2024届上海市市北中学数学高二第二学期期末检测模拟试题含解析

2024届上海市市北中学数学高二第二学期期末检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则()A． B． C． D．2．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．3．设函数，则满足的x的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知直线，，点为抛物线上的任一点，则到直线的距离之和的最小值为（）A．2 B． C． D．5．在平面直角坐标系中，，，，，若，，则的最小值是（）A.B.C.D.6．若、、，且，则下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．7．下列命题中不正确的是（）A．空间中和两条相交直线都平行的两个平面平行B．空间中和两条异面直线都平行的两个平面平行C．空间中和两条平行直线都垂直的两个平面平行D．空间中和两条平行直线都平行的两个平面平行8．设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图像可能为()A． B．C． D．9．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则A．2016 B．2017 C．2018 D．201910．用反证法证明命题“设为实数，则方程至多有一个实根”时，要做的假设是A．方程没有实根 B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根 D．方程恰好有两个实根11．已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是（）．A． B． C． D．12．《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中中有很多对几何体体积的研究．已知某囤积粮食的容器是由同底等高的一个圆锥和一个圆柱组成,若圆锥的底面积为、高为,则该容器外接球的表面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的导函数__________．14．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球的条件下，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.其中所有正确结论的序号是________．15．某校高一年级有名学生，其中女生人，按男女比例用分层抽样的方法从该年级学生中抽取一个容量为的样本，则应抽取的男生人数是__________．16．已知棱长为1的正四面体，的中点为D，动点E在线段上，则直线与平面所成角的取值范围为____________；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）选修4-5：不等式选讲设函数.（1）若，求函数的值域；（2）若，求不等式的解集.18．（12分）在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.点为曲线上的动点，求点到直线距离的最大19．（12分）设，函数.（1）若，极大值；（2）若无零点，求实数的取值范围；（3）若有两个相异零点，，求证：.20．（12分）年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过元（含元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸到个红球，享受免单优惠；若摸出个红球则打折，若摸出个红球，则打折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，有放回每次摸取球，连摸次，每摸到次红球，立减元.（1）若两个顾客均分别消费了元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？21．（12分）假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁，保险公司要赔偿10万元；若投保人活过65岁，则保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付4万元已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为，随机抽取4个投保人，设其中活过65岁的人数为，保险公司支出给这4人的总金额为万元(参考数据：)(1)指出X服从的分布并写出与的关系；(2)求.(结果保留3位小数)22．（10分）已知椭圆（a＞b＞0）经过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A（0，b），B（a，0），点P是椭圆C上位于第三象限的动点，直线AP、BP分别将x轴、y轴于点M、N，求证：|AN|•|BM|为定值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

先求出集合M，由此能求出M∩N．【题目详解】则故选：C【题目点拨】本题考查交集的求法，考查交集定义、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2、B【解题分析】

先判断双曲线的焦点位置，然后得到渐近线方程的一般形式，再根据的值直接写出渐近线方程.【题目详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为，又因为，所以渐近线方程为.故选：B.【题目点拨】本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度较易.双曲线的实轴长为，虚轴长为，若焦点在轴上，则渐近线方程为，若焦点在轴上，则渐近线方程为；求解双曲线渐近线方程的另一种方法：直接将双曲线方程中的变为，由此得到的关系式即为渐近线方程.3、A【解题分析】

讨论和两种情况，分别解不等式得到答案.【题目详解】当时，，故，即；当时，，解得，即.综上所述：.故选：.【题目点拨】本题考查了分段函数不等式，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握.4、C【解题分析】分析：由抛物线的定义可知P到直线l1，l1的距离之和的最小值为焦点F到直线l1的距离．详解：抛物线的焦点为F（﹣1，0），准线为l1：x=1．∴P到l1的距离等于|PF|，∴P到直线l1，l1的距离之和的最小值为F（﹣1，0）到直线l1的距离．故选：C．点睛：本题主要考查了抛物线定义的应用，属于基础题.5、A【解题分析】试题分析：设P（x,y）,则，，所以，所以P点轨迹为，根据条件，可以整理得到：，所以M,Q,N三点共线，即Q点在直线MN上，由M（8，0），N（0，8）可知Q点在直线上运动，所以的最小值问题转化为圆上点到直线的最小距离，即圆心到直线的距离减去圆的半径，。考点：1.平面向量的应用；2.直线与圆的位置关系。6、D【解题分析】

对，利用分析法证明；对，不式等两边同时乘以一个正数，不等式的方向不变，乘以0再根据不等式是否取等进行考虑；对，考虑的情况；对，利用同向不等式的可乘性.【题目详解】对，，因为大小无法确定，故不一定成立；对，当时，才能成立，故也不一定成立；对，当时不成立，故也不一定成立；对，，故一定成立.故选：D.【题目点拨】本题考查不等式性质的运用，考查不等式在特殊情况下能否成立的问题，考查思维的严谨性.7、D【解题分析】

作出几何体，根据图像，结合线面、面面间的关系，即可得出结果.【题目详解】如下图，m∥n，且m，n与底面α、左面β都平行，但α、β相交，所以，D不正确．由面面平行的判定可知A、B、C都正确．故选D【题目点拨】本主要考查空间中，直线、平面间的位置关系，熟记线面、面面位置关系，即可求出结果.8、D【解题分析】

通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案.【题目详解】由函数的图象可知，当时，单调递减，所以时，，符合条件的只有D选项，故选D.【题目点拨】本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题.9、C【解题分析】分析：对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即，利用倒序相加法即可得到结论.详解：函数，函数的导数，，由得，解得，而，故函数关于点对称，，故设，则，两式相加得，则，故选C.点睛：本题主要考查初等函数的求导公式，正确理解“拐点”并利用“拐点”求出函数的对称中心是解决本题的关键，求和的过程中使用了倒序相加法，属于难题.10、D【解题分析】

反证法证明命题时，首先需要反设，即是假设原命题的否定成立.【题目详解】命题“设为实数，则方程至多有一个实根”的否定为“设为实数，则方程恰好有两个实根”；因此，用反证法证明原命题时，只需假设方程恰好有两个实根.故选D【题目点拨】本题主要考查反证法，熟记反设的思想，找原命题的否定即可，属于基础题型.11、D【解题分析】

首先需要根据方程特点构造函数,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数在上的零点个数，再转化成方程解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.【题目详解】因为函数是偶函数，，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当时，，所以方程可以化为：，即，记，，设直线与图像相切时的切点为，则切线方程为，过点，所以或（舍弃），所以切线的斜率为，由图像可以得.选D.【题目点拨】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.属中档题.12、C【解题分析】

首先求出外接球的半径，进一步利用球的表面积公式的应用求出结果【题目详解】根据已知条件，圆锥的底面积为8π，所以π•r2＝8π，解得圆锥的底面半径为，由题外接球球心是圆柱上下底面中心连线的中点，设外接球半径为R,则，解得所以表面积．故选C．【题目点拨】本题考查的知识要点：组合体的外接球的半径的求法及应用，球的表面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：根据导数运算法则直接计算.详解：点睛：本题考查基本初等函数导数，考查基本求解能力.14、①②④.【解题分析】

①根据古典概型概率公式结合组合知识可得结论；②根据二项分布的方差公式可得结果；③根据条件概率进行计算可得到第二次再次取到红球的概率；④根据对立事件的概率公式可得结果.【题目详解】①从中任取3个球，恰有一个白球的概率是，故①正确；②从中有放回的取球次，每次任取一球，取到红球次数，其方差为，故②正确；③从中不放回的取球次，每次任取一球，则在第一次取到红球后，此时袋中还有个红球个白球，则第二次再次取到红球的概率为，故③错误；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次取到红球的概率为，至少有一次取到红球的概率为，故④正确，故答案为①②④.【题目点拨】本题主要考查古典概型概率公式、对立事件及独立事件的概率及分二项分布与条件概率，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.15、【解题分析】

先求出男生的抽样比,再乘以样本容量即可得到应抽取的男生人数.【题目详解】因为某校高一年级有名学生，其中女生人,所以其中男生有180-80=100人,所以男生抽样比为,若抽取一个容量为的样本,则应抽取的男生人数是人.故答案为:25.【题目点拨】本题考查了分层抽样,属于基础题.16、；【解题分析】

当与重合时，直线与平面所成角为0最小，当从向移动时，直线与平面所成角逐渐增大，到达点时角最大．【题目详解】如图，是在底面上的射影，是在底面上的射影，由于是中点，则是中点，正四面体棱长为1，则，，，，，∴，，∴．．∴所求角的范围是．故答案为．【题目点拨】本题考查直线与平面所成的角，解题时首先要作出直线与平面所成的角，同时要证明所作角就是要求的角，最后再计算，即一作二证三计算．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2).【解题分析】分析：（1）当时，，根据绝对值不等式的几何意义即可求出函数的值域；（2）当时，不等式即，对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果.详解：（1）当时，∵∴，函数的值域为（2）当时，不等式即①当时，得，解得，∴②当时，得。解得，∴③当时，得，解得，所以无解综上所述，原不等式的解集为点睛：绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．18、【解题分析】

将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，运用点到直线的距离公式计算出最大值【题目详解】化简为，则直线的直角坐标方程为.设点的坐标为，得到直线的距离，即，所以：.【题目点拨】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，运用点到直线的距离公式计算出最值问题，较为基础，需要掌握解题方法19、（1）；（2）；（3）证明见解析.【解题分析】分析：（1），根据导数的符号可知的极大值为；（2），就分类讨论即可；（3）根据可以得到，因此原不等式的证明可化为，可用导数证明该不等式.详解:（1）当时，，当时，，当时，，故的极大值为.（2），①若时，则，是区间上的增函数，∵，，∴，函数在区间有唯一零点；②若，有唯一零点；③若，令，得，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；故在区间上，的极大值为，由于无零点，须使，解得，故所求实数的取值范围是．（3）由已知得，所以，故等价于即．不妨设，令，，则，在上为单调增函数，所以即，也就是，故原不等式成立．点睛：导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．而要证明零点满足的不等式，则需要根据零点满足的等式构建新的目标等式，从而把要求证的不等式转化为易证的不等式．20、（1）；（2）选择第一种抽奖方案更合算.【解题分析】

（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率；（2）选择方案一，计算所付款金额的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额的数学期望值，比较得出结论.【题目详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，所以两位顾客均享受到免单的概率为；（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.，，，.故的分布列为，所以（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，由已知可得，故，所以（元）.因为，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.【题目点拨】本题考