江西南康市南康中学2024届高二数学第二学期期末检测试题含解析

江西南康市南康中学2024届高二数学第二学期期末检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．的展开式中的常数项是（）A．192 B． C．160 D．2．奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集是（）A． B．C． D．3．设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能值只能是（）．A．0 B． C． D．4．已知集合，则为（）A． B． C． D．5．64个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为a的球，记其体积为，表面积为，则（）A．>且> B．<且<C．=且> D．=且=6．设F是椭圆=1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点（i=1,2,3,···），，，···组成公差为d（d>0）的等差数列，则d的最大值为A． B． C． D．7．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为，则椭圆的离心率的概率是()A． B． C． D．8．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC内，曲和曲线围成一个叶形图阴影部分，向正方形AOBC内随机投一点该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的，则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A． B． C． D．9．已知函数在恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．10．已知函数在定义域上有两个极值点，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（）A． B． C． D．12．下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x0∈R使得”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设x，y满足约束条件，则的最大值为________．14．某人抛掷一枚均匀骰子，构造数列，使，记，则且的概率为_____.15．设，若不等式对任意实数恒成立，则取值集合是_______.16．复数在复平面中对应的点位于第__________象限.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示，四棱锥中，底面，，为中点.（1）试在上确定一点，使得平面；（2）点在满足（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P（点P不与A，B重合），并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P．当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA＝，公路MB，MN的总长为．（1）求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）当为何值时，投资费用最低？并求出的最小值．19．（12分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M是的中点，是的中点，点在上，且满足.（1）证明：.（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角最大值的正切值.（3）若平面与平面所成的二面角为，试确定P点的位置.20．（12分）设函数f（x）＝x2+bln（x+1），其中b≠1．（1）若b＝﹣12，求f（x）在[1，3]的最小值；（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围．21．（12分）已知函数（其中），．（Ⅰ）若命题“”是真命题，求的取值范围；（Ⅱ）设命题：；命题：．若是真命题，求的取值范围．22．（10分）在中，角，，的对边分别为，，，点在直线上．（1）求角的值；（2）若，求的面积．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析：利用二项展开式的通项公式令的幂指数为0，求得的值，从而可得的展开式中的常数项．详解：设二项展开式的通项为，

则令得：，

∴展开式中的常数项为故选D．点睛：本题考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题．2、A【解题分析】

根据函数为奇函数，以及上的单调性，判断出上的单调性，求得的值，对分为四种情况讨论，由此求得不等式的解集，进而求得的解集.【题目详解】由于函数为奇函数，且在上递减，故在上递减，由于，所以当或时，；当或时，.所以当或时.故当或即或时，.所以不等式的解集为.故本小题选A.【题目点拨】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查函数变换，考查含有函数符号的不等式的解法，属于中档题.3、C【解题分析】

先阅读理解题意，则问题可转化为圆上有12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合，再结合函数的定义逐一检验即可.【题目详解】解：由题意可得：问题可转化为圆上有12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合，则通过代入和赋值的方法，当时，此时得到圆心角为，然而此时或时，都有2个与之对应，根据函数的定义，自变量与应变量只能“一对一”或“多对一”，不能“一对多”，因此，只有当时，此时旋转，满足一个对应一个，所以的可能值只能是，故选:C.【题目点拨】本题考查了函数的定义，重点考查了函数的对应关系，属基础题.4、C【解题分析】

分别求出集合M，N，和，然后计算.【题目详解】解：由，得，故集合由，得，故集合，所以故选：C.【题目点拨】本题考查了指数函数的值域，对数函数的定义域，集合的交集和补集运算，属于基础题.5、C【解题分析】

分别计算出、、、，再比较大小。【题目详解】，，故=，>【题目点拨】已知直径利用公式,分别计算出、、、，再比较大小即可。6、B【解题分析】

求出椭圆点到的距离的最大值和最小值，再由等差数列的性质得结论．【题目详解】椭圆中，而的最大值为，最小值为，∴，．故选B．【题目点拨】本题考查椭圆的焦点弦的性质，考查等差数列的性质，难度不大．7、C【解题分析】共6种情况8、C【解题分析】

欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解．【题目详解】联立得.由图可知基本事件空间所对应的几何度量，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：（A）．所以（A）．故选：．【题目点拨】本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9、B【解题分析】

本题可转化为函数与的图象在上有两个交点，然后对求导并判断单调性，可确定的图象特征，即可求出实数的取值范围.【题目详解】由题意，可知在恰有两个解，即函数与的图象在上有两个交点，令，则，当可得，故时，；时，.即在上单调递减，在上单调递增，，，，因为，所以当时，函数与的图象在上有两个交点，即时，函数在恰有两个零点.故选B.【题目点拨】已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法：（1）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（2）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.10、B【解题分析】

根据等价转化的思想，可得在定义域中有两个不同的实数根，然后利用根的分布情况，可得，最后利用导数判断单调性，可得结果.【题目详解】令，依题意得方程有两个不等正根，，则，，令，在上单调递减，，故的取值范围是，故选：B【题目点拨】本题考查根据函数极值点求参数，还考查二次函数根的分布问题，难点在于使用等价转化的思想，化繁为简，属中档题.11、C【解题分析】

利用函数的周期求出的值，利用逆向变换将函数的图象向左平行个单位长度，得出函数的图象，根据平移规律得出的值.【题目详解】由于函数的周期为，，则，利用逆向变换，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以，因此，，故选：C.【题目点拨】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象的平移变换，本题利用逆向变换求函数解析式，可简化计算，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.12、C【解题分析】命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，A不正确；由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或6，因此“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，B不正确；命题“若x＝y，则sinx＝siny”为真命题，其逆否命题为真命题，C正确；命题“∃x0∈R使得＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，D不正确．综上可得只有C正确．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

作出不等式组对应的平面区域，画出可行域，平移直线，找到z的最大值．【题目详解】x，y满足约束条件的可行域如图：

，则经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由，解得，所以的最大值为1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查了线性规划问题，求线性目标函数的最值问题，考查了画图能力．利用数形结合是解决本题的关键．14、.【解题分析】

根据题意，抛掷一枚均匀骰子，出现奇数或偶数概率为，则且的情况有2种：①当前2次同时出现偶数时，则后6次出现3次偶数3次奇数，②当前2次出现奇数时，则后6次出现5次偶数1次奇数，分别计算相应的概率求和即可.【题目详解】抛掷一枚均匀骰子，出现奇数或偶数概率为，构造数列，使，记，则且的情况为：①当前2次同时出现偶数时，则后6次出现3次偶数3次奇数，相应的概率，②当前2次出现奇数时，则后6次出现5次偶数1次奇数，相应的概率为，所以概率为.故答案为：.【题目点拨】本题考查二项分布概率计算，结合排列组合与数列的知识，属于综合题，解题的关键在于对所求情况进行分析，再利用二项分布进行概率计算即可，属于中等题.15、【解题分析】

将不等式转化为，分别在、、、的情况下讨论得到的最大值，从而可得；分别在、、的情况去绝对值得到不等式，解不等式求得结果.【题目详解】对任意实数恒成立等价于：①当时，②当时，③当时，④当时，综上可知：，即当时，，解得：当时，，无解当时，，解得：的取值集合为：本题正确结果；【题目点拨】本题考查绝对值不等式中的恒成立问题，关键是能够通过分类讨论的思想求得最值，从而将问题转化为绝对值不等式的求解，再利用分类讨论的思想解绝对值不等式即可得到结果.16、四【解题分析】分析：根据复数的除法运算和加法运算公式得到结果即可.详解：复数对应的点为（）位于第四象限.故答案为：四.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2).【解题分析】【试题分析】（1）先确定点的位置为等分点，再运用线面平行的判定定理进行证明平面；（2）借助（1）的结论，及线面角的定义构造三角形找出直线与平面所成角，再通过解直角三角形求出其正弦值：解：(1)证明:平面PAD.过M作交PA于E,连接DE.因为,所以，又，故,且，即为平行四边形,则,又平面PAD,平面PAD,平面；(2)解:因为，所以直线MN与平面PAB所成角等于直线DE与平面PAB所成角

底面ABCD,所以，又因为，所以底面PAB,即为直线DE与平面PAB所成角.因为，所以，所以直线MN与平面PAB所成角的正弦值为。18、(1);(2)当时，投资费用最低，此时的最小值为.【解题分析】

（1）由题意，设，利用平面几何的知识和三角函数的关系式及三角恒等变换的公式，即可得函数的关系式；（2）利用三角函数的基本关系式和恒等变换的公式，求得的解析式，再利用基本不等式，即可求得投资的最低费用，得到答案.【题目详解】（1）连接，在中，，故，据平面几何知识可知,在中，，故，所以，显然，所以函数的定义域为，即函数关系式为，且．（2）化简（1）中的函数关系式可得：令，则，代入上式得：当且仅当时取“＝”，此时求得，又，所以∴当时，投资费用最低，此时的最小值为.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的实际应用，以及基本不等式求最值问题，其中根据平面几何的知识和三角函数的关系式和恒等变换的公式，得到函数的解析式是解答的关键，着重靠考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.19、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解题分析】

（1）以AB，AC，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即；（2）设出平面ABC的一个法向量，我们易表达出，然后利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的值，进而求出此时的正线值；（3）平面PMN与平面ABC所成的二面角为，则平面PMN与平面ABC法向量的夹角余弦值的绝对值为，代入向量夹角公式，可以构造一个关于的方程，解方程即可求出对应值，进而确定出满足条件的点P的位置．【题目详解】（1）证明：如图，以AB，AC，分别为，，轴，建立空间直角坐标系．则，，，从而，，，所以．（2）平面ABC的一个法向量为，则（※）．而，当最大时，最大，无意义，除外，由（※）式，当时，，．（3）平面ABC的一个法向量为．设平面PMN的一个法向量为，由（1）得．由得，解得，令，得，∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为，∴，解得．故点P在的延长线上，且．【题目点拨】本题考查的知识点是向量评议表述线线的垂直、平等关系，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角，其中熟练掌握向量夹角公式是解答此类问题的关键．20、（1）4﹣12ln2（2）【解题分析】

（1）当b＝﹣12时令由得x＝2则可判断出当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，2]时，f（x）单调递增故f（x）在[1，2]的最小值在x＝2时取得；（2）要使f（x）在定义域内既有极大值又有极小值即f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点即使在（﹣1，+∞）有两个不等实根即2x2+2x+b＝1在（﹣1，+∞）有两个不等实根这可以利用一元二次函数根的分布可得解之求b的范围．【题目详解】解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（1，+∞）b＝﹣12时，由，得x＝2（x＝﹣2舍去），当x∈[1，2）时f′（x）＜1，当x∈（2，2]时，f′（x）＞1，所以当x∈[1，2）时，