湖北省荆州市公安县第三中学2024届高二数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

湖北省荆州市公安县第三中学2024届高二数学第二学期期末教学质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作，若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为（）A． B． C． D．2．已知函数的图象向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数的图象，则在下列区间上为单调递减的区间是（）A． B． C． D．3．已知直线l1：与直线l2：垂直，则的值为（）A．﹣2 B． C．2 D．4．若函数f(x)=(a∈R)是奇函数，则a的值为（）A．1 B．0 C．－1 D．±15．设函数，则的图象大致为（）A． B．C． D．6．设随机变量，若，则等于（）A． B． C． D．7．某同学将收集到的6组数据对，制作成如图所示的散点图（各点旁的数据为该点坐标），并由这6组数据计算得到回归直线：和相关系数．现给出以下3个结论：①；②直线恰过点；③．其中正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③8．设0<p<1，随机变量X，Y的分布列分别为（）X123Pp1-pp-Y123Pp1-p当X的数学期望取得最大值时，Y的数学期望为（）A．2 B．3316 C．55279．用反证法证明命题“若，则方程至少有一个实根”时，应假设（）A．方程没有实根B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根10．设，，，则A． B． C． D．11．已知数列为等差数列，且，则的值为A． B．45 C． D．12．如图，某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天恰好为连续天的概率是__________．14．在展开式中，常数项为_____________.（用数字作答）15．是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数____________.16．若，且，那么__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了月日至月日的每天昼夜温差与实验室每天每颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期月日月日月日月日月日温差发芽数（颗）该农科所确定的研究方案是：先从这组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再对被选取的组数据进行检验.（1）求选取的组数据恰好是不相邻两天数据的概率；（2）若选取的是月日与月日的数据，请根据月日至月日的数据求出关于的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗.则认为得到的线性回归方程是可靠的.试问（2）中所得到的线性回归方程是可靠的吗？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.18．（12分）已知函数.(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)若直线为函数的切线，求的最小值.19．（12分）一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸如图所示单位：，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高，此车是否能通过隧道？并说明理由．20．（12分）已知数列满足：，（R，N*）．（1）若，求证：；（2）若，求证：．21．（12分）为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：支付方式微信支付宝购物卡现金人数200150150100现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率.（1）求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率；（2）记X为三人中使用支付宝支付的人数，求X的分布列及数学期望.22．（10分）已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据可画出满足题意的点所构成的平面区域；分别求解区域各个构成部分的面积，加和得到结果.【题目详解】由定义可知，若曲线为边长为的等边三角形，则满足题意的点构成如下图所示的阴影区域其中，，，，，，又又阴影区域面积为：即点集所表示的图形的面积为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查新定义运算的问题，关键是能够根据定义，找到距离等边三角形三边和顶点的最小距离小于等于的点所构成的区域，易错点是忽略三角形内部的点，造成区域缺失的情况.2、A【解题分析】

先利用辅助角公式将函数化为的形式，再写出变换后的函数,最后写出其单调递减区间即可．【题目详解】的图象向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍变换后，在区间上单调递减故选A【题目点拨】本题考查三角函数变换，及其单调区间．属于中档题．3、A【解题分析】

根据两直线垂直的条件，得到，即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，直线l1：与直线l2：垂直，则满足，解得，故选A.【题目点拨】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线垂直的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、B【解题分析】

根据奇函数的性质，利用，代入即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，函数是定义域R上的奇函数，根据奇函数的性质，可得，代入可得，解得，故选B.【题目点拨】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5、A【解题分析】

根据可知函数为奇函数，根据奇函数性质，排除；根据时，的符号可排除，从而得到结果.【题目详解】，为上的奇函数，图象关于原点对称，且，可排除，；又，当时，，当时，，可排除，知正确.故选：.【题目点拨】本题考查函数图象的辨析问题，解决此类问题通常采用排除法来进行求解，排除依据通常为：奇偶性、特殊值符号和单调性.6、C【解题分析】由于,则由正态分布图形可知图形关于对称，故，则，故选C.7、A【解题分析】

结合图像，计算，由求出，对选项中的命题判断正误即可得出结果.【题目详解】由图像可得，从左到右各点是上升排列的，变量具有正相关性，所以，①正确；由题中数据可得:，，所以回归直线过点，②正确；又，③错误.故选A【题目点拨】本题主要考查回归分析，以及变量间的相关性，熟记线性回归分析的基本思想即可，属于常考题型.8、D【解题分析】

先利用数学期望公式结合二次函数的性质得出EX的最小值，并求出相应的p，最后利用数学期望公式得出EY的值。【题目详解】∵EX=p∴当p=14时，EX取得最大值.此时EY=-2p【题目点拨】本题考查数学期望的计算，考查二次函数的最值，解题的关键就是数学期望公式的应用，考查计算能力，属于中等题。9、A【解题分析】分析：直接利用命题的否定写出假设即可,至少的反面是一个都没有。详解：用反证法证明命题“若，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是方程没有实根．故选：A．点晴：本题主要考察反证法，注意反证法证明问题时，反设实际是命题的否定10、D【解题分析】

依换底公式可得，从而得出，而根据对数函数的单调性即可得出，从而得出，，的大小关系．【题目详解】由于，；，又，．故选．【题目点拨】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小以及换底公式的应用．11、B【解题分析】由已知及等差数列性质有，故选B.12、C【解题分析】

根据三视图知几何体为上下底面为等腰直角三角形，高为的三棱台，计算体积得到答案.【题目详解】根据三视图知：几何体为上下底面为等腰直角三角形，高为的三棱台，故.故选：.【题目点拨】本题考查了三视图求体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】试题分析：考查古典概型的计算公式及分析问题解决问题的能力.从个元素中选个的所有可能有种，其中连续有共种，故由古典概型的计算公式可知恰好为连续天的概率是.考点：古典概型的计算公式及运用.14、【解题分析】

求出展开式的通项，利用的指数为零求出参数的值，再将参数代入通项即可得出展开式中常数项的值.【题目详解】展开式的通项为.令，解得.因此，展开式中的常数项为.故答案为：.【题目点拨】本题考查二项展开式中常数项的计算，一般利用展开式通项来求解，考查计算能力，属于基础题.15、2【解题分析】

化简复数，实部为0，计算得到答案.【题目详解】为纯虚数故答案为2【题目点拨】本题考查了复数的计算，属于简单题.16、1【解题分析】分析：根据条件中所给的二项式定理的展开式，写出a和b的值，根据这两个数字的比值，写出关于n的等式，即方程，解方程就可以求出n的值．详解：∵（x+1）n=xn+…+ax3+bx2+cx+1（n∈N*），∴a=Cn3，b=Cn2，∵a：b=3：1，∴a：b=Cn3：Cn2=3：1，∴：=3：1，∴n=1．故答案为：1点睛：本题是考查二项式定理应用，考查二项式定理的二项式系数，属于基础题，解题的关键是利用通项公式确定a与b的值．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）见解析【解题分析】分析：（1）根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是可能出现的，满足条件的事件包括的基本事件有6种．根据等可能事件的概率做出结果．

（2）根据所给的数据，先求出，，即求出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．

（3）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的．详解：(1)设“选取的2组数据恰好是不相邻两天的数据”为事件A.从5组数据中选取2组数据共有10种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，其中数据为12月份的日期数．每种情况都是等可能出现的，事件A包括的基本事件有6种．∴.∴选取的2组数据恰好是不相邻两天数据的概率是.(2)由数据可得，.∴，.∴y关于x的线性回归方程为.(3)当x＝10时，，|22－23|<2；同理，当x＝8时，，|17－16|<2.∴(2)中所得到的线性回归方程是可靠的．点睛：本题考查等可能事件的概率，考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，考查估计验算所求的方程是否是可靠的，属中档题.．18、(1)见解析.(2).【解题分析】

（1）由即为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可得到结论；（2）求得函数的导数，设出切点，可得的值和切线方程，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解．【题目详解】(Ⅰ)证明：整理得令，当，，所以在上单调递增；当，，所以在上单调递减，所以，不等式得证.(Ⅱ)，设切点为，则，函数在点处的切线方程为，令，解得，所以，令，因为，，所以，，当，，所以在上单调递减；当，，所以在上单调递增，因为，.【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．19、见解析【解题分析】

建立直角坐标系，得到A、B的坐标，设抛物线方程为，并求得其方程，依题意，集装箱上表面距抛物线型隧道拱顶，从而设抛物线上点D的坐标为，计算即可判断．【题目详解】以抛物线的上顶点为原点，建立坐标系，则，．设抛物线方程为，将B点坐标代入，得，．抛物线方程为．车与箱共高集装箱上表面距抛物线型隧道拱顶．设抛物线上点D的坐标为，则，，，故此车不能通过隧道．【题目点拨】本题考查抛物线的简单性质，求得抛物线方程是关键，考查分析推理与运算能力，属于中档题．20、（1）见解析（2）见解析【解题分析】

（1）用数学归纳法证明结论即可；（2）因为（N*），则，然后用反证法证明当时有矛盾，所以原不等式成立即可.【题目详解】（1）当时，．下面用数学归纳法证明：①当时，，结论成立；②假设当时，有成立，则当时，因，所以时结论也成立．综合①②可知（N*）成立．（2）因为（N*），则，若，则当时，，与矛盾．所以．【题目点拨】本题考查数列的递推公式、数学归纳法证明、反证法等知识，属于中档题.21、（1）55108【解题分析】

（1）根据表格，得出顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率，之后应用互斥事件有一个发生的概率和独立事件同时发生的概率公式求得结果；（2）利用二项分布求得结果.【题目