2024届山东省青岛市开发区数学高二第二学期期末预测试题含解析

2024届山东省青岛市开发区数学高二第二学期期末预测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（）A．，是的极大值点B．，是的极小值点C．，不是的极值点D．，是是的极值点2．执行如右图所示的程序框图，则输出的的值是（）A．7 B．6 C．5 D．33．若直线的倾斜角为，则（）A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在4．在三棱锥中，，点为所在平面内的动点，若与所成角为定值，，则动点的轨迹是A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线5．已知函数，对于任意，且，均存在唯一实数，使得，且，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知函数的部分图象如图所示，则函数的表达式是（）A． B．C． D．7．已知椭圆方程为x24+y225=1，将此椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1，满足y≥-5A．V2=C．V2=54V8．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是()A．10 B．11 C．12 D．169．设,若,则()A．-1 B．0 C．1 D．25610．已知过点且与曲线相切的直线的条数有（）．A．0 B．1 C．2 D．311．若“”是“不等式成立”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知函数，正实数满足且，若在区间上的最大值为2，则的值分别为A．，2 B．， C．，2 D．，4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．我国南北朝时期数学家祖瞘，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高，该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的平面内，若函数的图象与轴围城一个封闭的区域，将区域沿轴的正方向平移个单位长度，得到几何体（图一），现有一个与之等高的圆柱（图二），其底面积与区域的面积相等，则此圆柱的体积为_______.图一图二14．已知直线与曲线相切，则的值为___________．15．若的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含的项为__________.16．已知在R上不是单调增函数，那么实数的取值范围是____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）选修4-5：不等式选讲设函数.(Ⅰ)若不等式的解集是，求实数的值；(Ⅱ)若对一切恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知函数.（1）若函数上是减函数，求实数a的最小值；（2）若，使（）成立，求实数a的取值范围.19．（12分）已知的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等．(Ⅰ)求的值和这两项的二项式系数；(Ⅱ)在的展开式中，求含项的系数（结果用数字表示）．20．（12分）已知椭圆：的一个焦点为，点在上.（1）求椭圆的方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.21．（12分）山西省2021年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分。根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩。举例说明1：甲同学化学学科原始分为65分，化学学科等级的原始分分布区间为，则该同学化学学科的原始成绩属等级，而等级的转换分区间为那么，甲同学化学学科的转换分为：设甲同学化学科的转换等级分为，求得.四舍五入后甲同学化学学科赋分成绩为66分。举例说明2：乙同学化学学科原始分为69分，化学学科等级的原始分分布区间为则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为这时不用公式，乙同学化学学科赋分成绩直接取下端点70分。现有复兴中学高一年级共3000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布。且等级为所在原始分分布区间为，且等级为所在原始分分布区间为，且等级为所在原始分分布区间为（1）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，小红同学在这次考试中物理原始分为72分，求小明和小红的物理学科赋分成绩；（精确到整数）.（2）若以复兴中学此次考试频率为依据，在学校随机抽取4人，记这4人中物理原始成绩在区间的人数，求的数学期望和方差.（精确到小数点后三位数）.附：若随机变量满足正态分布，给出以下数据，22．（10分）已知函数,．（Ⅰ）求函数的单调减区间；（Ⅱ）证明:；（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

由图判断函数的单调性，结合为在点P处的切线方程，则有，由此可判断极值情况.【题目详解】由题得，当时，单调递减，当时，单调递增，又，则有是的极小值点，故选B.【题目点拨】本题通过图象考查导数的几何意义、函数的单调性与极值，分析图象不难求解.2、B【解题分析】,,判断否,,,判断否,,判断是,输出,故选.3、C【解题分析】分析:根据画出的直线得直线的倾斜角.详解：直线x=1的倾斜角为故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查特殊直线的倾斜角，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)任意一条直线都有倾斜角，但是不是每一条直线都有斜率.4、B【解题分析】

建立空间直角坐标系，根据题意，求出轨迹方程，可得其轨迹.【题目详解】由题，三棱锥为正三棱锥，顶点在底面的射影是底面三角形的中心，则以为坐标原点，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得，设为平面内任一点，则，由题与所成角为定值，，则则，化简得，故动点的轨迹是椭圆.选B【题目点拨】本题考查利用空间向量研究两条直线所成的角，轨迹方程等，属中档题.5、A【解题分析】

解：由题意可知f（x）在[0，+∞）上单调递增，值域为[m，+∞），∵对于任意s∈R，且s≠0，均存在唯一实数t，使得f（s）＝f（t），且s≠t，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，值域为（m，+∞），∴a＜0，且﹣b+1＝m，即b＝1﹣m．∵|f（x）|＝f（）有4个不相等的实数根，∴0＜f（）＜﹣m，又m＜﹣1，∴0m，即0＜（1）m＜﹣m，∴﹣4＜a＜﹣2，∴则a的取值范围是（﹣4，﹣2），故选A．点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.6、D【解题分析】

根据函数的最值求得，根据函数的周期求得，根据函数图像上一点的坐标求得，由此求得函数的解析式.【题目详解】由题图可知，且即，所以，将点的坐标代入函数，得，即，因为，所以，所以函数的表达式为．故选D.【题目点拨】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.7、C【解题分析】

根据题意画出图形，分别求出椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1与满足y≥-50≤x≤2y≤52【题目详解】在同一平面直角坐标系中画出椭圆与旋转体如图，椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体为椭球，其体积为V1满足y≥-50≤x≤2y≤5其体积V2=π×2故选：C．【题目点拨】本题主要考查了旋转体的体积及学生的计算能力，属于中档题．8、D【解题分析】

由题计算出抽样的间距为13，由此得解．【题目详解】由题可得，系统抽样的间距为13，则在样本中．故选D【题目点拨】本题主要考查了系统抽样知识，属于基础题．9、B【解题分析】分析：先求定积分，再求详解：，故设1-2x，所以，，故选B点睛：求复合函数的定积分要注意系数能够还原，二项式定理求系数和的问题，采用赋值法。10、C【解题分析】

设切点为，则，由于直线经过点，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，建立关于的方程，从而可求方程．【题目详解】若直线与曲线切于点，则，又∵，∴，∴，解得，，∴过点与曲线相切的直线方程为或，故选C．【题目点拨】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11、D【解题分析】由题设，解之得：或，又集合中元素是互异性可得，应选答案D。12、A【解题分析】试题分析：画出函数图像，因为正实数满足且，且在区间上的最大值为1，所以=1，由解得，即的值分别为，1．故选A．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n的方程．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先利用定积分计算底面面积，再用体积公式得到答案.【题目详解】的图象与轴围城一个封闭的区域故答案为【题目点拨】本题考查了体积的计算，意在考查学生解决问题的能力.14、【解题分析】

试题分析：设切点，则,，．考点：导数的几何意义．15、【解题分析】分析：根据题意，先求出a的值，再利用展开式的通项公式求出对应项.详解：的展开式中各项系数之和为0,令，则，解得.的展开式中通项公式为，令时，展开式中含的项为.故答案为：.点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．16、（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【解题分析】

根据函数单调性和导数之间的关系，转化为f′（x）≥0不恒成立，即可得到结论．【题目详解】∵函数yx3+mx2+（m+2）x+3，∴f′（x）＝x2+2mx+m+2，∵函数yx3+mx2+（m+2）x+3在R上不是增函数，∴f′（x）＝x2+2mx+m+2≥0不恒成立，∴判别式△＝4m2﹣4（m+2）＞0，∴m2﹣m﹣2＞0，即m＜﹣1或m＞2，故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，考查了转化思想，考查了二次不等式恒成立的问题，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)实数的取值范围是.【解题分析】分析：(1)先根据不等式解集与对应方程根的关系得,再解得.(2)先根据绝对值三角不等式得最大值为，再解不等式得实数的取值范围.详解：(Ⅰ)由,可得,得,解得.因为不等式的解集是,所以,解得.(Ⅱ)，若对一切恒成立,则．解得,即．故实数的取值范围是.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．18、(1);(2)．【解题分析】

由已知函数的定义域均为,且.(1)函数,因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．所以当时，．又，故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．(2)命题“若使成立”等价于“当时，有”．由（1），当时，，．问题等价于：“当时，有”．当时，由（1），在上为减函数，则=，故．当时，由于在上为增函数，故的值域为，即．由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，=，．所以，，与矛盾，不合题意．综上，得．考点：1.导数公式；2.函数的单调性；3.恒成立问题；4.函数的最值以及命题的等价变换.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）285【解题分析】

(Ⅰ)由题意知：得到，代入计算得到答案.(Ⅱ)分别计算每个展开式含项的系数，再把系数相加得到答案.【题目详解】解：（Ⅰ）∵，∴，∴；（Ⅱ）方法一：含项的系数为.方法二：含的系数为.【题目点拨】本题考查了展开式的二项式系数，特定项系数，意在考查学生的计算能力.20、（1）（2）见解析【解题分析】

先求出c的值，再根据，又，即可得到椭圆的方程;假设y轴上存在点，是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设，，线段AB的中点为，根据韦达定理求出点N的坐标，再根据，，即可求出m的值，可得点M的坐标【题目详解】由题意可得，点在C上，，又，解得，，椭圆C的方程为，假设y轴上存在点，是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设，，线段AB的中点为，由，消去y可得，，解得，，，，，，依题意有，，由，可得，可得，由可得，，，代入上式化简可得，则，解得，当时，点满足题意，当时，点满足题意【题目点拨】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21、(1)小明82分，小红70分；(2)1.504，0.938【解题分析】

（1）根据题意列式求解（2）先确定区间，再根据正态分布求特定区间概率，最后根据二项分布求期望与方差.【题目详解】解（1）小明同学且