2024届辽宁省沈阳市五校协作体高二数学第二学期期末考试模拟试题含解析

2024届辽宁省沈阳市五校协作体高二数学第二学期期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球数的标准差为0.3，下列说法中，正确的个数为（）①甲队的进球技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏.A．1 B．2 C．3 D．42．函数在上的最小值和最大值分别是A． B． C． D．3．对任意复数，为虚数单位，则下列结论中正确的是（）A． B． C． D．4．已知函数与（且）的图象关于直线对称，则“是增函数”的一个充分不必要条件是()A． B． C． D．5．已知，，则等于（）A． B． C． D．16．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则A．2016 B．2017 C．2018 D．20197．已知正项等差数列满足：，等比数列满足：，则（）A．-1或2 B．0或2 C．2 D．18．已知函数有两个不相同的零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．9．一盒中装有5张彩票，其中2张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则()A． B． C． D．10．已知三角形的面积是，，，则b等于()A．1 B．2或1 C．5或1 D．或111．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（）A．20种 B．30种 C．40种 D．60种12．已知为虚数单位，则复数=（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．抛物线上的点到准线的距离为__________．14．已知抛物线上的点，则到准线的距离为________15．若直角坐标平面内两点满足点都在函数的图像上，且点关于原点对称，则称是函数一个“姊妹点对”（与可看作同一“姊妹点对”）.已知则的“姊妹点对”有_______个.16．已知复数，且是实数，则实数__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）现计划用两张铁丝网在一片空地上围成一个梯形养鸡场，，，已知､两段是由长为的铁丝网折成，､两段是由长为的铁丝网折成.设上底的长为，所围成的梯形面积为.（1）求S关于x的函数解析式，并求x的取值范围；（2）当x为何值时，养鸡场的面积最大?最大面积为多少?18．（12分）已知命题，命题或，若是q的充分不必要条件，求实数的取值范围.19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.20．（12分）已知：在中，，，分别提角，，所对的边长，.判断的形状；若，，求的面积.21．（12分）在中，角所对的边分别是，已知.（1）求；（2）若，且，求的面积.22．（10分）某超市举办酬宾活动，单次购物超过元的顾客可参与一次抽奖活动，活动规则如下：盒子中装有大小和形状完全相同的个小球，其中个红球、个白球和个黑球，从中不放回地随机抽取个球，每个球被抽到的机会均等.每抽到个红球记分，每抽到个白球记分，每抽到个黑球记分.如果抽取个球总得分分可获得元现金，总得分低于分没有现金，其余得分可获得元现金.（1）设抽取个球总得分为随机变量，求随机变量的分布列；（2）设每位顾客一次抽奖获得现金元，求的数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析：根据甲队比乙队平均每场进球个数多，得到甲对的技术比乙队好判断①；根据两个队的标准差比较，可判断甲队不如乙队稳定；由平均数与标准差进一步可知乙队几乎每场都进球，甲队的表现时好时坏.详解：因为甲队每场进球数为，乙队平均每场进球数为，甲队平均数大于乙队较多，所以甲队技术比乙队好，所以①正确；因为甲队全年比赛进球个数的标准差为，乙队全年进球数的标准差为，乙队的标准差小于甲队，所以乙队比甲队稳定，所以②正确；因为乙队的标准差为，说明每次进球数接近平均值，乙队几乎每场都进球，甲队标准差为，说明甲队表现时好时坏，所以③④正确，故选D.点睛：本题考查了数据的平均数、方差与标准差，其中数据的平均数反映了数据的平均水平，方差与标准差反映了数据的稳定程度，一般从这两个方面对数据作出相应的估计，属于基础题.2、A【解题分析】

求出f（x）的导数，利用导函数的正负，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．【题目详解】函数，cosx，令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，∴f（x）在[0，）递减，在（，]递增，∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，故f（x）在区间[0，]上的最小值和最大值分别是：．故选：A．【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查函数值的运算，属于基础题．3、B【解题分析】分析：由题可知，然后根据复数的运算性质及基本概念逐一核对四个选项得到正确答案.详解：已知则选项A，，错误.选项B，，正确.选项C，，错误.选项D，，不恒成立，错误.故选B.点睛：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算.4、C【解题分析】分析：先求出，再利用充分不必要条件的定义得到充分不必要条件.详解：因为函数与（且）的图象关于直线对称，所以.选项A,是“是增函数”的非充分非必要条件，所以是错误的.选项B,是“是增函数”的非充分非必要条件，所以是错误的.选项C,是“是增函数”的充分非必要条件，所以是正确的.选项D,是“是增函数”的充分必要条件，所以是错误的.故答案为C.点睛：（1）本题主要考查充分条件必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)已知命题是条件，命题是结论,充分条件：若，则是充分条件.必要条件：若，则是必要条件.5、A【解题分析】

根据和角的范围可求出=—，再根据两角和与差的正弦求出的值，进而求出，代入求出结果即可.【题目详解】因为，，=—，所以==，所以，所以=.故选A.【题目点拨】本题考查三角函数给值求角，两角和与差的正弦，诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.6、C【解题分析】分析：对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即，利用倒序相加法即可得到结论.详解：函数，函数的导数，，由得，解得，而，故函数关于点对称，，故设，则，两式相加得，则，故选C.点睛：本题主要考查初等函数的求导公式，正确理解“拐点”并利用“拐点”求出函数的对称中心是解决本题的关键，求和的过程中使用了倒序相加法，属于难题.7、C【解题分析】分析：根据数列的递推关系，结合等差和等比数列的定义和性质求出数列的通项公式即可得到结论．详解：由，得，

∵是正项等差数列，

∴

，∵是等比数列，则，即

故选：D．点睛：本题主要考查对数的基本运算，根据等差数列和等比数列的性质，求出数列的通项公式是解决本题的关键．8、C【解题分析】

对函数求导得，当时，原函数单调递增，不能有两个零点，不符合题意，当时，为最小值，函数在定义域上有两个零点，则，即，又，则在上有唯一的一个零点，由，那么，构造新函数，求导可得g(a)单调性，再由，即可确定f(x)在上有一个零点，则a的范围可知．【题目详解】函数的定义域为，且.①当时，成立，所以函数在为上增函数，不合题意；②当时，，所以函数在上为增函数；当时，，所以函数在上为减函数.此时的最小值为，依题意知，解得.由于，，函数在上为增函数，所以函数在上有唯一的一个零点.又因为，所以.，令，当时，，所以.又，函数在上为减函数，且函数的图象在上不间断，所以函数在上有唯一的一个零点.综上，实数的取值范围是.故选C.【题目点拨】本题考查已知函数有两个不同零点，利用导数求函数中参数的取值范围．通过求导逐步缩小参数a的范围，题中为的最小值且，解得，，先运用零点定理确定点a右边有唯一一个零点，同理再通过构造函数，求导讨论单调性的方法确定点a左边有另一个唯一一个零点，最终得出参数范围，题目有一定的综合性．9、D【解题分析】

由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出．【题目详解】由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，所以．故选：D．【题目点拨】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．10、D【解题分析】

由三角形面积公式，计算可得的值,即可得B的值,结合余弦定理计算可得答案.【题目详解】根据题意:三角形的面积是,即,又由，则则或，若则此时则；若,则,此时则；故或.故选：D.【题目点拨】本题考查三角形的面积公式,考查余弦定理在解三角形中的应用,难度较易.11、A【解题分析】

根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A42=12种安排方法，甲在星期二有A32=6种安排方法，甲在星期三有A22=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选A．12、A【解题分析】

根据复数的除法运算，即可求解，得到答案.【题目详解】由复数的运算，可得复数，故选A.【题目点拨】本题主要考查了复数的基本运算，其中解答中熟记的除法运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解题分析】

先求出抛物线的准线方程，再求点(2,-1)到准线的距离得解.【题目详解】由题得抛物线的准线方程为，所以点到准线的距离为.故答案为：2【题目点拨】本题主要考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14、【解题分析】

利用点的坐标满足抛物线方程，求出，然后求解准线方程，即可推出结果。【题目详解】由抛物线上的点可得，所以抛物线方程：，准线方程为，则到准线的距离为故答案为：【题目点拨】本题考查抛物线方程，需熟记抛物线准线方程的求法，属于基础题。15、2.【解题分析】

根据题意可知，只需作出函数y=x2+2x（x<0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数交点个数即可．【题目详解】根据题意可知，“友好点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称.可作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数交点个数即可.如图所示：当时，观察图象可得：它们有2个交点.故答案为：2.【题目点拨】本题考查函数的新定义问题，根据已知条件将问题转化为零点个数问题，利用数形结合画出图像即可求解，属于中等题.16、【解题分析】复数z1=2+3i,z2=t−i，∴=t+i，∴=(2+3i)(t+i)=(2t−3)+(3t+2)i，由是实数,得3t+2=0,即.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），，（2）当x为时，养鸡场的面积最大，最大为.【解题分析】

（1）由已知条件的该梯形为等腰梯形，作出高，用含的代数式表示出上、下底和高，从而表示出面积；（2）利用导数最值求出最大值【题目详解】解：（1）由题意，，，过A点作，垂足为E，则，梯形的高由，解得.综上，，（2）设，，令，得（，舍去）时，，单调递增，时，，单调递减.∴当时，的最大值是1080000，此时.∴当为时，养鸡场的面积最大，最大为.【题目点拨】本题主要考察用函数模型解决实际问题，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．18、【解题分析】

根据题意，求出表示的集合，利用是q的充分不必要条件得到集合间的包含关系，进而得到关于的不等式组，解不等式即可.【题目详解】由题意知，或，因为是q的充分不必要条件，所以或或，所以，所以实数的取值范围为.【题目点拨】本题考查利用充分不必要条件和集合间的包含关系求参数的取值范围；考查逻辑推理能力和运算求解能力；根据题意，正确得出集合间的包含关系是求解本题的关键；属于中档题.19、（1）：，：；（2），此时.【解题分析】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.试题解析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．20、等腰三角形或直角三角形；.【解题分析】

利用正弦定理化边为角，可得，得到，或,由此可得出结论；当时，可知为等腰三角形，则，利用余弦定理求出，再由三角形面积公式求解即可得出结果.【