江苏省连云港市赣榆区2023-2024学年高一上学期11月期中数学试题

江苏省连云港市赣榆区2023-2024学年高一上学期11月期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．3．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．函数的值域是（

）A． B． C． D．7．下棋可以锻炼脑部，促进脑细胞新陈代谢，锻炼脑力发育，开发智力.围棋拥有的超大棋盘，成为状态空间复杂度最高的棋类运动，其状态空间复杂度上限约为，而中国象棋的状态空间复杂度上限为，则下列各数中与最接近的是（

）A． B． C． D．8．已知对任意两个实数，定义，设函数，设函数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知，且，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．10．设，若，则实数的值可以是（

）A．0 B． C． D．211．“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题，则下列函数中符合上述条件的是（

）A． B．C． D．12．已知函数，且对任意的，当时，，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C．在上是减函数 D．在上的最小值为三、填空题13．已知，则.14．函数的单调递减区间是．15．若不等式的一个必要条件为，则实数的取值范围是.16．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则实数的取值范围是.四、计算题17．计算下列各式的值.(1)；(2).五、作图题18．已知函数.(1)画出函数的图像，并写出单调区间；(2)求函数的值域.六、问答题19．已知命题：关于的方程有实数根，命题.(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.七、证明题20．已知函数.(1)判断函数在上的单调性，并利用定义证明；(2)若，求实数的取值范围.八、问答题21．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.当矩形的宽为多少时，的面积最大？并求出这个最大值.22．设函数，其中.(1)若，解关于的不等式；(2)当时，的最大值记为，最小值记为，求的解析式.参考答案：1．B【分析】根据集合的交集运算，即可求得答案.【详解】由题意知集合，故，故选：B2．D【分析】根据全称命题的否定即可得到答案.【详解】根据全称命题的否定为特称命题，则命题“”的否定是“”，故选：D.3．A【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为，则，但是不一定有，所以“”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．4．A【分析】令，求出的值，再将的值代入即可.【详解】令，则，所以.故选：A.5．D【分析】根据二次函数函数图像的性质，判断对称轴和单调区间的位置关系，即可得答案.【详解】由题意知函数在上单调递减，而图象开口向上，对称轴为，则，即实数的取值范围是，故选：D6．C【分析】根据题意，分别求得当时与当时，的值域，即可得到结果.【详解】当时，，则当时，，当时，，则；当时，；综上所述，.故选：C7．B【分析】根据指数式与对数式的互化，以及对数的运算法则，结合题意，即可求解.【详解】由题意知，，所以，可得，所以.故选：B.8．D【分析】因为当时，，所以只需要考虑，若存在使得成立，则需要，分类讨论的对称轴与的位置确定最小值求解即可.【详解】，，的函数图象如下图所示:

是二次函数，开口向上，对称轴为直线，因为当时，，所以恒成立，所以只需要考虑，此时.（1）当时，在上是增函数，

若存在使得成立，需要，即，即，则存在使得成立，故;（2）当时，在上是先减后增的函数，

需要，即，解得或，又，故；（3）当时，在上是的减函数，

需要即，综上所述，的取值范围为.故选：D.【点睛】关键点点睛：根据定义，因为当时，，恒成立，当时，故需要，转化为二次函数最值问题即可.9．CD【分析】根据已知条件利用作差法可得A错误，C正确，取特殊值可知B错误，利用不等式性质可得D正确.【详解】对于A，易知，且，所以，可得，即A错误；对于B，当时，易知，可得B错误；对于C，，易知，可得，即，所以C正确；对于D，因为，，所以，即可得D正确；故选：CD10．ABC【分析】根据题意，先将集合化简，再由集合子集的定义求解，即可得到结果.【详解】因为，且，则，当时，，符合题意；当时，则，则或，解得或；综上所述，或或.故选：ABC11．AD【分析】判断每个选项中的函数的单调性，看其是否满足对任意的都成立，即可判断该选项是否符合题中条件，即可得答案.【详解】对于A，图象的对称轴为，则在上单调递增，在上递减，，故满足，但在上不是增函数，A符合；对于B，图象开口向上，对称轴为，则在上是增函数，故对任意的都成立，且在上是增函数，故B不符合条件；对于C，，，令，则在上单调递增，即满足对任意的都成立，在上是增函数，C不符合条件；对于D，，当时，，此时在上单调递增；当时，在上单调递减，，即满足对任意的都成立，但在上不是增函数，故D符合条件，故选：AD12．AD【分析】根据赋值法即可求解AB，根据单调性的定义即可求证C，根据单调性，结合赋值法即可求解D.【详解】，令，则，解得，故A正确，令，，则，因为，解得；故B错误，令，，且，则，即因为当时，，故，所以，故，所以在上是增函数；故C错误，令，则令得由于在上是增函数，故在单调递增，故最小值为，故D正确，故选：AD13．【分析】求出集合B的补集，根据集合的交集运算即可得答案。【详解】由题意知，则,则，故答案为：14．(－∞，1)，(1，＋∞)【分析】根据函数单调性的定义求得函数的单调递减区间.【详解】函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，设x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.因为x1<x2<1，

所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．故答案为：(－∞，1)，(1，＋∞)15．【分析】当时，满足题意；当时，由绝对值的几何意义求出不等式的解，再根据必要条件的定义得出参数满足的条件，求得结论．【详解】当时，不等式的解集为空集，满足题意；当时，因为，所以，因为不等式的一个必要条件为，所以，无解.故实数的取值范围是.故答案为：16．【分析】根据函数的性质分析可知当时，都有，当时，由函数解析式先求得，进而结合单调性可得.【详解】

的对称轴为，所以当时，函数单调递增，所以，又，所以当时，都有，因当时，，故当时，其对称轴为，故在单调递增，令，得或（舍去）故由得，综上可知对任意都有，故实数的取值范围是，故答案为：17．(1)(2)【分析】（1）根据指数幂运算求解；（2）根据对数的定义和运算求解；【详解】（1）原式.（2）原式.18．(1)图像见解析，增区间为和，减区间为(2)【分析】（1）根据题意，由函数的解析式，直接画出函数的图像，结合图像即可得到其单调区间；（2）根据题意，由函数的单调性，即可得到其值域.【详解】（1）作图函数的增区间为和，减区间为；（2）由（1）知当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以在区间上的最小值为，最大值为，当时，函数单调递增，所以又因为，综上，的值域为.19．(1)(2)【分析】（1）根据一元二次方程的判别式求解即可；（2）设，，由是的充分条件可得，进而分和两种情况求解即可.【详解】（1）若命题是真命题，故，即，解得，所以的取值范围为.（2）设，，因为是的充分条件，所以.当时，则有，解得；当时，则有，解得.综上所述，实数的取值范围为.20．(1)在区间上是单调递减函数，证明见解析(2)【分析】（1）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证；（2）根据函数的单调性，把不等式转化为不等式组，即可求解.【详解】（1）解：函数在区间上是单调递减函数.证明：在区间上任取两个实数，且，则因为，所以，所以，即，故在区间上是单调递减函数.（2）解：由（1）知在区间上是单调递减，又，可得，解得，所以实数的取值范围为.21．，【分析】（法一）由题意证得，则，设，则，由基本不等式求出的最大值，即可求解.（法二）由题意证得，则，设，则，在中，结合勾股定理，列出方程求得，进而得到，表示出的面积结合基本不等式求解即可.【详解】解：（法一）设翻折后，点的落点为，则，所以在和中，有，所以，所以，设，则，因矩形周长为，所以所以，由基本不等式可得当且仅当时“”成立.此时.故，所以当矩形的宽为时，的最大值为（法二）设翻折后，点的落点为，则，所以在和中，有，所以，所以.设，则，则在中，，即，化简得：，所以，所以当且仅当时等号成立.所以当矩形的宽为时，的最大值为22．(1)答案见解析(2)【分析】（1）将化为，确定的解，讨论的大小关系，即可得答案；（2）分类讨论，讨论函数图象的对称轴和所给定区间