，由导数小于零，可得减区间。（2）由（1）可得函数在区间上的单调性，由单调性即可求出极值，与端点值进行比较，即可得到函数在区间上的最大值和最小值。【题目详解】（1）函数的定义域为，由得令得，当和时，；当时，，因此，的单调递增区间为和，单调递减区间．（2）由（1），列表得单调递增极大值单调递减极小值单调递增因为，，，所以在区间上的最大值为6，,最小值为．【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调区间和最值问题，考查学生的基本运算能力，属于基础题。20、(1)35(2)4【解题分析】分析：（1）当n为奇数时，二项式系数在时取最大，即在第4、5项取最大（2）各项系数和为，求，解，利用弦长公式求解。详解：（1）二项式系数分别为其中最大.最大为35（2）令，有抛物线方程为过抛物线的焦点且倾斜角为，则直线方程为，令联立：，，点睛：二项式系数最大项满足以下结论：当n为偶数时，二项式系数在时取最大，即在第项取最大。当n为奇数时，二项式系数在时取最大，即在第或项取最大。联立直线与椭圆方程根据韦达定理列出，的关系式，利用弦长公式。21、（1）