黑龙江省哈尔滨市南岗区三中2024届数学高二第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

黑龙江省哈尔滨市南岗区三中2024届数学高二第二学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。若射线与曲线和曲线分别交于两点（除极点外），则等于（）A． B． C．1 D．2．定义运算，则函数的图象是（）．A． B．C． D．3．已知曲线，给出下列命题：①曲线关于轴对称；②曲线关于轴对称；③曲线关于原点对称；④曲线关于直线对称；⑤曲线关于直线对称，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图所示，阴影部分的面积为（）A． B．1 C． D．5．下列四个不等式：①；②；③；④，其中恒成立的个数是()A．1 B．2 C．3 D．46．如果函数在上的图象是连续不断的一条曲线，那么“”是“函数在内有零点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．角的终边上一点，则（）A． B． C．或 D．或8．若cos(α+π4)=1A．718 B．23 C．4-9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5}，B={x∈R|x≥3}，则A∩CA．{4,5} B．{3,4,5} C．{0,1,2} D．{0,1,2,3}11．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则12．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（）A．300种 B．150种 C．120种 D．90种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设,则等于_________.14．若函数是偶函数，则实数的值为______.15．中，，则边上中线的长为_____．16．的展开式中的系数是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线与抛物线交于，两点，点为线段的中点.（I）当直线经过抛物线的焦点，时，求点的横坐标；（Ⅱ）若，求点横坐标的最小值，井求此时直线的方程.18．（12分）已知函数.[来源:]（1）当时，解不等式；（2）若，求实数的取值范围.19．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程是．（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）设直线与曲线交于，两点，求的面积．20．（12分）在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地.某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率（），设民宿租金为（单位：元/日），得到如图所示的数据散点图.（1）若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡季内的三天中至少有2天闲置的概率.（2）①根据散点图判断，与哪个更适合于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求回归方程；②若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出的日常支出成本.试用①中模型进行分析，旅游淡季民宿租金约定为多少元时，该民宿在这280天的收益达到最大？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；.参考数据：记，，，，，，，，，.21．（12分）一辆汽车前往目的地需要经过个有红绿灯的路口.汽车在每个路口遇到绿灯的概率为（可以正常通过），遇到红灯的概率为（必须停车）.假设汽车只有遇到红灯或到达目的地才停止前进，用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值.（1）求汽车在第个路口首次停车的概率；（2）求的概率分布和数学期望.22．（10分）已知复数为虚数单位.（1）若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围；（2）若，求的共轭复数.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

把分别代入和，求得的极经，进而求得，得到答案．【题目详解】由题意，把代入，可得，把代入，可得，结合图象，可得，故选A．【题目点拨】本题主要考查了简单的极坐标方程的应用，以及数形结合法的解题思想方法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2、A【解题分析】

由已知新运算的意义就是取得中的最小值，因此函数，只有选项中的图象符合要求，故选A.3、C【解题分析】

根据定义或取特殊值对曲线的对称性进行验证，可得出题中正确命题的个数.【题目详解】在曲线上任取一点，该点关于轴的对称点的坐标为，且，则曲线关于轴对称，命题①正确；点关于轴的对称点的坐标为，且，则曲线关于轴对称，命题②正确；点关于原点的对称点的坐标为，且，则曲线关于原点对称，命题③正确；在曲线上取点，该点关于直线的对称点坐标为，由于，则曲线不关于直线对称，命题④错误；在曲线上取点，该点关于直线的对称点的坐标为，由于，则曲线不关于直线对称，命题⑤错误.综上所述，正确命题的个数为.故选：C.【题目点拨】本题考查曲线对称性的判定，一般利用对称性的定义以及特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.4、B【解题分析】如图所示轴与函数围成的面积为,因此故选B.5、C【解题分析】

依次判断每个选项的正误，得到答案.【题目详解】①，当时等号成立，正确②，时不成立，错误③，时等号成立.正确④，时等号成立，正确故答案选C【题目点拨】本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.6、A【解题分析】

由零点存在性定理得出“若，则函数在内有零点”举反例即可得出正确答案.【题目详解】由零点存在性定理可知，若，则函数在内有零点而若函数在内有零点，则不一定成立，比如在区间内有零点，但所以“”是“函数在内有零点”的充分而不必要条件故选：A【题目点拨】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.7、D【解题分析】

根据三角函数的定义求出，注意讨论的正负．【题目详解】的终边上一点，则，，所以.故应选D.【题目点拨】本题考查三角函数的定义，解题时要注意分类讨论，即按参数的正负分类．8、C【解题分析】分析：利用同角三角函数的基本关系式sin(π4+α)详解：因为cos(则0<π4+α<则sin[(故选C.点睛：本题主要考查了同角三角函数的基本关系式，以及两角差的正弦函数公式的应用，其中熟记三角恒等变换的公式是化简求值的关键，着重考查了推理与运算能力.9、D【解题分析】

试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D．考点：利用导数研究函数的单调性.10、C【解题分析】

通过补集的概念与交集运算即可得到答案.【题目详解】根据题意得CUB=x|x<3，故【题目点拨】本题主要考查集合的运算，难度很小.11、C【解题分析】

通过作图的方法，可以逐一排除错误选项.【题目详解】如图，相交，故A错误如图，相交，故B错误D.如图，相交，故D错误故选C.【题目点拨】本题考查直线和平面之间的位置关系，属于基础题.12、B【解题分析】分析：根据题意，先选后排.①先选，将5名教师分成三组，有两种方式，即1，1，3与1，2，2，注意去除重复部分；②后排，将分好的三组全排列，即可得到答案.详解：根据题意：分两步计算（1）将5名教师分成三组，有两种方式即1，1，3与1，2，2；①分成1，1，3三组的方法有②分成1，2，2三组的方法有一共有种的分组方法；（2）将分好的三组全排列有种方法.则不同的派出方法有种.故选B.点睛：对于排列组合混合问题，可先选出元素，再排列。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】设，则，则．应填答案。14、【解题分析】

根据偶函数的定义，先得到，化简整理，得到，即可求出结果.【题目详解】因为函数是偶函数，所以，即，即，整理得，所以.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查由函数奇偶性求参数的问题，熟记偶函数的概念即可，属于基础题型.15、【解题分析】

通过余弦定理可以求出的长，而，用余弦定理求出的表达式，代入上式可以直接求出的长．【题目详解】由余弦定理可知：,设，由余弦定理可知：而，即解得，故边上中线的长为．【题目点拨】本题考查了利用余弦定理求三角形中线长的问题．本题也可以应用中点三角形来求解，过程如下：延长至，使得,易证出,,由余弦定理可得：.．16、243【解题分析】分析：先得到二项式的展开式的通项，然后根据组合的方式可得到所求项的系数．详解：二项式展开式的通项为，∴展开式中的系数为.点睛：对于非二项式的问题，解题时可转化为二项式的问题处理，对于无法转化为二项式的问题，可根据组合的方式“凑”出所求的项或其系数，此时要注意考虑问题的全面性，防止漏掉部分情况．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）2；（Ⅱ），或.【解题分析】

（Ⅰ）设，，由抛物线的定义得出，再利用中点坐标公式可求出线段的中点的横坐标；（Ⅱ）设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用弦长公式并结合条件，得出，再利用韦达定理得出点的横坐标关于的表达式，可求出点的横坐标的最小值，求出此时和的值，可得出直线的方程．【题目详解】（Ⅰ）设，，所以，所以；（Ⅱ）设直线，由，得，所以，.所以.所以，所以，所以，此时，，所以或.【题目点拨】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的弦长的最值问题，解决这类问题的常用办法就是将直线与圆锥曲线的方程联立，利用韦达定理设而不求的思想进行求解，难点在于化简计算，属于中等题．18、【解题分析】试题分析：（1）当时，，根据绝对值的几何意义按，，分类讨论得到：，然后分区间解不等式或或，得到的范围分别为或或，所以；（2）根据绝对值不等式的性质：，，则由，转化为，所以或，则或。试题解析：（1）当时，，当时，，所以。故；当时，恒成立；当时，，所以。故。综上可知。（2）∵，由题意有，∴，即。考点：1.不等式的解法；2.不等式的性质。19、（1）曲线的直角坐标方程为；直线的普通方程为；（2）.【解题分析】

（1）由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出曲线的直角坐标方程；根据直线的参数方程，消去参数，即可得到普通方程；（2）先由题意，先设，对应的参数分别为，，将直线的参数方程化为，代入，根据参数下的弦长公式求出，再由点到直线距离公式，求出点到直线的距离，进而可求出三角形的面积.【题目详解】（1）由得，即，即曲线的直角坐标方程为；由消去可得：，即直线的普通方程为；（2）因为直线与曲线交于，两点，设，对应的参数分别为，，由可化为，代入得，，则有，，因此，又点到直线的距离为，因此的面积为.【题目点拨】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数下的弦长问题，属于常考题型.20、（1）（2）①更适合，②181元【解题分析】

（1）三天中至少有2天闲置的即为3天中有两天闲置或者3天都闲置，又每天的出租率为0.2，根据二项分布的相关知识即可求出概率；（2）①根据散点图的分布情况，各散点连线更贴近的图象，故的拟合效果更好，代入公式求出回归方程即可；②将收益表示为租金的函数，用函数单调性处理即可．【题目详解】（1）三天中至少有2天闲置的反面为3天中最多有一天能够租出，又每天的出租率为0.2，所以3天中至少有2天闲置的概率：.（2）①根据散点图的分布情况，各散点连线更贴近的图象，故的拟合效果更好，依题意，，，所以，所以，所以回归方程为.②设旅游淡季民宿租金为，则淡季该民宿的出租率，所以该民宿在这280天的收益：，所以，令得，，所以，且当时，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，存在最大值，所以旅游淡季民宿租金约定为181元时，该民宿在这280天的收益达到最大.【题目点拨】本题考查线性回归方程，二项分布及其概率计算公式，考查分析求解及转化能力，属于中等题.21、（1）;（2）分布列见解析，数学期望.【解题分析】

（1）汽车在第3个路口首次停车是指汽车在前两个路口都遇到绿灯，在第3个路口遇到绿灯，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出汽车在第3个路口首次停车的概率．（2）设前往目的地途中遇到绿灯数为，则，用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值．的可能取值为0，2，4，，，，由此能求出的概率分布列和数学期望．【题目详解】解：（1）由题意知汽车在前两个路口都遇到绿灯，在第3个路口遇到绿灯，汽车在第3个路口首次停车的概率为：．（2）设前往目的地途中遇到绿灯数为，则，用随机变量表示前往目的地